河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末调研考试数学试题

保定市2021~2022 学年度上学期高一期末调研考试 数学试卷 满分150 分，时间120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在 答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：“ 0 x  ，2ln 2 0 x x   ”的否定是（） A. 0 x  ，2ln 2 0 x x   B. 0 x  ，2ln 2 0 x x   C. 0 x  ，2ln 2 0 x x   D. 0 x  ，2ln 2 0 x x   【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案. 【详解】命题：“ 0 x  ，2ln 2 0 x x   ”是全称命题， 它的否定是特称命题： 0 x  ，2ln 2 0 x x  ， 故选：C 2. 已知集合   1,2,3 M  ，   3,4 N  ，全集   1,2,3,4,5 I  ，则   I M N  ð （） A.   1,2,4 B.   1,2,3,5 C.   1,2,4,5 D. I 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案. 【详解】由题意得   1,2,5 IN  ð ，所以    1,2,3,5 I M N   ð ． 故选：B 3. 660   （） A. 13 rad 3   B. 25 rad 6   C. 11 ad 3 r   D. 23 ad 6 r   【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用角度弧度互化即得. 【 详解】 11 660 660 rad rad 180 3       ． 故选：C. 4. 已知   2 cos 5     ，则   cos   （） A. 21 5  B. 2 5  C. 2 5 D. 21 5 【4 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，可得 2 cos 5  ，计算化简，即可得答案. 【详解】由   cos cos      ，得 2 cos 5  ， 所以   2 cos cos 5      ． 故选：B 5. 若函数  2 2 x x f x a x      为R 上的奇函数，则实数a 的值为（） A. 1  B. 2  C. 1 D. 2 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有 (0) 0 f  ，可求得答案. 【详解】函数  2 2 x x f x a x      为R 上的奇函数, 故 0 1 0 f a  ，得 1 a  ， 当 1 a  时，  2 2 x x f x x     满足 ( ) ( ) f x f x   ， 即此时  2 2 x x f x x     为奇函数， 故 1 a  ， 故选：A 6. 函数      2 2 log 2 log 4 f x x x   的最小值为（） A. 1 B. 1 3 C. 1 2  D. 1 4  【6 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，化简可得 2 2 3 1 ( ) log 2 4 f x x          ，分析即可得答案. 【 详 解 】 由 题 意 得     2 2 2 2 2 2 2 3 1 log 1 log 2 log 3log 2 log 2 4 f x x x x x x                ， 当 2 3 log 2 x  时， ( ) f x 的最小值为 1 4  . 故选：D 7. 已知 0 a  ， 0 b  ，且满足2a b ab   ，则a b  的最小值为（） A. 2 B. 3 C. 3 2 2  D. 3 2 2  【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得 1 2 1 a b   ，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【详解】因为2a b ab   ，所以 1 2 1 a b   ， 所以  1 2 2 2 3 3 2 3 2 2 b a b a a b a b a b a b a b                ， 当且仅当 2 b a a b  时，即 2 1 a  ， 2 2 b  时取等号． 所以a b  的最小值为3 2 2  . 故选：C 8. 已知函数 log ,0 4 (3 ) 10 22, 4 a x x f x a x a x          是(0, ) 上的增函数（其中 0 a  且 1 a ）， 则实数a 的取值范围为（） A.   1,2 B.  2,2 2   C.   1,3 D.   2,3 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数、一次函数的性质判断a 的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等 式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得a 的取值范围. 【详解】由题意必有 1 3 0 a a      ，可得1 3 a   ，且   log 4 4 3 10 22 a a a     ， 整理为6 log 4 10 0 a a   ．令   6 log 4 10 1 3 x g x x x      由换底公式有 ln 4 6 10 ln g x x x    ， 由函数   1 1 ln y x x   为增函数， 可得函数 g x 为增函数， 注意到 ln 4 2 12 10 0 ln 2 g     ， 所以由( ) 0 g a  ，得 2 a ， 即，实数a 的取值范围为2 3 a  ． 故选:D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知 1 0 a b a    ，则（） A. 1 b  B. 1 a  C. 1 a b  D. 2 a b a   【9 题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】A 选项可以举出反例，BCD 可以利用不等式的基本性质推导出. 【详解】 2 a ， 2 3 b  ，满足条件，故A 错误； 2 1 0 1 1 a a a a      ，故B 正确；由 1 0 b a   得 1 a b  ，故C 正确；由 1 , 1 , a a b a        有 2 a b a   ，故D 正确． 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（） A. sin 25 的值与cos65 的值相等 B. sin23的值比sin 8  的值大 C. sin316 cos188 tan189    的值为正数 D. 关于x 的不等式 3 cos 2 x  的解集为 2 2 , Z 3 3 x k x kx k              【10 题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断A，利用正弦函数的性质可判断B，利用三角函数的符号可判断 C，利用余弦函数的性质可判断D. 【详解】对于选项A，由sin cos 2            可知选项A 正确； 对于选项B，由sin sin 22.5 8   及正弦函数的单调性可知B 选项正确； 对于选项C，由sin316 0  ，cos188 0  ，tan189 0  ，可知C 选项正确； 对于选项D，由余弦函数的图象及 3 cos 6 2  ，可知关于x 的不等式 3 cos 2 x  的解集为 2 2 , Z 6 6 x k x k k              ，故D 选项错误． 故选：ABC. 11. 