河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期中联考数学试题

大联考 2021—2022 学年（下）高一年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z 满足  1 i 1 z  ，则z 的虚部为（） A. 1 2  B. 1 i 2  C. 1 2 D. 1 i 2 2. 已知ABC  中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若 1 2, 4,cos 4 a b C    ，则ABC  的周长为（） A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 3. 已知向量       2,3 , 1, , 1, 2 m n p      � ，若  m n p   � ，则实数（） A. 1 B. 1 2  C. 3 2  D. 9 2 4. 一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为6 2 ，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四 棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知m 为实数，则“ 1 m ”是“复数   2 1 1 i z m m     为纯虚数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，已知AB 是圆O 的直径，且 4 AB ，点C，D 是半圆弧AB 的两个三等分点，则 AD AC   � （） A. l B. 2 C. 4 D. 6 7. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图是 一个半正多面体，它的表面由正方形和等边三角形组成，它可由正方体截去八个一样的四面体 得到，且所有顶点都在该正方体的棱上，从正面观察该图形，得到的平面图形为（） A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的个数为（） ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 下列命题正确的 是（） ①若复数z 满足 2 R z  ，则 R z  ； ②若复数z 满足 i R z  ，则z 是纯虚数； ③若复数 1 z ， 2 z 满足 1 2  z z ，则 1 2  z z ； ④若复数 1 z ， 2 z 满足 2 1 2 1 z z z  且 1 0 z ，则 1 2  z z ． A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 10. 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为 30m ，地面上一人在A 点观察该信号塔 顶部，仰角为45 ，沿直线步行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为 30° ，若 30 ADB    ，此人 的身高忽略不计，则他的步行速度为（） A. 1m/s B. 3 m/s 2 C. 2 2 m/s D. 1 m/s 2 11. 设平面向量, , a b c  满足 2, a b a    与b  的夹角为    2 , 0 3 a c b c       ，则c r 的最大值 为（） A. 3 B. 1 3  C. 2 3 D. 2 3  12. 已知三棱锥P ABC  的四个顶点在球O 的球面上， 3, 4, 5, 5, 34, PA PB PC AB AC      41 BC  ，则球O 的表面积为（） A. 16 B. 25 C. 32 D. 50 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知m R  ，复平面内表示复数  3 i m m   的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____ ________ 14. 有一块空地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示）， 45 , ABC    AD // , 4m BC AB AD   ，则这块空地的实际面积为_______ 2 m ． 15. 已知向量, , a b c  满足2 0 a b c    ， 1, 2 a b c     ，则a b b c c a   _______． 16. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，已知 2 3 2, 4, ,cos 3 4 AD CD D B      ，则 AB BC  的最大值为_______． 三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量, , , a b c d  � � 满足 1, 2 2, a b a    与b  的夹角为45 , 2 3 ,     � � c a b d a kb ． （1）若// c d  � � ，求实数k 的值； （2）若 1 2 k  ，求a  与d � 的夹角的余弦值． 19. 如图，在ABC  中， 90 , 30 , 2 C B AC        ，以C 为圆心的圆弧与AB 相切于点 D，将阴影部分绕BC 所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积和体积． 20. 已知复数z 和它的共轭复数z 满足2 3 2i z z   ． （1）求z； （2）若z 是关于x 的方程   2 0 , x px q p q R     的一个根，求复数   4 i z p q   的模． 22. 在ABC  中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知B 为锐角，且   2 2 2 tan 3 a c b B ac    ． （1）求B； （2）若ABC  的面积为2 3, 3 a c b   ，求ABC  外接圆的半径． 24. 如图所示，正四棱台两底面边长分别为4 和8． （1）若其侧棱所在直线与上、下底面中心的连线夹角为30° ，求该四棱台的表面积； （2）若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积．参考公式：上下底面面积分别为 , S S  ，高为h ， 1 ( ) 3 V S S S S h       26. 在ABC  中，角A，B，C 的 对边分别为a，b，c，已知cos = 3 a B c ． （1）证明：tan 2tan B C  ； （2）若 1 b  ，求ABC  面积的最大值． 