山东省青岛第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

青岛二中教学质量检测 高一数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 123.5 6 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88 则函数 在区间 上的零点至少有（ ）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 5．幂函数 在第一象限的图像如图所示，则 的 大小关系是 （ ） A． B． C． D． 6．若定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，且 ，则满足 的 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设正实数 分别满足 ，则 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 8．若函数 的定义域为 ，若存在实数 ， ，使得 ，则 称 是“局部奇函数”．若函数 为 上的“局部奇函数”， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则 10．若 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 11．下列不等式一定成立的有（ ） A． B．当 时， C．已知 ，则 D．正实数 满足 ，则 12．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的定义域为 B．将 的图象经过适当的平移后所得的图象可关于原点对称 C．若 在 上有最小值－2，则 D．设定义域为 的函数 关于 中心对称，若 ，且 与 的图象 共有2022 个交点，记为 （ ，2，…，2022），则 的值为0 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．求值： =___________. 14．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021 年为3000 万吨，2022 年增 长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 ______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000 万吨.（参考数据： ， ） 15．若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为___ ________. 16．幂函数 ，当 取不同的正数时，在区间 , 上它们的图象是一族美丽的曲 线（如图）．设点 ， ，连接 ，线段 恰好被其中的两个幂函数 ， 的图象三等分，即有 ．那么 ______. 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（1）设全集 ，集合 ， ，求 （2）若 求函数 的最小值. 18．若函数 满足 (1)求函数 的解析式； (2)若函数 ，试判断 的奇偶性，并证明. 19．设函数 (1)若不等式 的解集为 ，求 的值； (2)若 ， 时，求不等式 的解集． 20．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州（途经站点如图所示）．这条“客 货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内 陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货 铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021 年9 月底开通运营，清流至泉州段也 具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t（单 位：分钟）满足 ．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当 时列车为满载状态，载客量为720 人；当 时，载客量会减少，减少 的人数与 的平方成正比，且发车时间间隔为3 分钟时的载客量为396 人．记列 车载客量为 ． (1)求 的表达式； (2)若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多 少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值． 21．已知定义在 上的奇函数 ,当 时 . （1）求函数 的表达式； （2）请画出函数 的图象； （3）写出函数 的单调区间. 22．已知函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增． （1）求函数 在区间 的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数 ，若对于任意的 ，有 恒成立， 求实数 的取值范围． 参考答案 1．C 由题意，全集 ， ， ， 可得 ，所以 . 故选：C. 2．A 对于A， ，正确； 对于B， ，错误； 对于C， ，错误； 对于D， ，错误； 故选：A. 3．B 因为函数 的图像是连续不断的， 且 ，由零点存在性定理得： 内存在至少1 个零点， 因为 ，故由零点存在性定理得： 内存在至少1 个零点， 因为 ，故由零点存在性定理得： 内存在至少1 个零点， 综上：函数 在区间 上的零点至少有3 个. 