河南省豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛文科数学试题

文科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上； 2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效； 3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的） 1. 已知直线： ，则直线的斜率为 A. B. C. D. 不存在 2. 椭圆 的焦距为 A. B. C. D. 3. 不等式 表示的区域在直线 的 A. 左上方 B. 左下方 C. 右上方 D. 右下方 4. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则它们之间的距离为 A. B. C. D. 5. 两平行直线 与 之间的距离为 A. B. C. D. 6. 已知圆 ： ，圆 ： ，则圆 与圆 的位置关系为 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7. 椭圆 ： 的焦点为 ， ，点 在椭圆上，若 ， 则 的面积为 A. B. C. D. 8. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 9. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 10. 已知直线过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线 的条数为 A. B. C. D. 11. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线与椭圆 交于 两 点，且线段 的中点为 ，则直线的斜率为 A. B. C. D. 12. 已知椭圆 ，左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交椭 圆于 、 两点，若 的最大值为 ，则 的值是 A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．若数列{an}的前n 项和为 ，则数列{an}的通项公式an＝ ． 14．不等式 的解集为 ． 15．如果函数f（x）在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x1，x2，…，xn，都有 f（ ）．若y＝sinx 在区间（0，π）上是凸函数 那么在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 ． 16．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n 1 ﹣，则{an}的前60 项和为 ． 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。） 17.（10 分）已知a=2为等差数列，且 2 a =1 ，x≠1 ． （1）求数列0<a<2的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1=−8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n 项和 Sn． 18. （12 分）在锐角Δ ABC 中，a,b,c分别为角A ,B,C 所对的边，且 √3a=2csin A ． （1）求角C 的大小； （2）若 c=√7 ，且 Δ ABC 的周长为 5+√7 ，求 Δ ABC 的面积. 19.（12 分）已知等差数列 {an}是递增数列，且a1a5=9, a2+a4=10. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 bn= 1 an⋅an+1 (n∈N ¿) ，求数列{bn}的前n 项和Sn． 20.（12 分）已知函数a<0 ． （1）求不等式x ∈( 2 a ,1)的解集； （2）当0<a<2 时，求f (x)>0⇒的最小值及相应 x∈(−∞,1)∪( 2 a ,+∞)的值． 21. （12 分）锐角Δ ABC 中满足(a−b)(sin A+sin B)=(c−b)sinC ，其中a,b,c 分 别为内角A ,B,C 的对边． （1）求角 A ； （2）若 a=√3 ，求 b+c 的取值范围． 22.（12 分）设 ． （1）若不等式 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式 文科数学答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的） 二．填空题（共4 小题） 13． ． 14．（﹣1，0）∪（1，+∞）． 15． ． 16．1830 三、解答题 17.【解析】 （1）设数列{an}的公差为d ，则有d= a6−a3 3 =2，.....................2 分 ∴an=a3+(n−3)d=−6+2(n−3)=2n−12. .......................5 分 （2） ∵b2=−10−8−6=−24 ， ..........................6 分 ∴q=b2 b1 =−24 −8 =3 . ...........................7 分 ∴ 的前 项和 Sn= b1(1−qn) 1−q =−8×(1−3n) −2 =4−4×3n . ............10 分 18.【解析】 （1）因为√3a=2csin A , 由正弦定理得√3sin A=2sinC sin A , ........................2 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C B C A C A C C D 因为sin A≠0, 所以sinC=√3 2 , .........................4 分 又因为Δ ABC 为锐角三角形，所以C= π 3 ． ....................6 分 （2） 由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC , ...........................7 分 7=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab, .............................9 分 Δ ABC 的周长a+b+c=5+√7, c=√7. 