山东省青岛第二中学2022-2023学年高一上学期1月期末测试数学试题

2022-2023 第一学期期末测试 高一数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．下列能正确表示集合 和 关系的是（ ） A． B． C． D． 2．若 ， 是第二象限的角，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 3．半径为1，圆心角为2 弧度的扇形的面积是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知 ， ， ，则 ， ，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 ，满足对任意的实数 都有 成 立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据 建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： ，其中K 为最大确诊病例数．当I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫 情，则 约为（ ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 7．在同一直角坐标系中，二次函数 与幂函数 图像的关系可能 为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 只有一个零点，不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．1 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．已知幂函数 的图象过点 ，则（ ） A． B． C．函数 在 上为减函数 D．函数 在 上为增函数 10．下列各式的值等于1 的有（ ） A． B． C． D． 11．定义在R 上的函数 满足：对任意的 ，有 ， 集合A }，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则集合B 可 以是（ ） A． B． C． D． 12．若函数 对 ， ，不等式 成立，则称 在 上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α 是第___________象限角． 14．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ___________． 15．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方 法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计 算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 ， 现已知 ， 则 ______________. 16．设函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是_______． 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．求值： (1) (2) 18．已知全集 ，集合 ，集合 . (1)当 时，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 19．已知函数 ， （1）判断 的奇偶性； （2）用定义证明 在 上为减函数. 20．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边 分别与单位圆相交于P，Q 两点，P，Q 的纵坐标分别为 ， . （1）求 的值； （2）求 . 21．设函数 ，若实数 使得 对任意 恒成立，求 的值. 22．若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使 成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数 在定义域 上为“依赖函数”，求 的取值范围； （3）已知函数 在定义域 上为“依赖函数”，若存在实数： ，使得对任意的 ，不等式 都成立，求实数的最 大值. 参考答案 1．A 求出集合N，再求出 即可得答案. 解： ， 故 ， 故选：A 2．C 先求得 ，然后求得 . 由于 ， 是第二象限的角， 所以 ， 所以 . 故选：C 3．A 根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果 半径为1，圆心角为2 弧度的扇形的面积是 （其中为扇形所 对应的弧长，为半径， 为扇形所对应的圆心角）. 故选：A. 4．C 根据对数函数与指数函数的性质，分别判断 ， ，的范围，即可得出结果. 因为 ， ， ， 所以 . 故选：C. 5．B 本题先判断函数是定义在 上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可. 因为函数 满足对任意的 ，都有 成立， 所以函数 是定义在 上的减函数， 所以 ，解得 ，所以 故选：B 本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合. 6．C 将 代入函数 结合 求得 即可得解. ，所以 ，则 ， 所以， ，解得 . 故选：C. 本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7．A 根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案. 对于A，二次函数 开口向上，则 ，其对称轴 ，则 ，即幂 函数 为减函数，符合题意； 对于B， 二次函数 开口向下，则 ，其对称轴 ，则 ，即幂 函数 为减函数，不符合题意； 对于C，二次函数 开口向上，则 ，其对称轴 ，则 ，即 幂函数 为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意； 对于D， 二次函数 开口向下，则 ，其对称轴 ，则 ， 即幂函数 为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意； 故选：A 关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性 质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题. 8．C 根据函数 只有一个零点可得 ，又不等式 的 解集为 ，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的 关系最终可得 ，联合即可得 的值. 