故选：B 4．C 解：对于A 中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，两 个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于B 中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，两个函 数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于C 中，函数 与 的定义域和对应法则都相同，所以 表示相同的函数； 对于D 中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，两个 函数的定义域不同，所以表示不同的函数. 故选：C 5．D 根据幂函数的性质， 在第一象限内， 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得： ， 故选：D 6．A 解： 偶函数 在 上是增函数， 函数 在 上为减函数，则 ， 则不等式 等价为 时， ，此时 ，解得 ， 当 时， ，此时 ，解得 ， 当 时，显然满足题意， 综上不等式的解为 或 ，即 的取值范围为 . 故选：A． 7．B 由已知可得 ， ， ， 作出 的图像如图所示： 它们与 交点的横坐标分别为 ， 由图像可得 ， 故选：B 8．A 由题意知，方程 有解， 则 ， 化简得 ， 当 时，不合题意 ； 当 时，可得 ，因为 ，当且仅当 时等号 成立， 所以 ， 当 时， 化简得 ， 解得 ； 当 时， 化简得 ， 解得 ， 综上所述 的取值范围为 ， 故选：A 9．AB 解：若ac2>bc2，两边同乘以 则a>b，A 对， 由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B 对， 当令a=2，b=1，c= 1 ﹣，d= 2 ﹣，则ac=bd，C 错， 令a= 1 ﹣，b= 2 ﹣，则 ，D 错. 故选：AB. 10．ACD 解：因为 ，且 ， 所以 ，所以 ， 当且仅当 时，取等号，故A 正确； ，所以 ，当且仅当 时，取等号，故B 错误； ，所以 ，当且仅当 时，取等号，故C 正确； ，所以 ， 当且仅当 ，即 时，取等号，故D 正确. 故选：ACD. 11．CD 选项A：当 时显然有 ，A 错误； 选项B： ， 当 时， ，由均值定理得 ，当且仅当 即 时等号成立， 所以当且仅当 时 取得最小值8，B 错误； 选项C：因为 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 又 ，当且仅当 即 时等号 成立， 综上 ，当且仅当 即 时等号成立，C 正确； 选项D：因为 ，由 得 ， 所以 ，当且仅当 即 时等号成立， 所以 ，D 正确； 故选：CD 12．ABD 对A：要使函数 有意义，只需 ，即 ，故A 正确； 对B：因为 ， 所以 的图象关于点 成中心对称可经过平移后可关于原点对称，故B 正确． 对C：由B 可知 ， 当 且时， ， 在 上递减， ，解得 ，但不 合题意，舍去； 当 时， ， 在 上递增， ，解得 ，符合题 意． 综上得， ，故C 错． 对D：∵ ， ， ∴ 的图象关于 对称，又函数 的图象关于 对称， ∴ 与 图象的交点成对出现，且每一对均关于 对称， ，故D 正确． 故选：ABD. 13．0 故答案为：0 14． 年后产生的垃圾为 ，故 ， 即 ，即 ，即 ，故 ， 故 年开始快递业产生的包装垃圾超过30000 万吨. 故答案为： 15． 当 时，原式 ， 成立； 当 时， 开口向下，显然有解； 当 时，只需 ，解之： 或 。 故答案为： 16．1 解： ，点 ， ，所以 ，分别代入 ， 故答案为：1. 17．（1） ；（2） . 解：（1）根据题意得， ， = （2） ，则 （当且仅当 即 时等号成立），故 18．(1) (2)偶函数，证明见解析 （1）由于 ， 所以 . （2） ， 为偶函数，证明如下： 的定义域为 ， 且 ， 所以 是偶函数. 19．(1) (2)答案见解析 （1）函数 ， 由不等式 的解集为 ，得 ， 且1 和3 是方程 的两根；则 ， 解得 （2） 时，不等式为 ， 可化为 ， 因为 ，所以不等式化为 ， 当 时， ，解不等式得 或 ； 当 时，不等式为 ，解得 ； 当 时， ，解不等式得 或 ； 综上： 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 20．(1) (2)时间间隔为3 分钟时，每分钟的净收益最大为84 元 （1）由题知，当 时， 当 时，可设 ， 又发车时间间隔为3 分钟时的载客量为396 人， ∴ ，解得 ． 此时 ， ∴ （2）由（1）知： ， ∵ 时， ，当且仅当 等号成立， ∴ 时， ， 当 上， 单调递减，则 ， 综上，时间间隔为3 分钟时，每分钟的净收益最大为84 元． 21．（1） ；（2）见解析；（3）递增区间是 ；递减区 间是 （1）设 又 是定义在 上的奇函数, 所以 当 时, 所以 （2）图象： （3）递增区间是 递减区间是 22．（1）在区间 的单调递增，在区间 的单调递减；（2） ． 解：（1）因为函数 在 单调递减，在 单调递增， 所以，当 时函数 在 单调递减，在 单调递增． 易知函数 为奇函数， 所以函数 在区间 的单调递增； 在区间 的单调递减． （2）由题意，对任意的 ，有 恒成立， 即对于任意的 ， 恒成立， 等价于 ． 设 ， 易知，当且仅当 ，即 时，函数 取得最小值， 由题设知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 又因为 ，且 ， ，而 ， 所以当 时， ． 所以 ，即 ， 故所求实数 的取值范围是 ．