第01讲 实数（练习）（解析版）

第01 讲 实数 目 录 题型01 实数的分类 题型02 用数轴上的点表示有理数 题型03 数轴上两点之间的距离 题型04 求一个数的相反数 题型05 多重符号化简 题型06 求一个数的绝对值 题型07 乘方的应用 题型08 用科学记数法表示数 题型09 比较实数大小 题型10 求一个数的算术平方根 题型11 求一个数的平方根 题型12 求一个数的立方根 题型01 实数的分类 1．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数 ， ， ， 中，有理数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：在实数 ， ， ， 中，有理数为 ，其他都是无理数， 故选． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键． 2．（2023·山东聊城·一模）在实数：314159， ，1010 010 001， ， ， 中，无理数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数 与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解： ， ∴在实数：314159， ，1010010001…，π， 中，无理数有1010010001…，π，共2 个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数 有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像01010010001…，等有这样规律的数． 题型02 用数轴上的点表示有理数 1．（2021·青海·中考真题）若 ，则实数 在数轴上对应的点的位置是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】首先根据的值确定的范围，再根据的范围确定在数轴上的位置． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ ， ∴点在数轴上的可能位置是： ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数与数轴，解题关键是确定负数的大致范围． 2．（2021·湖南怀化·中考真题）数轴上表示数5 的点和原点的距离是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项． 【详解】解：数轴上表示数5 的点和原点的距离是； 故选B． 【点睛】本题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键． 题型03 数轴上两点之间的距离 1．（2023·陕西安康·二模）如图，点、B 在数轴上对应的数分别是 和3，则 的长为（ ） ．1 B．5 ．2 D．3 【答】B 【提示】根据数轴上两点间的距离公式计算解题． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键． 2．（2023·山东临沂·一模）如图，点，B，在数轴上，且点是B 的中点．点，B 表示的数分别为-1， ，则点表示的数为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【提示】设点所表示的数为x，根据题意列出方程，即可求出x 的值 【详解】解：设点所表示的数为x， 根据题意，得 ， ∴ ， ∴点表示的数为 故选：D 【点睛】本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B，到点的距离相等列出方程是解题的关键 3．（2023·贵州贵阳·三模）若数轴上点、B 分别表示数， ，则、B 两点之间的距离可表示为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【提示】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：、B 两点之间的距离可表示为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关 键． 题型04 求一个数的相反数 1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） ．﹣2 B．﹣ ．2 D．3 【答】 【分析】根据数轴得到点表示的数为﹣2，再求﹣2 的相反数即可． 【详解】解：点表示的数为﹣2， 2 ﹣的相反数为2， 故选：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）－5 的相反数是( ) ． B． ．5 D．-5 【答】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5 的相反数是5． 故选． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 题型05 多重符号化简 1．（2023·江西南昌·一模）下列各数，为1 的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【提示】根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；和有理数的计算，同号得正， 异号得负即可得到答． 【详解】解：、 ，故该选项不符合题意； B、 ，故该选项不符合题意； 、 ，故该选项符合题意； D、 ，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值和化简有理数多重符号，熟记“同号得正，异号得负”是解题关键． 2．（2023·吉林长春·一模）下列计算结果为2 的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【提示】进行多重符号化简和去绝对值计算，进行判断即可． 【详解】解：、 ，符合题意； B、 ，不符合题意； 、 ，不符合题意； D、 ，不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查多重符号化简，求一个数的绝对值．熟练掌握多重符号化简时，负号的个数为奇数个， 结果为负，负号的个数为偶数个，结果为正，是解题的关键． 题型06 求一个数的绝对值 1．（2023·辽宁营口·中考真题） 的绝对值是（ ） ．3 B． ． D． 【答】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点 到原点的距离是 ， 所以， 的绝对值是 ， 故选：． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2．（2023·福建龙岩·校考一模） 的绝对值是（ ） ． B． ． D．2021 【答】 【提示】根据绝对值的定义选出正确选项． 【详解】解： ∣ ∣= ． 故选：． 【点睛】本题考查绝对值的求解，解题的关键是掌握绝对值的定义． 题型07 乘方的应用 1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）1 米长的小棒，第一次截去 ，第二次截去剩下的 ，如此截下去， 第五次后剩下的小棒的长度是（ ） ． 米 B． 米 ． 米 D． 米 【答】 【提示】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第五次后剩下的小棒的长度是： 故选． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度． 2．（2022·河北衡水·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类 似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图 1 中表示的数为31，可知图2 中表示的数为（ ） ．42 B．46 ．86 D．321 【答】 【提示】由题可知，可知图2 中的五进制数为321，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得： 图2 中的五进制数为321， 化为十进制数为：321=3×52+2×51+1×50=86． 故选：． 【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制． 题型08 用科学记数法表示数 1．（2023·广东广州·中考真题）2023 年5 月28 日，我国自主研发的919 国产大飞机商业首航取得圆满成 功，919 可储存约186000 升燃油，将数据186000 用科学记数法表示为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变 成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10 时，是正整 数；当原数的绝对值小于1 时，是负整数． 【详解】解：将数据186000 用科学记数法表示为 ； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 2．（2023·天津·中考真题）据 年月 日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通 过“百同播、万人同屏、亿人同观”，全球友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到 人次，将 数据 用科学记数法表示应为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解： ； 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法： ， 为整数，是解题 的关键． 3．（2023·山东烟台·中考真题）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地 图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600 亿次．3600 亿用科学记数法表示为 ． 【答】 【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变 成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600 亿 ，用科学记数法表示为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 题型09 比较实数大小 1．