山东省青岛第二中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题

2022-2023 第一学期期末测试 高二数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知长方体 中， ，若棱 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知数列 中， ， ，则数列 的前 项和 A． B． C． D． 3．已知函数 ，则 （ ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 4．如图，已知正方体 棱长为，点 在棱 上，且 ，在侧 面 内作边长为 的正方形 ， 是侧面 内一动点，且点 到平面 距离等于线段 的长，则当点 在侧面 运动时， 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 5．设F 是双曲线 的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂 线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若 ，则双曲线C 的离心率是（ ） A． B．2 C． D． 6．数列{an}，{bn}满足 ，an＝b ，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n 项和为 ，记 ，n∈N*，数列{cn}的前n 项和为Sn，则Sn的最小值为（ ） A． B． C． D．-1 7．已知点 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点， 是圆 的圆心，则 的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．在 中，已知 ， 是边 上一点，且 ， ，则 面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．已知直线l： ＝0，则下列结论正确的是（ ） A．直线l 的倾斜角是 B．若直线m： ＝0，则l⊥m C．点 到直线l 的距离是2 D．过 与直线l 平行的直线方程是 10．若数列 满足 ，则称数列 为斐波那 契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都 有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A． B． C． D． 12．在直四棱柱中 中，底面 为菱形， 为 中点，点 满足 .下列结论正确的是（ ） A．若 ，则四面体 的体积为定值 B．若 平面 ，则 的最小值为 C．若 的外心为 ，则 为定值2 D．若 ，则点 的轨迹长度为 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．已知空间三点 ， ， 在一条直线上，则实数 的值是_ __________ 14．如图， 是可导函数,直线l 是曲线 在 处的切线，令 ，则 ___________. 15．已知椭圆 的右顶点为 ，经过原点的直线交椭圆 于 、 两点，若 ， ，则椭圆 的离心率为________. 16．对于正整数n，设 是关于x 的方程： 的实根，记 ，其中 表示不超过x 的最大整数，则 ______；若 ， 为 的前n 项和，则 ______． 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知点P 在曲线 上， 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求 的取值范 围． 18．已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 的最小值为 ，且实数 ， 满足 ，求 的最 小值. 19．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点． （1）求证：直线BA1 平面 （2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值． 20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺 锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮， 向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第 个图形包含 个小正方 形 (1)求 的值 (2)求出 的表达式 (3)求证：当 时， 21．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，双曲线 与 共焦点，点 在双曲线 上． （1）求双曲线 的方程： （2）已知点P 在双曲线 上，且 ，求 的面积． 22．已知函数 ， ． (1)当 时，求函数 在点 处的切线方程； (2)设 ，若 ， ，都有 ，求实数 的取值范围． 参考答案 1．C 建立空间直角坐标系，设 ，求出 、 ，利用 ，求出 的范围． 解：如图建立坐标系， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 即 ，所以 ， 当 时，所以 ，所以 ． 故选：C． 2．B 根据递推关系式构造等比数列 ，再根据等比数列通项公式得 ，即得数列 的通项公式，最后根据分组求和法求结果并选择. 因为 ，所以 ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为2 的等比数列，其通项公式为 ，所以 ，分组 求和可得数列 的前 项和 ． 故选B． 形如 的递推关系式， 利用待定系数法可化为 ，当 时，数列 是等比数列； 由 ， 两式相减，得 当 时，数列 是 公比为 的等比数列． 3．D 先求导，求得 得到 求解. 解： ， 则 ， 解得 ， 所以 ， 故 ． 故选：D 4．B 建立空间直角坐标系，根据 在 内可设出 点坐标，作 ，连接 ，可 得 ，作 ，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质， 即可求得 的范围，即得最小值. 