已知为锐角，角的终边上有一点   sin ,cos M    ，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆 心的单位圆的交点为N，则（） A. 若   0,2 a   ，则 2      B. 劣弧MN 的长度为2    C. 劣弧MN 所对的 扇形OMN 的面积为是2  D. sin sin 1     【11 题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正 误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可 得答案. 【 详 解 】 A ：   sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2 2 2 2                                                                      cos ,sin 2 2                         ，故 2      ，故A 正确； B：劣弧MN 的长度为 1= 2 2              ，故B 正确； C：只有当0 2     时，扇形OMN 的面积为 1 1 2 2 S    ，故C 不正确； D：sin sin sin sin sin cos 2                    ， ∵为锐角，故  2 2 2 sin cos sin cos 2sin cos 1 sin cos 1                ．故D 正 确. 故选：ABD 12. 若  1 f x x x  ， lg 2 g x x   ，则（） A. 函数  f x 为奇函数 B. 当 1 x ，   2 0, x  时，    1 2 1 2 2 2 f x f x x x f         C. 当 1 x ，   2 0, x  时，   1 2 1 2 2 2 g x g x x x g         D. 函数   h x f x g x   有两个零点 【12 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据  f x 与   f x  的关系判断函数的奇偶性，即可判断， 对于BC，利用作差法即可判断； 对于D，根据零点的存在性定理，结合两函数的图像即可判断. 【详解】对于A 选项，函数  1 f x x x  的定义域为  0 x x  ， 由    1 f x x f x x     ， 所以函数  1 f x x x  为奇函数，可知A 选项正确； 对于B 选项，由   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 x x f x f x x x x x x x f x x                                            2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 1 1 2 2 0 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                       ， 有   1 2 1 2 2 2 f x f x x x f        ，可知B 选项错误； 对于C 选项，由      1 2 1 2 1 2 1 2 lg 2 lg 2 lg 2 2 2 2 2 g x g x x x x x x x g                  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 lg lg lg lg 0 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x       ， 有    1 2 1 2 2 2 g x g x x x g         ，可知C 选项正确； 对于D 选项，令 1 lg 2 h x x x x    ， 由 1 0 h ， 1 1 2 2 lg2 2 lg2 lg 10 lg2 2 2 h        lg2 lg2 0   ， 6 3 3 2 3 1 3 1 3 1 729 1 640 2 lg lg 1 lg 1 lg 1 lg 2 2 3 2 6 2 6 2 6 64 6 64 h                                            0  ， 由上可知函数 h x 至少有两个零点， 由双钩函数的性质可得函数  1 f x x x  在  0,1 上递减，在  1,上递增， 且  1 2 f ， 作出函数  f x 和 g x 的图象， 根据函数  f x 和 g x 的图象可知，函数 h x 有且仅有两个零点， 故D 正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 函数  π tan π 4 f x x        的定义域为______． 【13 题答案】 【答案】 3 , Z 4 x x k k         【解析】 【分析】利用整体代入法求得  f x 的定义域. 【 详解】令 π π π π 4 2 x k    ， Z k  ，可得 3 4 x k  ， Z k  ， 故函数  f x 的定义域为 3 , Z 4 x x k k        ． 故答案为： 3 , Z 4 x x k k         14. 已知 1 tan 5  ，则 2 2 sin sin cos cos 2sin cos          ______． 【14 题答案】 【答案】 4 15  ## 4 15  【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. 【详解】 1 tan 5  ， 2 2 2 1 1 sin sin cos tan tan 4 25 5 2 cos 2sin cos 1 2tan 15 1 5                   ． 故答案为： 4 15  15. 已知 2 log 3 a  ， 4 log 11 b  ， 1 3 2 c  ，则a ，b ，c 的大小关系是______．（用“”连接） 【15 题答案】 【答案】b a c   【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案. 【详解】 2 4 4 log 3 log 9 log 11 a b    ， 1 1 3 3 2 2 2 1 1 3 27 log 3 log 9 log 8 2 2 2 2 8 a c              ， 所以b a c   ． 故答案为：b a c   16. 已知函数    2 ln 1 , 1, 2 1, 1, x x f x x x x           若关于x 的方程   1 f x m m   有4 个解，分别为 1 x ， 2 x ， 3 x ， 4 x ，其中 1 2 3 4 x x x x < < < ，则 3 4 1 1 x x  ______， 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x    的取值范围是____ __． 【16 题答案】 【答案】 ①. 1 ②.   5 , 1 , 3         【解析】 【分析】作出 ( ) f x 图象，将方程    1 f x m m   有4 个解，转化为 ( ) y f x  图象与 ( 1) y m m   图象有4 个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的 1 2 , x x 、 3 4 , x x 的范围与关系，结合图象，可得m 的范围，综合分析，即可得答案. 【详解】作出 ( ) f x 图象，由方程    1 f x m m   有4 个解，可得 ( ) y f x  图象与 ( 1) y m m   图象有4 个交点，且 1 2 3 4 x x x x < < < ，如图所示： 由图象可知：0 4 m   且 1 m  因为 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x    ， 所