河北省沧州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(1)

沧州市2021~2022 学年度高一年级第一学期期末教学质量监测 数学试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. （） A. 1 2 B. 1 2  C. 3 2 D. 3 2  【1 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】 13π π π 1 sin sin 2π sin 6 6 6 2           . 故选：A 2. 已知集合   2 3 2 0 A x x x     ，   2 4 6 B y y x x     ，则A B   （） A. ( ,1] [2, )    B. [2, )  C. [1,2] D. {2} 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合A ，求函数的值域求得集合B ，由此求得A B  . 【详解】    2 3 2 1 2 0 x x x x      ，解得 1 x 或 2 x ， 所以 ( ,1] [2, ) A   .   2 2 4 6 2 2 2 y x x x       ， 所以 [2, ) B  . 所以 [2, ) A B   . 故选：B 3. 下列函数是幂函数的是（） A. 2 y x  B. 2 1 y x   C. 3 y x  D. 2x y  【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数定义可直接得到结果. 【详解】形如y x  的函数为幂函数，则 3 y x  为幂函数. 故选：C. 4. 下列说法正确的是（） A. 若a b  ，c d  ，则 2 2 a c b d    B. 若a，bR ，则 2 a b b a   C. 若 0 a b   ， 0 m n   ，则 b b m a a n    D. 若| | a b  ，则 2 2 a b  【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项. 【详解】A ：令 2 a  ， 1 b  ； 1 c  ， 0 d ，则 2 0 a c   ， 2 1 b d   ，不满足 2 2 a c b d    ，故A 错误； B：a，b 异号时，不等式不成立，故B 错误； C： ( ) ( ) ( ) ( ) b m b b m a b a n ma nb a n a a n a a n a            ， 0 a b    ， 0 m n   ， 0 am bm    ，即 b m b a n a    ，故C 正确； D：令 1 a ， 2 b  ， 2 2 a b  不成立，故D 错误. 故选：C 5. 已知 5 log 2 a  ， 1 2 e b   ， ln3 c  则下列说法正确的是（） A. a b c   B. c b a   C. b c a   D. c a b   【5 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即可. 【详解】∵ 5 5 1 log 2 log 5 2 a    ，∴ 1 0, 2 a      ， ∵ 1 2 1 2 1 1 1 e 2 e e b      ，∴ 1 ,1 2 b       ， ∵ ln3 lne 1 c   ，∴   1, c    ，则 . c b a   故选:B . 6. 若 2 | | ( ) 2 x f x x   ，则下列关系式一定成立的是（） A. ( ) ( 3) ( ) f f f e    B. ( 3) ( ) ( ) f f f e     C. ( ) ( 3) ( ) f e f f     D. ( ) ( ) ( 3) f e f f     【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此可判断函数值的大小，即得答案. 【 详解】由 2 | | ( ) 2 x f x x   可知： ( ) ( ) f x f x   ， ( ) f x  为偶函数， 又 2 2 2 2 , 0 ( ) 2 2 , 0 x x x x x f x x x x           , 知 ( ) f x 在( ,0]  上单调递减，在[0, )  上单调递增， 故 ( ) (3) ( 3) (e) f f f f     ， 故选：A. 7. 符号函数sgn( ) x 是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为 1, 0, sgn( ) 0, 0, 1, 0, x x x x          若定义在 R 上的奇函数 ( ) f x ，当 , ( ) 0 x  时， 2 ( ) 2 f x x x   ，则 sgn( ( )) y f x  的图象是（） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性画出  f x 的图象，结合sgn( ) x 的知识确定正确答案. 【详解】依题意，  f x 是定义在R 上的奇函数，图象关于原点对称. 当 , ( ) 0 x 时， 2 ( ) 2 f x x x   ， 结合  f x 的奇偶性，作出 ( ) f x 的大致图象如下图所示， 根据sgn( ) x 的定义可知，选项C 符合题意. 故选：C 8. 