2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期下月期中考试数学文科试题试卷

兰州一中2021-2022-2 学期期中考试试题 高二数学（文科） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150 分，考试时间120 分 钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。 第Ⅰ卷(共60 分) 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．若复数 ，则z 的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．若定义在区间D 上的函数f（x）的导函数为增函数，则f（x）为D 上的凹函数．在下列四个函数 中，为（0，+∞）上的凹函数的是（ ） A．f（x）＝x3﹣x2 B．f（x）＝x﹣lnx C．f（x）＝x﹣ex D． 3．已知函数f（x）＝x3+2x，则 ＝（ ） A．14 B．﹣14 C．﹣28 D．﹣7 4．一组样本数据：（1， ），（2， ），（3， ），（4， ），（m， ），由最小二乘法 求得线性回归方程为 ，若 ＝45，则实数m 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图的结构图中1，2，3 三个方框中依次应填入的内容是（ ） A．复数、整数、小数 B．复数、小数、整数 C．复数、无理数、自然数 D．复数、无理数、整数 6．右图是计算函数f（x）＝ 的值的程序框图，在①、 ②、③处应分别填入的是（ ） A．y＝ln（﹣x），y＝2x ，y＝0 B．y＝ln（﹣x），y＝0，y＝2x C．y＝0，y＝2x，y＝ln（﹣x） D．y＝0，y＝ln（﹣x），y＝2x 7．在同一平面直角坐标系中，将直线x 2 ﹣y＝2 按φ： 变换后得到直 线l，若以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A．4ρcosθ﹣ρsinθ＝4 B．ρcosθ 16 ﹣ ρsinθ＝4 C．ρcosθ 4 ﹣ρsinθ＝4 D．ρcosθ 8 ﹣ρsinθ＝4 8．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内 切球切于四个面的什么位置？（ ） A．正三角形的顶点 B．正三角形各边的中点 C．正三角形的中心 D．无法确定 9．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线C2：ρ＝4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异 于极点的A，B 两点，则|AB|的最大值为（ ） A． B．4 C．2 D．5 10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ + ）关于（ ） A．直线 对称 B．直线 对称 C．点 对称 D．极点对称 11．已知定义在[1，+∞）上的函数 ，若∀x≥1，f（ax）＜f（x2+9），则实数a 的 取值范围为（ ） A．[1，6] B．[2，9） C．（1，9] D． [1，6） 12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 ，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f （ex）＞ex+x 的解集为（ ） A．（4，+∞） B．（﹣∞，2） C．（ln2，+∞） D．（ln4，+∞） 第Ⅱ卷(非选择题共90 分) 二．填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 13．已知条件p：2k 1≤ ﹣ x≤2，q：﹣5≤x≤3，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是 ． 14．已知实数x，y 满足方程x2+2y2 2 ﹣＝0，则x+y 的最大值为 ． 15．甲、乙、丙、丁4 位同学各自对A，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和 （yi﹣ ）2如表： 甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 则试验结果体现拟合A，B 两变量关系的模型拟合精度高的同学是 ． 16．由样本数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（ ⋯ x7，y7）得到的回归方程为： ，已知如 下数据： ， ， ，则实数 的值为 ． 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70 分) 17.（本小题满分14 分） 求证： ． 18.（本小题满分14 分） 已知复数z＝（m+i）（2﹣i）+3+2i（m∈R）． （1）若z 在复平面中所对应的点在直线2x+y＝0 上，求m 的值； （2）求|z+1 2 ﹣i|的取值范围． 19．（本小题满分14 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l1的方程是2 x+y 7 ﹣ ＝0，直线l2：θ＝ （ρ∈R）与曲线C 交于O，M 两点，与 直线l1交于点N，求线段MN 的长． 20．（本小题满分14 分） 已知函数 ， （其中a＞0，且a≠1）， （1）若f（1）•g（2）+f（2）•g（1）＝g（k），求实数k 的值； （2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 21．