解：函数 只有一个零点，则 ， 不等式 的解集为 ，即 的解集为 . 设方程 的两根为 ，则 ，且 ， ∴ ，则 ，整理得 ， . 故选：C. 9．BC 根据幂函数的定义以及图象过点 可得 ，故选项A 错误、故选项B 正确.根据 幂函数 的单调性可判断C 正确、D 错误. ∵ 为幂函数，∴ ，即 ， ∴ 或 ， 当 时， ，此时 ，函数图象不过点 ，故 ，故选项A 错 误： 当 时， ，此时 ，函数图象过点 ，故 ，故选项B 正 确； 因为幂函数 在 上为减函数，故选项C 正确； 因为幂函数 在 上为减函数，故选项D 错误. 故选：BC 10．AD 根据同角平方关系可判断A，根据诱导公式可判断BCD. ，选项A 正确； ，选项B 错误； ，选项C 错误： ，选项D 正确， 故选:AD 11．CD 可先判断出函数 在R 上单调递减，结合图象即可得 ，再由“ ”是 “x∈B”的充分不必要条件，对应集合 是集合 的真子集即可求解. 依题意得，函数 在R 上单调递减，且图象过点 在同一坐标系下画出函数 与 的图象， 由图易知不等式 的解集为 ，即 ， 因为“ ”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合 是集合 的真子集． 可以取 满足集合 是集合 的真子集． 故选：CD. 12．ACD 令 ，题中条件转化为判断 在 上是减函数，再逐项构造函数，进 行判断即可． 若函数 满足对 ， ，当 时，不等式 恒成立， 则 ， 令 ，因为 ，则 ， ， 且 恒成 立， 在 上是减函数， 对于A 选项， ，则 ，对称轴是 ，开口向下，所 以 在 递减，故A 正确； 对于B 选项， ，则 在 上单调递增，故B 错； 对于C 选项， ，则 在 上显然单调递减，故C 正 确； 对于D 选项， ，则 ，因为 与 在 都 是减函数，所以 在 递减，故D 正确； 故选：ACD 关键点点睛： 求解本题的关键在于将 恒成立转化为新函数 满足 上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解. 13．第三象限角 试题分析：当sinα＜0，可知α 是第三或第四象限角，又tanα＞0， 可知α 是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0， 则α 是第三象限角． 考点：三角函数值的象限符号. 14．4 由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值． 设 ，则 ， ，即 ， 所以 ． 故答案为：4 15． 由题 ，分别化简 的值代入即可. 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： . 本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键. 16． ∵函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ， ∴ ，解得： ， 故答案为 17．(1)6 (2)0 (1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可； (2)根据诱导公式化简求值即可. （1） ； （2） ． 18．(1) 或 ； (2) 或 . （1）确定集合A，B，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案. （2）求出集合A 的补集，根据 ，列出相应不等式，求得答案. （1）集合 ， 当 时， ，则 或 ， 故 或 ； （2）由题意可知 或 ， , 由 ，则 或 ， 解得 或 . 19．(1)奇函数；(2)证明见解析. 试题分析： (1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用 可说明 是奇函数. (2)利用函数单调性的定义设设 是 上的任意两数，且 ，讨论 的符号即可证明函数 在 上为减函数. 试题解析： （1）函数 的定义域为 ， 又 ∴ 是奇函数. （2）证明：设 是 上的任意两数，且 ， 则 ∵ 且 ， ∴ 即 . ∴ 在 上为减函数. 点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若 不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或 判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作 差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之． 20．（1） ；（2） . （1）由三角函数的定义即可求解； （2）由三角函数的定义分别求出 、 、 的值，再计算 的值即可 出 的值. （1）因为点 的为角 终边与单位圆的交点，且纵坐标为 ， 将 代入 ，因为 是锐角， ，所以 ， 由三角函数的定义可得： ， （2）由 ， 是锐角，可得 ， 因为锐角 的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为 ， 将 代入 ，因为 是锐角， ，可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 . 21． 整理得， ， 则 可整理得， ，据此，列出方程组， ，解方程组，可得答案. 解： ， ， 即 ， 即 ， 化为： ， 依题意， 对任意 恒成立， ， 由 得： ， 故答案为： 22．（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2） ；（3）最大值为 . （1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到 ，解得： ，再由 ，解出 ，根 据 的范围即可求出 的取值范围； （3）根据题意分 ， ，考虑 在 上单调性，再根据“依赖函数”的 定义即可求得 的值，代入得 恒成立，由判别式 ，即 可得到 ，再令函数 在 的单调性，求得其最值， 可求得实数的最大值. （1）对于函数 的定义域 内存在 ，则 无解， 故 不是“依赖函数”. （2）因为 在 上递增，故 ，即 ， ， 由 ，故 ，得 ， 从而 在 上单调递增，故 . （3）①若 ，故 在 上最小值为0，此时不存在 ，舍去； ②若 ，故 在 上单调递减， 从而 ，解得 (舍)或 ， 从而存在 .使得对任意的 ，有不等式 都成立， 即 恒成立， 由 ，得 . 由 ，可得 ， 又 在 单调递减，故当 时， ， 从而 ，解得 ， 综上，故实数的最大值为 . 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③讨论最值 或 恒成立.