湖北省荆州中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

荆州中学2022 级高一期末考试 数 学 试 题 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题 目的一项） 1.已知集合M={x∣x 2<2}, N={−2,−1,0,1,2}，则M ⋂N=¿( ) A. {−2,−1,0,1,2} B. {−1,0,1} C. {−1,1} D. {−2,2} 2.命题“∀x∈R，x 3−x 2+1≤0”的否定是( ) A. ∃x∈R，x❑ 3−x❑ 2+1≥0 B. ∃x∈R，x❑ 3−x❑ 2+1>0 C. ∃x∈R，x❑ 3−x❑ 2+1≤0 D. ∀x∈R，x❑ 3−x❑ 2+1>0 3.已知正数a，b满足a+b=2，则1 a + 9 b 的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 16 D. 20 4.已知关于x的不等式k x 2−6 kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围 是( ) A. [0,1] B. (0,1¿ C. (−∞,0)∪(1,+∞) D. (−∞,0¿∪¿ 5.若α为第四象限角，则( ) A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin 2α>0 D. sin 2α<0 6.已知函数f (x )={ (a−2) x , x ≥2 ( 1 2) x −1, x<2满足对任意的实数x1≠x2都有f (x1)−f (x2) x1−x2 <0成 立，则实数a的取值范围为( ) A. (−∞,2) B. (−∞, 13 8 ¿ C. (−∞,−2¿ D. ¿ 7.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数 据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t的单位：天)的Logistic模型： I (t )= K 1+e −0.23(t −53)，其中K为最大确诊病例数.当I (t ∗)=0.95 K时，标志着 已初步遏制疫情，则t ∗约为(ln19≈3)( ) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 8.在同一直角坐标系中，二次函数y=a x 2+bx与幂函数y=x b a (x>0)图像的关系 可能为( ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9.关于角度，下列说法正确的是( ) A. 时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B. 钝角大于锐角 C. 三角形的内角必是第一或第二象限角 D. 若α是第三象限角，则α 2 是第二或第四象限角 10.若不等式a x 2+bx+c>0的解集是(−1 2 ,2)，则以下正确的有( ) A. a<0 B. c a=−1 C. a+2b+3c>0 D. c x 2+bx+a>0的解集为 (−2, 1 2 ) 11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( ) A. +¿ B. ¿ C. a+¿ b −2 D. +¿ 12.已知函数f (x )的定义域为R 且f (x )=f (x+5)，当x∈[0,5)时， f (x )=|x 2−4 x+3|.则下列说法中正确的是( ) A. f (x )的增区间为(1+5k ,2+5k )∪(3+5k ,5+5k )，k ∈Z B. 若y=a与y=f (x )在[−5,7 ]上有10个零点，则a的范围是(0,1) C. 当x∈[0,a]时，f (x )的值域为[0,3]，则a的取值范围[1,4 ] D. 若y=kx −2 (k>0)与y=f (x )有3个交点，则k的取值范围为( 1 2 , 2 3) 三、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13.已知幂函数f ( x)=k x α的图象过点(2,4)，则k+α=¿ ______ ． 14.已知扇形的周长为20cm，面积为9c m 2，扇形的圆心角(正角)的弧度数 为 ． 15.设函数y=f ( x)是定义在[−1,1]上的偶函数，且f ( x)在[0,1]上单调递减，若 f (1−a)<f (a)，则实数a的取值范围是 . 16.记I[a,b]( x)定义为I[a,b]( x)={ a, x<a, x ,a⩽x⩽b, b, x>b, ，若函数 f ( x)=( I[−1,2]( x)) 2−I[3,4]( x)，则函数f ( x)的最大值为 ；不等式 f ( x)≥−2 x的解集为 ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17.(本小题10.0分) 求值： （1）8 2 3+2 log23−lg 5 2 −2lg2 （2）sin 25 π 6 −cos 10 π 3 +tan(−13 π 4 ) 18.(本小题12.0分) 已知全集U=R，集合A={x∨x 2−x−12≤0}，集合 B={x∨m−1≤x ≤m+1}． （1）当m=4时，求A ∪(∁U B)； （2）若B⊆(∁U A )，求实数m的取值范围． 19.(本小题12.0分) 已知函数f (α )=sin(π −α )cosα sin( π 2 −α ) + sin(π+α )cos(2π −α ) cosα tan(−α ) (1)化简f (α )； (2)若f (α )=1 5 ,−π 2 <α<0，求sin α ⋅cosα，sin α −cosα的值． 20.(本小题12.0分) 已知函数f ( x)= x 2−4 x+3 x ． (1)用单调性定义证明函数f ( x)在区间(❑ √3,+∞)上是增函数； (2)求函数f ( x)在区间[1,4]的值域． 21.(本小题12.0分) 某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建 一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为 3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将 铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面 积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域； (2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值． 22.(本小题12.0分) 已知函数f ( x)=ln x−1 x+1 . (1)求证：f ( x)是奇函数； (2)若对于任意x∈[3,5]都有f ( x)>t −3成立，求t的取值范围； （3）若存在α ，β ∈(1,+∞)，且α<β，使得函数f ( x)在区间[α ，β]上的 值域为 [ln(mα −m 2 )，ln(mβ −m 2 )]，求实数m的取值范围.