【1 题答案】 【答案】A 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】C 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】C 【6 题答案】 【答案】D 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】D 【9 题答案】 【答案】B 【10 题答案】 【答案】D 【11 题答案】 【答案】B 【12 题答案】 【答案】D 【13 题答案】 【答案】  0,3 【14 题答案】 【答案】32 16 2  ##16 2 32  【15 题答案】 【答案】-2 【16 题答案】 【答案】56 【17 题答案】 【答案】（1） 3 2 k  （2） 2 5 5 【 小问1 详解】 当//  � � a d 时，设   c d R      � � ，则   2 3 a b a kb      ， ∴ 2 ，且 3 k ，∴ 3 2 k  . 【小问2 详解】 由题意得 2 cos45 1 2 2 2 2 a b a b        ， ∴ 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a d a a b a a b               � � ， ∴ 2 2 2 2 1 1 1 1 2 8 5 2 4 4 d a b a a b b                 ．∴ 5 d  � ， 设 a 与 d � 的夹角为  ，则 2 2 5 cos 5 1 5 a d a d        � �  ． 【19 题答案】 【答案】表面积为15，体积为 2 3 3  【详解】如图，连接CD ，因为D 是切点，CD 是半径，所以CD AB  ， 由已知可得 60 , 4, 2 3, sin 60 3 A AB BC CD AC         ． 阴影部分绕BC 所在直线旋转一周得到的旋转体，可以看作是一个圆锥挖去一个半球所得的几 何体，圆锥的底面半径为2，高为2 3 ，挖去的半球的半径为 3 ． 该几何体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环， 所以其表面积     2 2 2 1 1 2 2 4 4 3 2 3 15 2 2 S               ， 体积   2 3 1 1 4 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 V          . 【20 题答案】 【答案】（1） 1 2 z i  ； （2）1. 【小问1 详解】 设   i , z a b a b R   ，则 i z a b  ，    2 2 i i 3 i 3 2i z z a b a b a b         ， 所以 3 3 2 a b     ，即 1 2 a b     ，所以 i 1 2 z  . 【小问2 详解】 将 i 1 2 z  代入已知方程可得    2 1 2i 1 2i 0 p q     ， 整理可得    2 4 i 3 0 p p q     ，所以 2 4 0 3 0 p p q         ，解得 2 5 p q     ， 所以         1 2i 2 i 1 2i 5i i 4 i 2 i 2 i 2 i 5 z p q                  ，又 i 1  ， 所以复数   4 i z p q   的模为1. 【22 题答案】 【答案】（1） 3 B   ； （2） 2 R . 【小问1 详解】 解：由  2 2 2 tan 3 a c b B ac    ，得 2 2 2 3 3 cos cos 2 2tan 2sin a c b B B ac B B      ． 因为B 为锐角，所以 3 sin 2 B  ，所以 3 B   . 【小问2 详解】 解：由条件得 1 sin 2 3 2 ABC S ac B   △ ，得 8 ac ， 由余弦定理可得   2 2 2 2 2 cos 3 b a c ac B a c ac       ， 因为 3 a c b   ，所以 2 2 2 3 3 3 24 b b ac b     ，解得 2 3 b  ， 设 ABC  外接圆的半径为R，则 2 3 2 4 sin 3 2 b R B    ，所以 2 R  . 【24 题答案】 【答案】（1）80 48 7  ； （2） 896 9 . 【小问1 详解】 设 1, O O 分别为正四棱台上、下底面的中心，连接 1 1 1 , , OO AC AC ，过 1 C 作 1 C E AC  于E， 过E 作EF BC  于F，连接 1 C F ，如图，则 1 1 / / C E O O ， 1 C F 为正四棱台的斜高， 依题意，在 1 Rt C CE  中，   1 1 1 2 30 , 8 4 2 2 2 CC E CE CO EO CO C O            ， 1 2 6 tan30 CE C E    ，在等腰Rt CEF △ 中， 2 sin 45 2 2 2 2 EF CE     ， 在 1 Rt C EF  中，斜高 2 2 1 1 2 7 C F C E EF    ，于是得正四棱台的 侧面积   1 1 4 4 8 2 7 48 7 2 S     ， 而正四棱台的上下底面面积分别为 2 4 16 S  ， 2 8 64 S   ， 所以正四棱台的表面积 2 1 16 64 48 7 80 48 7 S S S S          . 【小问2 详解】 由（1）知 80 S S   ， 1 1 1 4 (4 8) 80 2 S C F    ，解得 1 10 3 C F  ， 又 2 EF ，因此， 2 2 1 1 8 3 C E C F EF    ，即四棱台的高 8 3 h  ， 所以正四棱台的体积 2 2 1 1 8 896 ( ) (4 8 4 8) 3 3 3 9 V S S S S h          . 【26 题答案】 【小问1 详解】 cos 3 a B c  ，即 3 cos a c B  ，由正弦定理得sin 3cos sin  A B C ，∵A B C     ，∴   sin 3cos sin B C B C   ， ∴sin cos cos sin 3cos sin B C B C B C   ，∴sin cos 2cos sin B C B C  ，∴ sin sin 2 cos cos B B C C  ， 即tan 2tan B C  . 【小问2 详解】 由已知得 2 2 2 sin 1 cos 1 9 a B B c     ，,∴ABC  的面积 2 2 2 4 2 1 1 1 sin 1 9 2 2 9 6 a S ac B ac a c a c      ， 由余弦定理知 2 2 2 cos 2 3 a c b a B ac c     ，整理得 2 2 3 3 c a  ，∴   2 2 4 4 2 1 1 3 3 4 9 6 6 S a a a a a       . 当 2 9 8 a 时，S 取得最大值，最大值为 3 8 ．