湖北省荆州中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

第1 页/共11 页 （北京）股份有限公司 荆州中学2021 级高二上学期期末考试 数学试题 命题人： 杨俊祎 审题人：张 静 朱代文 一、单项选择题：本题共8 个小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设 、 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8 个等边三角形组成的正八面体. 若 某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ） 第2 页/共11 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5. 已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线 分别与x 轴，y 轴交于 两点，点 在圆 ，则 第2 页/共11 页 （北京）股份有限公司 面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 28 或-21 8. 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平 分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对得2 分. 9. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ） A. ， B. ， C. an={ 2,n 为奇数 0.n 为偶数 ， D. ， 10. （多选）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著 作，《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100 根相 同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2， 且从最下面一层开始5 每一层比上一层多1 根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是（ ） 第3 页/共11 页 （北京）股份有限公司 A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 11. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ，动点M 到点F 的距离与到直线 的距离相等，记M 的轨 迹为曲线C．若过点F 的直线与曲线C 交于 ， 两点，则（ ） A. B. 的面积的最小值是2 第3 页/共11 页 （北京）股份有限公司 C. 当 时， D. 以线段OF 为直径的 圆与圆 相离 12. 矩形ABCD 中， ， ，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，若 ，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体ABCD 的 体积为 B. 点B 与D 之间的 距离为 C. 异面直线AC 与BD 所成角为45° D. 直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 设 是等差数列的 前 项和，已知 ， ，则 _______. 14. 设双曲线 ： 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为__________． 15. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 _______. 16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥 曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究 成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A、B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是阿 波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1 和点 ，点B（1， 第4 页/共11 页 （北京）股份有限公司 1），M 为圆O 上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____． 四、解答题:本题共6 小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知圆 和直线 . （1）判断直线与圆 的位置关系； （2）求直线被圆 截得的最短弦长及此时直线的方程. 18. 在数列 中， . 第4 页/共11 页 （北京）股份有限公司 （1）设 ，求证：数列 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 19. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求 的值； （2）若 ，求 面积的最大值. 20. 如图， 平面 ， 平面 ， ， ， ， . （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的 余弦值. 21. 己知等比数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，证明： ． 22. 已知抛物线C： ，F 为抛物线C 的焦点， 是抛物线C 上点，且 ； （1）求抛物线C 的方程； （2）过平面上一动点 作抛物线C 的两条切线PA，PB（其中A，B 为切点），求 第5 页/共11 页 （北京）股份有限公司 的最大值.