所以a+b=5, ab=6. ...............................10 分 所以Δ ABC 的面积S=1 2 absinC=1 2×6×√3 2 =3√3 2 . ...............12 分 19.【解析】 （1）由a1a5=9, a2+a4=10,则{a1⋅a5=9¿¿¿¿ ....................2 分 解得：{a 1=9¿¿¿¿或{a 1=1¿¿¿¿ ............................3 分 由于数列为递增数列， 则： a1=1, a5=9. 故： d=2. .................................4 分 则： an=1+2(n−1）=2n−1. ................................5 分 （2） 由于 an=2n−1, 则： bn= 1 an⋅an+1 = 1 (2n−1)(2n+1)=1 2 ( 1 2n−1− 1 2n+1 ). ..............8 分 所以 Sn=b1+b2+⋯bn =1 2 (1−1 3 + 1 3−1 5 +⋯+ 1 2n−1− 1 2n+1 ) =1 2 (1− 1 2n+1 )= n 2n+1 ..............................12 分 20.【解析】 （1） ∴f ( x)≥1 ， ∴ x2−4 x+5 x−1 ≥1 ，即 x2−4 x+5 x−1 −1≥0 ................2 分 ∴x2−5 x+6 x−1 ≥0⇒( x−2)( x−3) x−1 ≥0⇒{ (x−2)(x−3)(x−1)≥0 x−1≠0 ...........5 分 ∴不等式的解集为(1,2]∪[3,+∞)...........................6 分 （2）当x∈(1,+∞)时，令t=x−1（t>0 ）, 则 y=(t+1)2−4(t+1)+5 t =t2−2t+2 t =t+ 2 t −2 ，..................8 分 ∵t>0， ∴t+ 2 t ≥2√2 ，∴y≥2√2−2...........................10 分 当且仅当 t=2 t ⇒t=√2 ，即x=√2+1时，等号成立， ∴f ( x)min=2√2−2，此时x=√2+1............................12 分 20.【解析】 （1）∵(a−b)(sin A+sin B)=(c−b)sinC , ∴由正弦定理得(a−b)(a+b)=(c−b)c , 即b2+c2−a2=bc. ............2 分 ∴cos A=b2+c2−a2 2bc = bc 2bc =1 2 . .................4 分 ∴A= π 3 . .................5 分 （2） ∵A= π 3 , B+C=2π 3 . .................6 分 又Δ ABC 为锐角三角形， ∴π 6 <B< π 2 . .................7 分 由正弦定理得 b sin B = c sinC = a sin A = √3 sin π 3 =2 得：b=2sin B, c=2sinC. ....8 分 ∴b+c=2sin B+2sinC=2sin B+2sin(2π 3 −B)=3sin B+√3cos B =2√3( √3 2 sin B+ 1 2 cos B)=2√3sin(B+ π 6 ). .................10 分 又 ∵π 6 <B< π 2 , π 3 <B+ π 6 < 2π 3 ∴sin(B+ π 6 )∈( √3 2 ,1]. .................11 分 所以b+c∈(3,2√3]..................12 分 22.【解析】 （1）f ( x)≥−2对于一切实数x 恒成立等价于ax2+(1−a)x+a≥0对于一切实数 x 恒成立， 当a=0时，不等式可化为x≥0，不适合题意; ..................1 分 当a≠0时，{a>0¿¿¿¿即{a>0 ¿¿¿¿ ....................2 分 整理得{a>0¿¿¿¿解得a≥1 3 . ....................4 分 故f ( x)≥−2对于一切实数x 恒成立时a≥1 3 . ....................5 分 （2）不等式f ( x)<a−1等价于ax2+(1−a)x−1<0, 当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}； ........6 分 当a>0 时，不等式可化为(ax+1)( x−1)<0, 此时−1 a <1，所以不等式的解 集为{x|−1 a <x<1}； ....................8 分 当a<0 时，不等式可化为(ax+1)( x−1)<0, ? ①当a=−1时，−1 a=1，不等式的解集为{x|x≠1}； ...................9 分 ? ②当−1<a<0时，−1 a >1，不等式的解集为{x|x>−1 a x 或<1}；.........10 分 ? ③当a<−1时，−1 a <1，不等式的解集为{x|x>1 x 或<−1 a}； ...........11 分 综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}； 当a>0 时，不等式的解集为{x|−1 a <x<1}； 当a=−1时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当−1<a<0时，不等式的解集为{x|x>−1 a x 或<1}； 当a<−1时，不等式的解集为{x|x>1 x 或<−1 a}. .................... 12 分