根据题意，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 作 ，交 于M，连接 ，则 ， 作 ，交 于N，则 即为点P 到平面 距离. 设 ,则 ， ， ∵点 到平面 距离等于线段 的长，∴ ， 由两点间距离公式可得 ，化简得 ，则 ，可得 ，即 . 在 中， ，所以 （当且仅当 时取等号）. 故选: B. 关键点点睛： 本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题转化成代数问题， 通过计算二次函数的最小值来突破难点. 5．C 设一渐近线 的方程为 ，设 ， ，由 ，求得点 的坐标， 再由 ，斜率之积等于 ，求出 ，代入 进行运算． 解：由题意得右焦点 ，设一渐近线 的方程为 ， 则另一渐近线 的方程为 ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 可得，斜率之积等于 ，即 ， ， ． 故选：C． 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点 的坐标是解题的关 键，属于中档题． 6．C 先求出bn＝n，an=n2，从而得到 ，判断出 ， ， ，当 时， .即可求出Sn 的最小值. 记{bn}的前n 项和为 ，所以 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ， 所以{bn}为b1＝1，公差d=1 的等差数列，所以bn＝n. an＝b =n2. 所以 . 数列{cn}的前n 项和为Sn，要使Sn 最小，只需把所有的负项都加完. 因为 ，所以 ， ， ，当 时， . 所以Sn 的最小值为 . 故选：C 7．B 设抛物线 的准线方程为 ，过 作的垂线，垂足为 ，进而转化为求 的最小值，在根据几何知识得当 ， ， 在一条直线上时 有最小 值 解：设抛物线 的准线方程为 ， 为圆 的圆心， 所以 的坐标为 ， 过 作的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义可知 ， 所以问题求 的最小值，就转化为求 的最小值， 由平面几何的知识可知，当 ， ， 在一条直线上时，此时 ， 有最小值，最小值为 ， 故选：B． 8．B 设 .由题意 .则 ，两端平方，根据数量积运算和 基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立.再由三角形面积公式可求 面 积的最大值 设 .由题意 ， . 则 ， ， 即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. ， 面积的最大值为 . 故选： . 本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题. 9．BCD 对A，根据斜率判断即可； 对B，根据直线垂直斜率之积为-1 求解即可； 对C，根据点到线的距离公式求解即可； 对D，先求得 的斜率，再根据点斜式求解即可 对A，直线l： ＝0，直线的斜率为： 所以直线的倾斜角为： 所以A 不正 确； 对B，直线m： ＝0 的斜率为： 因为 ，故两条直线垂直，所 以B 正确； 对C，点 到直线l 的距离是： ＝2，所以C 正确； 对D， 的斜率为 ，故过 与直线l 平行的直线方程是 ，化简得 正确，所以D 正确； 故选：BCD． 10．ABC 根据斐波那契数列的定义计算 ，判断A，由递推公式判断BCD． 由题意 ，A 正确； , B 正确； ，又 ， 所以 ，C 正确； ，D 错． 故选：ABC． 关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的 项进行变形．如BD 在变形以最后一项时要注意是哪一项． 11．AB 根据椭圆的定义结合已知条件求出 ，再根据椭圆的几何性质 即可解出. 由椭圆定义， ， 由椭圆的几何性质， ，又e<1，∴ . 故选：AB. 12．ABD 对于A，取 的中点分别为 ，由条件确定 的轨迹，结合锥体体积公式判断 A，对于B，由条件确定 的轨迹为 ，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求 解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点 的轨迹为圆弧 ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断. 对于A，取 的中点分别为 ，连接 ，则 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， 所以 三点共线，所以点 在 ，因为 ， ，所以 , 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，所以点 到平面 的距离 为定值，因为 的面积为定值，所以四面体 的体积为定值，所以A 正确， 对于B，因为 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ， 又 平面 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ，所以 ，所以 四点 共面，所以平面 平面 ，平面 平面 ,平面 平面 ,所以 ，又 ，所以 ，所以点 的轨迹为线段 ， 翻折平面 ，使其与五边形 在同一平面，如图，则 ，当且仅当 三点共线时等号成立，所以 的最小值为 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，在 中， ， ，所以 ，所以 ，所以 ， 在 中， ， ， ， 所以 ，所以 ，即 的最小值为 ， 所以B 正确， 对于C，若 的外心为 ，过 作 于 ，因为 ，所以 ，所以C 错误， 对于D，过 作 ，垂足为 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 又在 中， ， 所以 ， ， 在 中， ， ， ，所以 ，则 在以 为圆心，2 为半径的圆上运动， 在 上取点 ，使得 ，则 ，所以点 的轨迹为 圆弧 ，因为 ，所以 ，则圆弧 等于 ，所以D 正确， 故选：ABD. 本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式， 空间图形与平面图形的转化解决问题. 13． 先计算 、 的坐标，利用空间向量共线定理即可求解. 因为 ， ， ， 所以 ， ， 因为空间三点 ， ， 在一条直线上， 所以 ，即 解得 ， 所以实数 的值是 ， 故答案为： . 