第5章 四边形（测试）（解析版）

第五章 四边形 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ） ．正方形 B．正六边形 ．正八边形 D．正十边形 【答】 【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据 多边形的外角和是360°即可求解． 【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1， ∴设这个外角是x°，则内角是3x°， 根据题意得：x+3x＝180°， 解得：x＝45°， 360°÷45°＝8（边）， 故选：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 2．如图1 是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之 中．如图2 是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=¿（ ） ．45° B．60° ．110° D．135° 【答】 【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为360°， ∴∠1=360° 8 =45°， 故选 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键． 3．如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ） ．AD=CD B．AC=BD ．AB=CD D．CD=BC 【答】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴B=D，D=B． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 4．如图，在菱形BD 中，对角线，BD 相交于点，点E 为D 的中点．若E＝3，则菱形BD 的周长为（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 【答】 【分析】由菱形的性质可得出B=D，B=B=D=D，再根据中位线的性质可得BC=2OE=6，结合菱形的周 长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形BD 为菱形， ∴B=D，B=B=D=D， ∵E=3，且点E 为D 的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴B=2E=6． ∴菱形BD 的周长为:4B=4×6=24． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出B=6． 5．下列说法错误的是（ ） ．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 ．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 【答】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理，分别分析得出答． 【详解】解：．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以选项说法正确，故选项不符合题意； B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以选项说法正确，故B 选项不符合题意； ．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以选项说法不正确，故选项符合题意； D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D 选项说法正确，故D 选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定 理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法等进行求解是解决本题的关键． 6．【创新题】如图，抛物线y=a x 2+c经过正方形OABC的三个顶点，B，，点B 在y轴上，则ac的值为 （ ） ．−1 B．−2 ．−3 D．−4 【答】B 【分析】连接AC，交y 轴于点D，根据正方形的性质可知AC=OB=2 AD=2OD，然后可得点A( c 2 , c 2)， 进而代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y 轴于点D，如图所示： 当x=0时，则y=c，即OB=c， ∵四边形OABC是正方形， ∴AC=OB=2 AD=2OD=c，AC ⊥OB， ∴点A( c 2 , c 2)， ∴c 2=a× c 2 4 +c， 解得：ac=−2， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形 的性质是解题的关键． 【几何模型】梯子模型 7．如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形 ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC的最大值为（ ） ．6+3 ❑ √5 B．8 ．3+3 ❑ √5 D．9 【答】 【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得 OE=BE=1 2 AB，再根据勾股定理求得CE= ❑ √B E 2+C B 2=3 ❑ √5，即可根据“两点之间线段最短”得 OC ≤3+3 ❑ √5，则OC的最大值为3+3 ❑ √5，于是得到问题的答． 【详解】解：取AB的中点E，连接OE、CE， ∵∠AOB=90°，线段AB长为6， ∴OE=BE=1 2 AB=3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°，CB=AB=6， ∴CE= ❑ √B E 2+C B 2= ❑ √3 2+6 2=3 ❑ √5， ∵OC ≤OE+CE， ∴OC ≤3+3 ❑ √5， ∴OC的最大值为3+3 ❑ √5， 故选：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线 段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【几何模型】半角模型 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若 ∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ） ．