山东省青岛第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

青岛二中教学质量检测 高二数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知 ，若 ∥ ，则 与 的值分别为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线 的右焦点到其渐近线的距离等于 ，则该双曲线的离心率 等于 A． B． C． D． 3．数列 为等差数列， 为等比数列， ，则 A． B． C． D． 4．已知 为数列 的前n 项和， ，那么 （ ） A．－4 B． C． D． 5．已知直线 与直线 互相垂直，则 （ ） A．-3 B．-1 C．3 D．1 6．已知空间四边形ABCD 中， ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 7．已知 为非零向量， ，若 ，当且仅当 时， 取得最 小值，则向量 的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本， 必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为平方米，水渠深 米， 水渠壁的倾角为 ，则当该水渠的修建成本最低时 的值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．已知数列 的前n 项和 ，数列 满足 ，若 ， ， （ ， ）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图所示，下列四条直线， ， ， ，斜率分别是 ， ， ， ，倾斜角分 别是 ， ， ， ，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 11．直线的方向向量为 ，两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则下列命题为真 命题的是（ ） A．若 ，则直线 平面 B．若 ，则直线 平面 C．若 ，则直线与平面 所成角的大小为 D．若 ，则平面 ， 所成二面角的大小为 12．以下四个命题表述正确的是（ ） A．若点 在圆 外，则实数m 的取值范围为 B．圆 上有且仅有3 个点到直线 的距离等于 C．圆 和圆 外切 D．实数 满足 ，则 的取值范围是 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．直线l 过点 ， ，则直线AB 的方程为______． 14．抛物线 的焦点坐标是_______________． 15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所 谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正 确的序号是______. “ ①等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； “ ②等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形； ③三组对棱长度分别为5，6，7 的“等腰四面体”的体积为 ； ④三组对棱长度分别为 ， ，的“等腰四面体”的外接球直径为 . 16．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______；若 恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知 是递增的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列. (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 的前n 项和为 ，求证： . 18．求下列各圆的方程，并面出图形. （1）圆心为点 ，且过点 ； （2）过 ， ， 三点． 19．已知正方体 . (1)求证: . (2)求二面角 的大小. 20．已知 是首项为2 的等比数列，各项均为正数，且 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前n 项和 . 21．如图， 平面 ， ， ， ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值； (3)若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 22．已知椭圆 ： 的焦距为 ，且经过点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 、 ，若椭圆上存在点 ，使得四 边形 为平行四边形（其中 是坐标原点），求平行四边形 的面积. 参考答案 1．A 由于 ，所以 ，且 . 故选：A. 2．D 右焦点到其渐近线的距离等于为 ，故 ,故离心率等于 ，故选D 3．D 试题分析：设等差数列 的公差为 ，则 ，又 成等比数列， 所以 ，即 ，解之得 ，所以等差数列 为常数列，所 以 ，故选D． 考点：1．等差数列的定义及性质；2．等比数列的定义与性质． 4．C 因为 ， 当 时， ， 当 时，由 得 ， 两式相减得 ， 即 ，又 ， 所以 是等比数列， ，则 ， 故选：C 5．D 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为3，由题意， ，解得 . 