14． 根据导数的几何意义，结合函数图像，确定 的值，根据 ，对 求 导，即可求解. 由图像可知， ，切线过 、 ， ，求导 故答案为： 导数的几何意义：函数在某一点 处的导数等于在这一点处的切线的斜率. 15． 设点 在第一象限，由对称性可知 ，利用锐角三角函数的定义可得出 ， 从而可求出点 的坐标，并将点 的坐标代入椭圆 的方程，可得出 与 的等量关系，即 可求出椭圆 的离心率. 不妨设点 在第一象限， 为坐标原点，由对称性可得 ， ，则在 中， ，故 ， 设点 ，则 ， ，即点 ， 将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ，可得 ， 设椭圆的焦距为 ，则椭圆 的离心率为 . 故答案为： . 本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是求出椭圆上的某一点，通过将点的坐标代入 椭圆方程来求出椭圆的离心率，考查运算求解能力，属于中等题. 16． 1 506 当 时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得 ，令 ，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得 的范围，分类讨 论 为奇数和偶数时的 ，从而可得出答案. 解：当 时， ，即 ， 令 ， 因为函数 在 上都是增函数， 所以函数 在 上都是增函数， 又 ， ， 所以函数 在 存在唯一零点， 即 ，则 ， 所以 ， 方程 ， 即为 ， 即为 ， 令 ，则 ， 则有 ， 令 ， 则函数 在 上递增， 因为 ， ， 所以 ，使得 ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 当 时， ， 所以 . 故答案为：1；506. 本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性 很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大. 17． 由题， ，求出 ，结合均值不等式讨论 的值域，即可求得 的范围，即可 进一步求得 的取值范围 函数 的导数为 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ；因为 ，所以 ，即 ． 18．（1） 或 ；（2）. （1）先将函数解析式化为 ，分别讨论 ， ， 三种情况，即可得出结果； （2）先由（1）得到 ，得出3a−4b−5=0，根据 的几何意义，即可求 出结果. 本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想. （1） . 由 ，可得 ，或 ，或 ， 解得 或 或 . 所以不等式的解集为 或 （2）由（1）易求得 ，即 . 所以 ，即 . 表示点 与点 的距离的平方. 又点 在直线 上. 因为点 到直线 的距离 ， 所以 的最小值为 . 本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于 中档题. 19．（1）证明见详解；（2） （1）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量 的坐标和平面 的一个法向量，由数量积为零即可证明结论； （2）首先求得平面ADC1与平面ABA1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角． （1）依题意得，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以 ＝(2,0，－4), 设平面ADC1的法向量为 ，因为 ＝(1,1,0)， ＝(0,2,4)， 所以 · ＝0， · ＝0，即x＋y＝0 且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以， ＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量, 因为 ，且 平面 所以 ∥ ； （2）取平面ABA1的一个法向量为 ，设平面ADC1与平面ABA1 所成二面角的大小为 ， 由|cosθ|＝ ＝ ＝ ， 因此平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． 本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： (1)一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算， 要认真细心，准确计算； (2)设 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与 互补或相等，求解时一定要注 意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 20．(1)61； (2) ； (3)见解析 （1）根据列举法找规律，得到 的值； （2）同样根据列举法找规律 ，根据累加法得到 的表达式； （3）根据（2）的结果，代入可得 ，利用累加法求和，再根据数列 的单调性证明不等式. （1） ， ， ， ， ， . （2） ∵ ， ， ， ， 由上式规律得出 ． （3） 证明：当 时， ， ∴ . ∵ ，∴命题成立. 21．（1） ；（2） （1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义 ，求双曲线方程；（2）结合 余弦定理和双曲线的定义，求 . （1）由椭圆方程可知 ， ， ， , ， ， 双曲线 的方程 ； （2）设点 在双曲线的右支上，并且设 ， ， ， 变形为 ， 22．(1) (2) （1）先求导，再求出 与 ，再由点斜式求解即可； （2） ， ，都有 ，则 成立， 用导数法分别研究 即可求解 (1) 当 时， ， ， ∵ ， ∴切点为 ， ∵ ， ∴切线斜率 ， ∴切线方程为 (2) ， ． 当 时， ， 单调递增， ∴ ， ． ， ， 令 ， ， ∴ 在 上单调递增，且 ， ， ∴ ，使得 ，即 ， 也即 ． 令 ， ， ， 显然 时， ， 单调递增， ∴ ，即 ． ∵当 时， ， ， 单调递减， 当 时， ， ， 单调递增， ∴ ． ∵ ， ，都有 ， ∴ ，得 ， 故实数 的取值范围为 ．