2α B．90°−2α ．45°−α D．90°−α 【答】 【分析】利用三角形逆时针旋转90°后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°， 由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH， ∴∠ABH +∠ABC=180°， ∴点H ，B，C三点共线， ∵∠BAE=α，∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°， ∴∠DAF=∠BAH=45°−α，∠EAF=∠EAH=45°， ∵∠AHB+∠BAH=90°， ∴∠AHB=45°+α， 在△AEF和△AEH中 ¿， ∴△AFE≌△AHE(SAS)， ∴∠AHE=∠AFE=45°+α， ∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α， ∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α， ∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°， ∴∠FEC=2α， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋 转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 9．如图，点为矩形BD 的对称中心，点E 从点出发沿B 向点B 运动，移动到点B 停止，延长E 交D 于点 F，则四边形EF 形状的变化依次为（ ） ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 ．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形EF 形状的变化情况． 【详解】解：观察图形可知，四边形EF 形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF 与的位置关系 即可求解． 10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC 、BD相交于点，点M，分别是边BC 、CD上的动点， ∠BAC=∠MAN=60°，连接MN 、OM以下四个结论正确的是（ ） ①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是❑ √3；③当MN最小时S△CMN=1 8 S 菱形ABCD；④当OM ⊥BC 时，O A 2=DN ⋅AB ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．①②③④ 【答】D 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出∠MAC=∠DAN，然后证 △CAM≌△DAN ( ASA )，M=，即可证出． ②当M 最小值时，即M 为最小值，当AM ⊥BC时，M 值最小，利用勾股定理求出 AM= ❑ √A B 2−B M 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3，即可得到M 的值． ③当M 最小时，点M、分别为B、D 中点，利用三角形中位线定理得到AC ⊥MN，用勾股定理求出 CE= ❑ √C N 2−E N 2= ❑ √1 2−( ❑ √3 2 ) 2 =1 2 ，S△CMN=1 2 × 1 2 ×❑ √3= ❑ √3 4 ，而菱形BD 的面积为： 2×❑ √3=2❑ √3，即可得到答． ④当OM ⊥BC时，可证△OCM ∽△BCO，利用相似三角形对应边成比例可得OC 2=CM ⋅BC，根据 等量代换，最后得到答． 【详解】解：如图：在菱形BD 中，B=B=D=D，AC ⊥BD，=， ∵∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠ACB=∠ADC=60°，△ABC与△ADC为等边三角形， 又∠MAC=∠MAN−∠CAN=60°−∠CAN， ∠DAN=∠DAC−∠CAN=60°−∠CAN， ∴∠MAC=∠DAN， 在△CAM与△DAN中 ¿ ∴△CAM≌△DAN ( ASA )， ∴M=， 即△AMN为等边三角形， 故①正确； ∵AC ⊥BD， 当M 最小值时，即M 为最小值，当AM ⊥BC时，M 值最小， ∵AB=2,BM=1 2 BC=1， ∴AM= ❑ √A B 2−B M 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3 即MN=❑ √3， 故②正确； 当M 最小时，点M、分别为B、D 中点， ∴MN ∥BD， ∴AC ⊥MN， 在△CMN中， CE= ❑ √C N 2−E N 2= ❑ √1 2−( ❑ √3 2 ) 2 =1 2 ， ∴S△CMN=1 2 × 1 2 ×❑ √3= ❑ √3 4 ， 而菱形BD 的面积为：2×❑ √3=2❑ √3， ∴1 8 ×2❑ √3= ❑ √3 4 ， 故③正确， 当OM ⊥BC时， ¿ ∴△OCM ∽△BCO ∴OC BC =CM OC ∴OC 2=CM ⋅BC ∴O A 2=DN ⋅AB 故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角 形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．【原创题】一个多边形的内角和与外角和之和为900°，则这个多边形的边数为 【答】5 【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计 算公式即可求出边数． 【详解】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°， ∴多边形的内角和是900−360＝540°， ∴多边形的边数是：540°÷180°＋2＝3＋2＝5． 故答为：5． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解 出本题即可． 12．