已知函数 2 2 2, 0, ( ) lg , 0, x x x f x x x          关于x 的方程 ( ) f x m  有4 个根 1 x ， 2 x ， 3 x ，   4 1 2 3 4 x x x x x    ，则   1 2 3 4 1 2 1 2 x x x x x x x x   的取值范围是（） A. [2 2, )  B. (3, )  C. [2 2,3) D. (0,3) 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出函数图象，结合图象可知 1 2 2 x x   且 2 1 0 x    ， 3 4 lg lg x x  ，即 可得到 3 4 1 x x ，则   1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x     ，再令 1 2 t x x  ，根据二次函数的性质求 出t 的取值范围，最后根据对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：因为 2 2 2, 0, ( ) lg , 0, x x x f x x x          ，所以函数图象如下所示： 由图象可知 1 2 2 x x   ，其中 2 1 0 x    ，其中 3 0 1 x  ， 4 1 x ， 3 4 lg lg x x  ，则 3 4 lg x lg x   ，得 3 4 1 x x .   1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x      .令     2 1 2 2 2 2 2 1 1 t x x x x x      ， 2 1 0 x     ， (0,1). t  又 2 y t t  在  0,1 上单调减， 2 1 2 3 t t   ，即     1 2 3 4 1 2 1 2 3, x x x x x x x x    . 故选：B. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列函数是奇函数的是（） A. ( ) e e x x f x    B. ( ) sin 4 2 f x x           C. 3 ( ) f x x x   D. 3 ( ) lg 3 x f x x    【9 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照奇函数的定义依次判断四个选项即可. 【详解】A：定义域为R ，满足 ( ) ( ) f x f x   ， ( ) f x  为奇函数，A 正确； B：定义域为R ， ( ) sin cos 4 2 4 f x x x             ， ( ) ( ) f x f x   为偶函数，B 错误； C：定义域为R ， ( ) ( ) f x f x   ， ( ) f x 为奇函数，C 正确； D：定义域为  3,3  ， 3 ( ) lg ( ) 3 x f x f x x      ， ( ) f x 为奇函数，D 正确. 故选：ACD. 10. 已知 ( ) cos 2 6 π f x x        ，则下列结论正确的是（） A. ( ) f x 的最小正周期为π B. ( ) f x 在 π 0, 2      上单调递增 C. ( ) f x 的图象向左平移6  个单位长度后关于原点对称 D. ( ) f x 的图象的对称轴方程为 π π ( ) 12 2 k x k   Z 【10 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从 而确定正确选项. 【详解】A： 2π π 2 T  ，A 正确； B： π 0 2 x  ， π π 7π 2 , 6 6 6 x       ，所以 ( ) f x 在 π 0, 2      上不单调，所以B 错误； C： ( ) f x 的图象向左平移6  个单位长度得到： π π π cos 2 cos 2 sin 2 6 6 2 y x x x                         ，为奇函数，C 正确. D：由 π 2 π( ) 6 x k k   Z ，得 π π ( ) 12 2 k x k   Z ，D 正确. 故选：ACD 11. 已知 0, 0 a b   ，且 1 a b  ，则下列结论正确的是（） A. 1 1 a b  的最小值是4 B. 1 ab ab + 的最小值是2 C. 2 2 a b  的最小值是2 2 D. 2 2 log log a b  的 最小值是2  【11 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用“乘1 法”转化后，利用基本不等式求得最小值，进而判定； 对于B：先利用基本不等式求得ab 的取值范围，根据此范围利用基本不等式求 1 ab ab + 最小值 时注意基本不等式取等号的条件不能成立，进而判定； 对于C：利用基本不等式和指数幂的运算性质得到最小值，进而判定； 对于D：利用对数的运算法则、对数函数的单调性和B 中求得的ab 的取值范围，得到所求式子 的最大值为-2，进而判定. 【详解】对于A： 1 1 2 2 2 4 a b a b a b a b b a b a             ，当且仅当 1 = = 2 a b 时等号成 立， 故A 正确； 对于B： 2 1 2 4 a b ab          ，当且仅当 1 = = 2 a b 时等号成立， ∵ 0 ab  ,∴ 1 1 2 =2 ab ab ab ab    ，当且仅当 1 ab 时取等号. 