（2023·湖南怀化·中考真题）下列四个实数中，最小的数是（ ） ． B．0 ． D． 【答】 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可． 【详解】 最小的数是： 故选：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0， 中，最大的数是（ ） ．1 B．－1 ．0 D． 【答】D 【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 【详解】解： ，∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键． 3．（2022·陕西·中考真题）实数，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“>”“=”或“<”） 【答】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答． 【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜＜2， ∴ ， ∴ ． 故答为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 题型10 求一个数的算术平方根 1．（2022·四川泸州·中考真题） （ ） ． B． ． D．2 【答】 【分析】根据算术平方根的定义可求． 【详解】解： -2， 故选． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平 方根的定义． 2．（2023·山东德州·二模）16 的算术平方根是 ． 【答】4 【详解】解：∵ 16 ∴ 的平方根为4 和-4， 16 ∴ 的算术平方根为4， 故答为：4 题型11 求一个数的平方根 1．（2023·山东淄博·中考真题）25 的平方根是 ． 【答】±5 【分析】根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数x，使得x2=，则x 就是的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， 25 ∴ 的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）3 的平方根是（ ） ．± B．±3 ．3 D． 【答】 【提示】根据平方根的定义计算即可得到答； 【详解】解：根据平方根的定义可知： ∵ ∴ 3 ∴的平方根是 ， 故选； 【点睛】本题考查了平方根，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题时需注意的事项是本题的解题关键． 题型12 求一个数的立方根 1．（2022·江苏淮安·中考真题）27 的立方根为 ． 【答】3 【分析】找到立方等于27 的数即可． 【详解】解：∵33=27， 27 ∴ 的立方根是3， 故答为：3． 2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）－64 的立方根是 ． 【答】-4 【提示】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于，则的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于，则的立方根是这个数， 可知-64 的立方根为-4． 故答为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于，则的立方根是这个数． 3．（2023·甘肃陇南·二模）计算： = ． 【答】﹣2 【提示】根据立方根的定义，求数的立方根，也就是求一个数x，使得x3=，则x 就是的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴ ， 故答为：-2 1．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若 ，数在数轴上用点 表示，则点 在数轴上的位置可能是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∵ ∴ 、 ，故此选项不符合题意； B、 ，故此选项符合题意； 、 ，故此选项不符合题意； D、 ，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由 ， ， 得出 是解 题的关键． 2．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 ．下列正确的是（ ） ． B． ． 是一个12 位数 D． 是一个13 位数 【答】D 【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答． 【详解】解： ，故该选项错误，不符合题意； B ，故该选项错误，不符合题意； 是一个13 位数，故该选项错误，不符合题意； D 是一个13 位数,正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本 题的关键． 3．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可． 【详解】解： 的相反数是 ，则 ，故该选项符合题意； B 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意； 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意； B 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较． 4．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（ ）． ① ；② ；③ ；④ ． ．4 B．3 ．2 D．1 【答】 【分析】根据 ， ， 、 ，进行逐一计算即可． 【详解】解：① ， ，故此项正确； ② ， ，故此项正确； ③ ，此项正确； ④ ，故此项正确； 正确的个数是 个． 故选：． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式① ；② ；③ ； ④ ．其中，正确的有（ ）． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】 【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答． 【详解】解：① ；故①错误； ② ；故②错误； ③ ；故③正确； ④ ；故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断． 6．（2023·吉林长春·中考真题）实数 、 、、 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最 小的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 比较四个数的绝对值排除 和 ， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于 离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是 故选：B 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上 所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小 7．（2023·江苏南通·中考真题）如图，数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5，则 表示数 的点应在（ ） ．线段 上 B．线段 上 ．线段 上 D．线段 上 【答】 【分析】根据 判断即可． 【详解】 ， ， 由于数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5， 的点应在线段 上， 故选：． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 8．（2022·四川巴中·中考真题）下列各数是负数的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可 【详解】解： ，是正数，故 选项不符合题意； ，是正数，故 B 选项不符合题意； ，是正数，故 选项不符合题意； ，是负数，故 D 选项符合题意． 【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2023·四川内江·中考真题）若、b 互为相反数，为8 的立方根，则 ． 【答】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出 及的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ， ， 故答为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点表示 ，点B 与点位于原点的两侧，且与原点的距离相 等．则点B 表示的数是 ． 【答】 【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答． 【详解】解：由题意得：点B 表示的数是 ． 故答为： ． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 11．（2023·湖南·中考真题）已知实数，b 满足 ，则 ． 【答】 【分析】由非负数的性质可得 且 ，求解，b 的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 解得： ， ； ∴ ； 故答为： ． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性 质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键． 12．（2023·湖南·中考真题）数轴上到原点的距离小于 的点所表示的整数有 ．（写出一个即可） 【答】2（答不唯一） 【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于 ，且为整数，再利用无理数的