丰城中学2022-2023学年上学期高二年级期中考试数学参考答案

丰城中学校本资料 高二年级第1页/ 共4 页 丰城中学2022-2023 学年上学期高二年级期中考试数学试卷参考答案 1-4：D B C B 5-8:B B A C 9:BC 10:BC 11:AC 12:ABC 13: 48 5  14:4 15: 5 1 2  16:6 4 2  16 解： 2 2 π sin cos sin 4 a x b x a b x          ， 因为关于x 的方程sin cos 2 a x b x   有实数解， 所以 2 2 2 a b   ，即 2 2 4 a b   ， 则点  , a b 的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2 的同心圆， 设点  , a b 的轨迹方程为   2 2 2 2 x y r r    ，     2 2 1 1 a b    表示点  , a b 到点  1,1 距离的平方， 因为 2 2 1 1 2 4    ， 所以点  1,1 在圆 2 2 4 x y   内， 点  1,1 到圆   2 2 2 2 x y r r    上的点的最小值为 1 1 2 2 2 r r       ， 所以    2 2 1 1 a b    最小值时  2 2 2 6 4 2    . 故答案为：6 4 2  . 17:解(1)证明：在△PBC 中，E，F 分别是PB，PC 的中点，∴EF∥BC． ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD． 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD． (2)如图，连接AE，AC，EC，过E 作EG∥PA 交AB 于点G.则EG⊥平面ABCD，且EG ＝1 2PA． 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2， ∴AP＝AB＝2，EG＝2 2 . ∴S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2× 2×2＝2， 丰城中学校本资料 高二年级第2页/ 共4 页 ∴VE－ABC＝1 3S△ABC·EG＝1 3× 2× 2 2 ＝1 3. 18.解： （1）因为1 2 l l // ，所以 0 m  ，且 2 8 1 4 m m m    ，由 2 1 m m m   ，得 2 2 0 m m    ，解得 1 m 或 2 m  （舍去）所以 1 m ， （2）因为点  1, P m 在直线2 l 上，所以 4 0 m m    ，得 2 m  ，所以点P 的坐标为(1,2) ， 所以设直线l 的方程为 2 ( 1) y k x    （ 0 k  ） ，令 0 x  ，则 2 y k   ，令 0 y  ，则 2 1 x k  ， 因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，所以 2 1 2 0 k k     ，解得 1 k 或 2 k  ， 所以直线l 的方程为 1 0 x y   或 2 y x  19.解（1）设圆C 的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F     ， 则有 1 0 2 4 2 0 10 3 0 D E E F D E F                ，解得 6 4 4 D E F         ， 所以圆C 的方程为 2 2 6 4 4 0 x y x y     ，化为标准方程， 2 2 ( 3) ( 2) 9 x y    ． （2）设存在符合条件的实数a ，由于直线 l 垂直平分弦AB ，故圆心 (3, 2) C  必在直线 l 上， 所以直线 l 的斜率 2 PC k ， 又 1 AB PC k a k   ， 所以 1 2 a  ． 把直线 1 0 ax y   ， 代入圆C 的方程， 消去y ， 整理得    2 2 1 6 1 9 0 a x a x     ．由于直线 1 0 ax y   交圆C 于A ，B 两点， 故     2 2 Δ 36 1 36 1 0 a a      ，解得 0 a  ，与 1 2 a  矛盾， 故不存在实数a ，使得过点   2,0 P 的直线 l 垂直平分弦AB ． 20.解（1）因为PA 平面ABCD，且BD 平面ABCD，所以PA BD  ， 又因为PC 平面BDE ，BD 平面BDE ，所以PC BD  ， 且PA PC P   , PA 平面PAC , PC 平面PAC , 所以BD 平面PAC . （2）设 , AC BD 的交点为O，过点O作OF PC  于点F ，连接BF 由（1）知，BD 平面PAC ，且OF 平面PAC ， 所以BD OF  ，即OBF  为直角三角形. 且BO PC  ，BO OF O  I ，OF 平面BDF ，BO 平面BDF ， 丰城中学校本资料 高二年级第3页/ 共4 页 所以PC 平面BOF ，BF 平面BOF ，所以PC BF  ， 所以 BFO  为二面角B PC A   的平面角 由（1）知BO AC  ，所以ABCD为正方形. 且COF CPA V :V , 2 6 2 3 2 3 OF OC OF OF PA PC      在Rt BFO △ 中， 2 BO  , 6 3 OF  ，则 2 tan 3 6 3 OB BFO OF     所以二面角B PC A   的正切值为 3 21.解（1）设  , P x y ，    10 2,3 A B  ，， 因为2 PA PB  两端同时平方得 2 2 4 PA PB  ，故       2 2 2 2 4 1 2 3 x y x y           化简得 2 2 4 2 3 0 x y x y      . 综上所述曲线C 的方程为：    2 2 2 1 8 x y     （2） 直线l ：     2 1 1 2 0 m x m y m       提出m 得 (2 1) 2 0 m x y x y       令 2 1 0 2 0 x y x y        解得 1, 1 x y      ， 故直线过定点   1,1 D ，因为带入点   1,1 D 到圆的方程：    2 2 1 2 1 1 1 4 5 8       ，故点   1,1 D 在圆C 的 内部， 设圆心C 到直线MN 的距离为d ， 又 (2, 1) C  ， 所以 2 2 2 MN r d   ， 又因为 5 d CD   ， 2 2 r  . 所以 2 2 2 2 r MN r CD    ,解得4 2 2 3 MN   . 故MN 的取值范围为：2 3,4 2     22.解（1）由条件可知2 2 6 6 c c    ，并且椭圆的焦点在x 轴，所以   1 6,0 F  ，   2 6,0 F ，则     2 2 1 2 2 2 6 1 2 6 1 a AF AF            2 2 11 4 6 11 4 6 2 2 3 2 2 3         4 2  , 2 8 a   ， 2 2 2 2 b a c    ，所以椭圆C 的方程 2 2 1 8 2 x y  ； （2）设   1 1 , P x y ，   2 2 , Q x y 联立方程 2 2 1 8 2 y kx m x y          ，  2 2 2 1 4 8 4 8 0 k x kmx m      ，    2 2 2 2 64 4 1 4 4 8 0 k m k m      即 2 2 2 8 m k   ， 丰城中学校本资料 高二年级第4页/ 共4 页 1 2 2 8 1 4 km x x k   ， 2 1 2 2 4 8 1 4 m x x k    ， 1 2 1 2 1 1 0 2 2 AP AQ y y k k x x         ， 即        2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 x y x y x x              2 1 1 2 2 1 2 1 0 x kx m x kx m         ，      1 2 1 2 2 2 1 4 1 0 kx x k m x x m        即       2 2 2 2 4 8 8 2 1 4 1 0 1 4 1 4 k m km k m m k k          ， 整理得   2 1 2 1 0 k m k     ，所以 1 2 k  或 1 2 m k  ， 若 1 2 m k  ，则直线l 过点  2,1 A ，不合题意， 所以直线PQ的斜率为定值，该定值是 1 2 .