但 1 4 ab  ,故等号取不到，∴ 1 2 ab ab   ，故B 错误； 对于C：2 2 2 2 2 =2 2 2 2 a b a b a b      ，当且仅当 1 = = 2 a b 时等号成立， 故C 正确； 对于D： 2 2 2 2 1 log log log log 2 4 a b ab     ，当且仅当 1 = = 2 a b 时等号成立，故D 错误． 故选：AC． 12. 下列命题为真命题的是（） A. x R ，sin cos 2 x x   B. 已知函数   2 ( ) ln 1 1 f x x x   ，则 (2021) ( 2021) 2 f f    C. 命题“角 是第一象限角”是“cos 0  ”的充分不必要条件 D. 当 1 a 时，函数 ( ) | ln | f x x x a   有2 个零点 【12 题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】A 选项用三角函数的最值来判断，B 选项用    2 f x f x   来判断，C 选项结合充分、 必要条件的知识来判断，D 选项由 ln y x  与   1 y x a a    的交点个数来判断. 【详解】A： π sin cos 2 sin 2 4 x x x           ，故不存在实数x 使sin cos 2 x x  ，A 错误； B：     2 2 ( ) ( ) ln 1 1 ln 1 1 2 f x f x x x x x        ， (2021) ( 2021) 2 f f     ，B 正确； C：角是第一象限角 cos 0    ，而cos 0  角终边在第一象限或者第四象限或者在 x 非负半轴，C 正确； D： 1 a 时， ( ) | ln | f x x x a   有2 个零点，则关于x 的方程| ln | 0 x x a   有2 个根， | ln | x x a   有2 个根， 即 | ln | y x  图象与 y x a   图象有2 个交点，由图可知：当 1 a 时满足题意，D 正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知角的终边经过点  3,4 ，则sin________. 【13 题答案】 【答案】 4 5 【解析】 【分析】根据终边上的点，结合 2 2 sin y x y   即可求函数值. 【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过  3,4 ， ∴ 2 2 4 sin 5 y x y    . 故答案为： 4 5 . 14. 求方程 3 2 3 0 x x   在区间(1,2) 内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____ ________. 【14 题答案】 【答案】 3 ( ,2) 2 【解析】 【分析】根据二分法的 步骤可求得结果. 【详解】令 3 ( ) 2 3 f x x x    ， 因为 (1) 1 2 3 4 0 f     ， (2) 8 4 3 1 0 f    ， 3 3 3 3 27 21 ( ) 2 3 6 0 2 2 2 8 8 f              ， 所以下一个有根的区间是 3 ( ,2) 2 . 故答案为： 3 ( ,2) 2 15. 已知 π 0 2 x   ，且 2 π cos cos2 2 4 x x         ，则tan 2x ______. 【15 题答案】 【答案】 3 7 7 ## 3 7 7 【解析】 【分析】化简已知条件，求得 1 cos sin 2 x x   ，通过两边平方的方法求得sin 2x ，进而求得 cos2 ,tan 2 x x . 【 详解】依题意 2 π cos cos2 2 4 x x         ， 2 2 1 (cos sin ) cos sin (cos sin )(cos sin ) 2 x x x x x x x x       ①， π 0 2 x   Q ， sin cos 0 x x   ， 化简得① 1 cos sin 0 2 x x    ，则 π 0 4 x   ， π 0 2 2 x   由 2 1 (cos sin ) 4 x x   ，得 3 sin 2 4 x  ， 2 7 cos2 1 sin 2 4 x x    ， sin 2 3 7 tan 2 cos2 7 x x x    . 故答案为： 3 7 7 16. 已知定义在R 上的奇函数  f x 满足     2 f x f x    ，且当   0,1 x 时， 3 1 x f x   ， 则  3 5 log 16 f  __________. 【16 题答案】 【答案】 11 16  ## 11 16  【解析】 【分析】先求得  f x 是周期为4 的周期函数，然后结合周期性、奇偶性求得  3 5 log 16 f  . 【详解】因为函数  f x 为R 上的奇函数，所以      2 f x f x f x     ， 故      4 2 f x f x f x     ，函数  f x 是周期为4 的周期函数. 当   0,1 x 时， 3 1 x f x   ， 则     3 27 log 16 3 3 3 3 16 27 11 5 log 16 log 16 3 log log 3 1 27 16 16 f f f f                           . 故答案为： 11 16  四、解答题：本题共6 小