（本小题满分14 分） 已知函数f（x）＝lnx﹣mx 1 ﹣． （1）若∀x＞0，不等式f（x）＜0 恒成立，求m 的取值范围； （2）若曲线y＝f（x）存在过点（1，0）的切线，求证：m≥ 1 ﹣． 兰州一中2021-2022-2 学期期中考试试题 高二数学（文科）答案 一．选择题 1 B 2 B 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 A 11 D 12 D 二．填空题 13． [ 2 ﹣，+∞） 14． 15． 丁 16． 4 12．【解析】 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 ，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f（ex）＞ ex+x 的解集为（ ） A．（4，+∞） B．（ln4，+∞） C．（ln2，+∞） D．（﹣∞，2） 【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x， 因为定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣1﹣x＞0， 所以g′（x）＝ ﹣1＝ ＞0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为f（4）＝ln（4e4）＝4+ln4， 所以g（4）＝0， 则不等式f（ex）＞ex+x 可转化为g（ex）+x+ex＞ex+x，即g（ex）＞0， 所以ex＞4， 所以x＞ln4． 故选：B． 三、解答题 17．（本小题满分14 分）求证： ． 【解答】证明： ， 即证明 ， 左右两边同时平方，左边＝ ，右边＝ ， 则 左边＞右边 即 所以 ． 18．（本小题满分14 分）已知复数z＝（m+i）（2﹣i）+3+2i（m∈R）． （1）若z 在复平面中所对应的点在直线2x+y＝0 上，求m 的值； （2）求|z+1 2 ﹣i|的取值范围． 【解答】（1）化简得z＝（2m+4）+（4﹣m）i， 所以z 在复平面中所对应的点的坐标为（2m+4，4﹣m）， 因为点（2m+4，4﹣m）在直线2x+y＝0 上， 所以2（2m+4）+4﹣m＝0，解得m＝﹣4． （2） ， 因为m∈R，且 ，所以 ， 所以|z+1 2 ﹣i|的取值范围为 ． 19．（本小题满分14 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，以O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l1的方程是2 x+y 7 ﹣ ＝0，直线l2：θ＝ （ρ∈R）与曲线C 交于O，M 两点，与 直线l1交于点N，求线段MN 的长． 【解答】（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 曲线C 的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，即x2+y2+2x+2y＝0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+2ρsinθ＝0， 即ρ＝﹣2 sin（ ）． （2）∵直线l1的普通方程是2 x+y 7 ﹣ ＝0， ∴直线l1的极坐标方程为 ﹣7 ＝0，（ρ∈R）， 直线l2：θ＝ （ρ∈R）与曲线C 交于O，M 两点， 设M（ρ1，θ1），由 ， 解得 ， ，∴M 点的极坐标为M（﹣1﹣ ， ）， 设N（ρ2，θ2），由 ， 解得ρ2＝2 ，θ2＝ ，即点N 的极坐标为N（2 ， ）， ∴线段MN 的长为|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝3 ． 20．（本小题满分14 分）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝ （其中a＞0，且a≠1）， （1）若f（1）•g（2）+f（2）•g（1）＝g（k），求实数k 的值； （2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 【解答】（1 ） ＝ ∵函数g（x）是单调函数∴k＝3 （2）由g（3）＝g（1+2）＝f（1）•g（2）+f（2）•g（1）， 猜想：g（x+y）＝f（x）•g（y）+f（y）•g（x） 证 明 ： ＝ ＝ 所以g（x+y）＝f（x）•g（y）+f（y）•g（x）． 21．（本小题满分14 分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx 1 ﹣． （1）若∀x＞0，不等式f（x）＜0 恒成立，求m 的取值范围； （2）若曲线y＝f（x）存在过点（1，0）的切线，求证：m≥ 1 ﹣． 【分析】（1）对原不等式进行参变分离，得到 ，进而令 ，从而转化为 求出g（x）的最大值即可； （2）设出原函数的切点（x0，lnx0﹣mx0 1 ﹣），利用导函数找出在切点处斜率，从而找出 ．进而构造函数找出m 范围． 【解答】（1）由已知有f（x）＜0 恒成立，即代表lnx﹣mx 1 ﹣＜0 恒成立， 因为x＞0，故 恒成立， 令 ，故 ， 令g′（x）＞0，故x＜e2， 故g（x）在（0，e2）递增，在（e2，+∞）递减， 故g（x）在（0，+∞）的最大值为 ， 故 ，所以m 的取值范围是 ； （2）证明：设切点为（x0，lnx0﹣mx0 1 ﹣）， 又因为 ， 且函数在x＝x0处的切线斜率 ， 故可得： ， 化简整理可得： ， 令 ， ，令h′（x）＞0，解得x＞1， 故h（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增， 故h（x）在（0，+∞）的最小值为h（1）＝﹣1， 故m≥ 1 ﹣，得证． 【点评】本题主要考查参变分离和构造函数思想，及导函数结合切线问题，属于较难题目．