丰城中学2022-2023上学期高一年级（大部队）期中考试数学答案

丰城中学校本资料 高一年级（大部队）期中考试·数学答案 · 第1 页 丰城中学2022-2023 学年上学期高一年级（大部队）期中考试试卷 数 学 （答案） 考试时间：2022 年10 月25 日 15：50—17：50 总分：150 分； 时长：120 分钟 命题人：赵志平 审题人：徐义辉 1．C 【详解】因为 {3} A B   ,所以2 1 3  a ,即 2 a  ,从而 3 b  ，所以 5 a b   ，故选：C 2．B 【详解】因为 1 0 3 x x    ，则   1 3 0 1 3 x x x     ， 因为 2 x a   ，则2 2 2 2 x a a x a         ， 即1 3 x   是 2 2 a x a    的充分而不必要条件，所以 2 1 1 3 2 3 a a a         ，故选:B. 3． A 【详解】 2 6 1 6 1 3 ( ) 9 6 6 2 6 2 x y x y xy       ，当且仅当 +6 =6 =6 x y x y    ，即 =3 1 = 2 x y      时等号成立. 故选：A. 4．B 【详解】若 0 a  ，则2 0  恒成立，故 0 a  符合， 若 0 a  ，则 2 0 16 0 a a a       即16 0 a    ，综上，16 0 a    ，故选：B 5．C 【详解】因为  y f x  的定义域为  8,1  ，则8 2 1 1 x  ，解得 9 0 2 x    ， 即   2 1 f x  的定义域为 9 ,0 2       ，而   2 1 2 f x g x x    为   9 , 2 2,0 2          . 故选：C 6． 【答案】A 【详解】设幂函数为y x  ，因为该幂函数得图象经过点 1 4, 2 P     ， 所以 1 4 2  ，即 2 1 2 2    ，解得 1 2  ，即函数为 1 2 y x   ， 则函数的定义域为(0, ) ，所以排除CD， 因为 1 0 2   ，所以 1 2 ( ) f x x   在(0, ) 上为减函数，所以排除B，故选：A 7．B 【详解】因为     2 2 f x f x    ，所以 5 1 1 3 2 2 2 2 2 2 f f f f                             ， 7 3 3 1 2 2 2 2 2 2 f f f f                             ，因为  f x 在  0,2 上是增函数，且 1 3 0 1 2 2 2    ， 所以  1 3 1 2 2 f f f              ，即  7 5 1 2 2 f f f              ，故选：B 8．A 【详解】x，y 为正实数，则 2 16 16 2 2 16 2 6 2 2 y x y x x x x y x x y           ，当且仅当 2 16 2 x y x x x y    ，即 2 y x  时 等号成立. 最小值为6， 故选：A 丰城中学校本资料 高一年级（大部队）期中考试·数学答案 · 第2 页 9．AC 【详解】     | 1 , R, | 1 A y y B A B x x       ，所以A 选项错误； 因为集合   5 N | N 0,4 1 x x           ，所以B 选项正确； 由于  2 | 2 1 0 1 x x x    ，集合中只有一个元素，和为1，所以C 选项错误； 对于集合A， 当 2 k n  时， 4 1, x n n   Z， 当 2 1 k n  时， 4 1, x n n   Z， 即   | 4 1 , Z A x x n n B      ， 所以D 选项正确. 故选:AC. 10．ACD 【详解】p 的否定是: 0 [0,1] x   ,不等式 2 0 2 2 3 x m m    ，A 正确 q 的否定是: 0 [1,3] x   ,不等式 2 0 0 4 0 x ax    ，B 错误 若p 为真命题,则 2 min [0,1],(2 2) 3 x x m m    ,即 2 3 2 0 m m   ，解得1 2 m ，C 正确. 若q 为假命题,则 2 [1,3], 4 0 x x ax     恒成立，即 4 a x x   恒成立， 因为 4 4 2 4 x x x x    ,当且仅当 4 x x  ,即 2 x 取等，所以 4 a ，D 正确. 故选：ACD 11．