故选：D 6．C 由向量的运算法则，可得 . 故选：C. 7．C 设 为 与 的夹角，且 ，则 ， ∵当且仅当 时， 取得最小值， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ 故选：C 8．C 作出横截面 如下图所示，其中 ， ， ， ，则 ， ， ， ， 又梯形 的面积 ， ， ， 设 ， 则 ； 若 取最小值，则 取得最小值； 表示点 与点 连线的斜率， 的轨迹为 ， 可作出图象如下图所示， 则当过 的直线与 相切时， 取得最小值， 设切线方程为： ，即 ， 到切线距离 ，解得： ， 即当 时， 取得最小值，此时 ， 则 ，即当 时，该水渠的修建成本最低. 故选：C. 9．AD 当 时， ，当 时， ，故 （ ）， （ ）．因为 ， ， （ ， ）成等 差数列，所以 ，即 ，所以 ，（ ， ），从而 的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值 不可能是4，10， 故选:AD． 10．BC 直线， ， ， ，斜率分别是 ， ， ， ，倾斜角分别是 ， ， ， ， 由倾斜角定义知 ， ， ， ，故C 正确； 由 ，知 ， ， ， ，故B 正确； 故选：BC 11．BC 对于A：若 ，则直线 平面 ，或直线 平面 ，故A 错误； 对于B：若 ，根据平行的传递性可得直线 平面 ，故B 正确； 对于C：因为直线与平面所成角范围为 ，且若 ，即 与 的夹角为 ， 所以直线与平面 所成角的大小为 ，故C 正确； 对于D：因为两面所成角范围为 ，若 ，则平面 ， 所成二面角的 大小为 或 ，故D 错误. 故选：BC 12．ABD A, 点 在圆 外, , ，A 选项正确. B,圆 的圆心为 ，半径为 ， 圆心到直线的距离为 ， 所以圆 上有且仅有3 个点到直线 的距离等于 ，B 选项正确. C, 的圆心为 ，半径为； 的圆心为 ，半径为 ， 所以圆心距为 ，所以C 选项错误. D,圆 的圆心为 ，半径为， 表示圆上的点 与点 连线的斜率， 当直线 与圆 相切时，如图所示， ，所以 ， 结合对称性可知 的取值范围是 ，D 选项正确. 故选：ABD 13． 因为直线过点 ， ， 故可得直线 的斜率 ， 根据点斜式方程可得 整理化简得 . 故答案为： . 14． 15．①②③ 解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为 ， ，，与之对应的长 方体的长宽高分别为 ， ，， 则 ， 故 ， ， ， 结合图像易得①②正确； 三组对棱长度分别为 ， ， ，则 ， ， ， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积， 所以等腰四面体的体积 ，③正确； 三组对棱长度分别为 ， ，的“等腰四面体”的外接球直径 ，④错误. 故答案为：①②③. 16． 由 ， ，得 ， ， 所以数列 是首项为1，公比为 的等比数列， 所以 ， ， . 又 ，所以 恒成立， 即 ， 恒成立. 令 ，则 ，所以 是递减数列， 所以 ， ，即 ， 实数的取值范围为 . 故答案为： ； . 17．(1) (2)见解析. (1) 设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列， 所以 ， 因为 是递增，所以 ，故 ，所以 . (2) , 所以 ， 因为 单调递减，所以 单调递增， 故当 时， ，而 ， 故 . 18．（1） （图见解析）（2） （图见解析） （1）由题意知半径 , 所以圆的方程为： . （2）设圆的一般方程为： . 将 ， ， 代入得： 所以圆的方程为： . 19．(1)证明见解析；(2) . 设正方体边长为a，以 为原点， 为x 轴， 为y 轴， 为z 轴建立如图所示空间 直角坐标系，其中 (1) ， ， ，则 ； (2)设 分别为平面 ，平面 的法向量， 的夹角为 ， ， 则 ，令 可得 ， ， 则 ，令 可得 ， 所以 ，则 的夹角为 ， 所以二面角 的大小为 . 20．（Ⅰ） （Ⅱ） （I）设 的公比为 ，由 ， 得 或 . 又 的各项均为正数， （II） 21．(1)证明见解析 (2) ； (3) （1） 证明：因为 平面 ， ， 在平面 内， 则 ， ，又 ， 故以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 可得 ， ， ， ， . 设 ，则 . 则 是平面 的法向量，又 ，可得 . 又∵直线 平面 ，∴ 平面 ； （2） 依题意， ， ， . 设 为平面 的法向量， 则 令 ，得 . ∴ . ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ； （3） 设 为平面 的法向量， 则 ，取 ，可得 ， 由题意， ， 解得 .经检验，符合题意.∴线段 的长为 . 22．（1） （2） 解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为 ， ， 又椭圆 经过点 ，所以 ， 即 ， 所以 ，即 ， 又 ，所以椭圆的标准方程为 . （2）设直线的方程为 ，由 ，消去 得 .设 ， ， ， 则有 ，即 ， 又 ， . 因为四边形 为平行四边形，所以 ，故 ， ， 所以 ， 由点 在椭圆上可得 ，化简得 而 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 又点 到直线的距离 ， 故 的面积 . 所以平行四边形 的面积为 .