AC 【详解】  f x 是奇函数， g x 是偶函数，    f x f x    ，   g x g x   ， 对于选项A：令   h x f x g x  ，         h x f x g x f x g x h x       ， 则   f x g x 为奇函数，即选项A 正确； 对于选项B：令   h x f x g x  ，           h x f x g x f x g x f x g x h x        ， 则   f x g x 为偶函数，即选项B 错误； 对于选项C：令     h x f g x ，          h x f g x f g x h x      ， 则    f g x 为偶函数，即选项C 正确； 对于选项D：令    h x g f x  ，             g f x g f x g f x h x h x        ， 则    f g x 为偶函数，即选项D 错误；综上所述A，C 正确，故选：AC. 12．AC 【详解】对于A 选项，   2,2 x  ，  f x a  恒成立，即 min f x a  ，  f x 为减函数， 所以  min ( ) 2 3 f x f a   ，A 选项正确； 对于B 选项，   2,2 x  ，  f x a  恒成立，即 max f x a  ，所以  2 5 f a    ，B 选项不正确； 对于C 选项，   0,3 x  ， g x a  ，即  max min g x a g x   ， g x 的图像为开口向上的抛物线，所以在 对称轴 1 x 处取最小值，在离对称轴最远处 3 x  取最大值，所以  3 3 1 1 g a g    ，C 选项正确； 对于D 选项，   2,2 x  ，   0,3 t  ，   f x g t  ，即要求  f x 的值域是 g x 值域的子集，而  f x 的 值域为[ 3,5]  ， g x 值域为[ 1,3]  ，不满足要求，D 选项不正确； 故选：AC. 13．  1,0  【详解】由题意得 1, 2 2 0, 1 4 2 2, a a a a              ,即 2 0 1 a a a       ，解得：1 0 a   ． 所以a 的取值范围为  1,0  . 故答案为：  1,0  . 丰城中学校本资料 高一年级（大部队）期中考试·数学答案 · 第3 页 14．  1,3 和  3, 【详解】要使 2 1 2 3 y x x    有意义，则 2 2 3 0 x x    ，解得 3 x  且 1 x  设   2 2 2 3 1 2 t x x x      ，  3 x x x  且  1 x  则 2 2 3 t x x   在  1,3 和  3,单调递减，在  , 1  和  1,1  单调递增， 所以 2 1 2 3 y x x    的单调增区间为  1,3 和  3,，故答案为：  1,3 和  3, 15．1 1 , 5 4       【详解】因为1 4 x   ，所以 1 0 x  ，       2 3 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 4 x x x x x f x x x x x x x x x              ，令   4 , 1,4 x x x g x    ， 由双勾函数知， g x 在  1 2 ，上单调递减，在  2 4 ，上单调递增， 所以   2 4, 1 5, 4 5 g g g    ，所以  4,5 g x  ，所以  f x 1 1 , 5 4       . 故答案为：1 1 , 5 4       . 16． 1 1, 2        【详解】因为对任意给定的实数   1 2 1 2 , x x x x  ，恒有       1 1 2 2 1 2 2 1 + < + x f x x f x x f x x f x ， 即     1 2 1 2 <0 x x f x f x       成立，所以函数  f x 在R 上单调递减，又 (0)=0 f ， 所以不等式( +1) (1 2 )<0 x f x  等价于   +1<0 1 2 >0= (0) x f x f     或   +1>0 1 2 <0= (0) x f x f     ， 等价于 +1<0 1 2 <0 x x     或 +1>0 1 2 >0 x x     ，解得： 1 1< < 2 x  ， 所以不等式( +1) (1 2 )<0 x f x  的解集为 1 1, 2        . 故答案为： 1 1, 2        17． (1) 2 m  (2)  0,   （1）解：若A B  ，则 2 1 1 3 m m      ，解得 2 m ，即实数m 的取值范围是 2 m ； （2）解：若B 时，2 1 m m，此时 1 3 m  ，满足A B ； 若B 时，应满足 2 1 1 1 m m m      ，或 2 1 2 3 m m m      ；解得 1 0 3 m   或m；所以 1 0 3 m   ； 综上知，实数m 的取值范围是  0,   ． 18． 1 [ ,0] 2  【详解】由题意p 为假命题，则 2 R, 2 1 0 x ax ax    为真命题，当 0 a  时，1 0  恒成立，适合题意； 当 0 a  时，需满足 0 a 且 2 4 4 0 a a    ，解得1 0 a   ，综上可知实数a 的取值范围是( 1,0]  ； 又命题 : q 集合   2 | 0, R A x ax x a a      ，集合A 至少有两个子集为真命题， 则当 0 a  时， 2 0 ax x a    为 0 x  ，则  0 A  有两个子集，符合题意； 当 0 a  时， 2 0 ax x a    需有实数根，需满足 2 1 4 0 a    ，即 1 1 2 2 a    且 0 a  ， 综合知 1 1 2 2 a    ， 综合上述可得实数a 的取值范围是 1 [ ,0] 2  . 丰城中学校本资料 高一年级（大部队）期中考试·数学答案 · 第4 页 19．(1)函数  f x 在R 上单调递减，证明见解析 (2) 1 1 2 x x          （1）函数  f x 在R 上单调递减，证明如下：任取, R x y ，且 1 2 x x  ， 可得           1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 f x f x f x f x x x f x f x x f x                     2 1 1 f x x   ， 因为 2 1 0 x x   ，且 0 x  时， 1 f x ，所以   2 1 1 f x x  ，所以    1 2 0 f x f x   即    1 2 f x f x  ，所以  f x 在R 上单调递减． （2）令y x  ，得     2 1 f x f x f x   ，∴    2 2 1 f x f x   ∴         2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 4 f x x f x f x x f x f x x x              ∴  2 2 2 2 f x x    ，又  f x 在R 上的单调递减且  1 2 f   ， ∴    2 2 2 1 f x x f     ，∴ 2 2 2 1 x x   ． ∴ 1 1 2 x   ， 即不等式解集为 1 1 2 x x          20．(1) 3 { 3 2 x x   且 3} 2 x  ； (2) ①[1,2) ② 5 , 4        【详解】(1)要使函数有意义，需满足 3 0 2 3 0 3 2 0 x x x           ，即 3 3 2 3 2 x x x         ，解得 3 3 2 x   且 3 2 x  . 所以函数的定义域为 3 { 3 2 x x   且 3} 2 x  . (2)①： 2 2 2 2 2 2 1 2( 1) 1 1 ( ) 2 1 1 1 x x f x x x x          ，因为 2 1 1 x ，所以 2 1 0 1 1 x    ， 即 2 1 1 0 1 x    ，得 2 1 1 2 2 1 x     ，即函数 ( ) f x 的值域为[1,2) ； ②： ( ) 4 1 f x x x   ，由4 1 0 x  ，得 1 4 x  ，所以函数的定义域为 1 [ , ) 4  ， 令 4 1 t x  ，则 0 t  ， 2 1 1 4 4 x t   ，所以 2 2 1 1 1 5 4 1 ( 2) 4 4 4 4 x x t t t       ， 又函数 2 1 5 ( 2) 4 4 y t    在[0,2)上单调递减，在(2, ) 上单调递增， 所以当 2 t  时函数取得最小值，最小值为 5 4  ，故函数 ( ) 4 1 f x x x   的值域为 5 [ , ) 4  . 21．(1)3 2 2  (2)5 2 6  （1）因为a、b 是正数，1 1 1 a b  ，所以  1 1 2 2 2 3 a b a b a b a b b a              ， 因为 0 a b  ，2 0 b a  ，所以 2 2 2 3 3 2 3 2 2 a b a b a b b a b a       ，当且仅当 2 1 a  ， 2 1 2 b 时等 号成立，故 2  a b 的最小值为3 2 2  ； （2）由1 1 1 a b  可得1 1 b a b   ，又 0, 0 a b   ，所以 1 0 b ， 又1 1 1 a b  可化为ab a b   ，所以( 1)( 1) 1 a b   ， 所以 1 0 a  ，又2 3 2 1 2 1 3 3 1 1 a b a b a b        ， 2 0 1 a   ， 3 0 1 b ， 所以 6 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 1 1 1 1 1 1 2 3 a b a b a b a b                当且仅当 6 3 3 a   、 2 2 6 b   时等号成立，故2 3 1 1 a b a b   的最小值为5 2 6  ． 丰城中学校本资料 高一年级（大部队）期中考试·数学答案 · 第