数学实践活动中，为了测量校内被花坛隔开的，B 两点的距离，同学们在AB外选择一点，测得 AC ,BC两边中点的距离DE为10m（如图），则，B 两点的距离是 m． 【答】20 【分析】根据题意得出DE 为∆B 的中位线，然后利用其性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E 为，B 的中点， ∴DE 为∆B 的中位线， ∵DE=10， ∴B=2DE=20， 故答为：20． 【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 13．边长分别为10，6，4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分 的面积为 ． 【答】15 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,∠CEF=∠EFG=90°，GH=4， ∴CH=10=AD， ∵∠D=∠DCH=90° ,∠AJD=∠HJC， ∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)， ∴CJ=DJ=5， ∴EJ=1， ∵GI ∥CJ， ∴△HGI ∽△HCJ， ∴GI CJ =GH CH =2 5， ∴GI=2， ∴FI=4， ∴S 梯形EJIF=1 2 (EJ +FI )⋅EF=15； 故答为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的 性质与判定是解题的关键． 【几何模型】十字架模型 14．如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上的一点，点F 在边D 的延长线上，且BE=DF，连接EF 交边 D 于点G．过点作AN ⊥EF，垂足为点M，交边D 于点．若BE=5，CN=8，则线段的长为 【答】4 ❑ √34 【分析】连接E、F、E，首先可证得△ABE △ADF (SAS )，E=F，可证得AN垂直平分EF，可得E=F， 再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接E、F、E， ∵四边形BD 是正方形 ∴设B=B=D=D=，∠B=∠ADF =90°， 在△ABE与△ADF中， ¿ ∴△ABE ≌△ADF (SAS )， ∴AE= AF， ∴△AEF是等腰三角形， 又∵AM ⊥EF， ∴AN垂直平分EF， ∴EN = FN = DN +DF =CD−CN +DF=a−8+5=a−3， 又∵BE=5， ∴EC =BC−BE=a−5， 在Rt △ECN中，∵E N 2= EC 2+C N 2， ∴(a−3) 2=(a−5) 2+8 2， 解得=20， ∴AD=20，DN =CD−CN =20−8=12， 在Rt △ADN中，∵A N 2= A D 2+D N 2， ∴AN = ❑ √A D 2+D N 2= ❑ √20 2+12 2=4 ❑ √34， 故答为：4 ❑ √34． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分 线的性质，勾股定理，证得AN垂直平分EF 是解决本题的关键． 15．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值 时，AP PC 的值是 ． 【答】2 7 【分析】作点F 关于AC的对称点F '，连接E F '交AC于点P '，此时PE+PF取得最小值，过点F '作AD的 垂线段，交AC于点K，根据题意可知点F '落在AD上，设正方形的边长为a，求得AK的边长，证明 △AE P '∽△K F ' P '，可得K P ' A P ' =2，即可解答． 【详解】解：作点F 关于AC的对称点F '，连接E F '交AC于点P '，过点F '作AD的垂线段，交AC于点 K， 由题意得：此时F '落在AD上，且根据对称的性质，当P 点与P '重合时PE+PF取得最小值， 设正方形ABCD的边长为，则A F '=AF=2 3 a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠F ' AK=45°，∠P ' AE=45°，AC=❑ √2a ∵F ' K ⊥A F '， ∴∠F ' AK=∠F ' KA=45°， ∴AK=2❑ √2 3 a， ∵∠F ' P ' K=∠E P ' A， ∴△E ' K P '∽△EA P '， ∴F ' K AE = K P ' A P ' =2， ∴A P '=1 3 AK= 2 9 ❑ √2a， ∴C P '=AC−A P '=7 9 ❑ √2a， ∴A P ' C P ' =2 7 ， ∴当PE+PF取得最小值时，AP PC 的值是为2 7 ， 故答为：2 7 ． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确 画出辅助线是解题的关键． 【几何模型】对角互补模型 16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC ,∠ABC=∠CDA=90 °,BE⊥AD于E ,S四边形ABCD=10，则 BE的长为 【答】❑ √10 【分析】过点B 作BF⊥CD 交D 的延长线交于点F，证明△AEB≌△CFB (AAS) 推出BE=BF， S△ABE=S△BFC，可得S四边形ABCD=S正方形BEDF=12，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B 作BF⊥CD交D 的延长线交于点F，如右图所示， ∵BF⊥CD，BE⊥AD ∴∠BFC=∠BEA=90 ∘ ∵∠ABC=∠ADC=90 ∘ ∴∠ABE+∠EBC=90 ∘ ，∠EBC+∠CBF=90 ∘ ∴∠ABE=∠CBF ∵AB=CB ∴△AEB≌△CFB (AAS) ∴BE=BF，S△ABE=S△BFC ∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=10， ∴BE×BF=10， 即BE 2=10， ∴BE=❑ √10， 故答为❑ √10． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考常考题型． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分 23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线． （1） 对角线条数分别为 、 、 、 ． （2）边形可以有20 条对角线吗？如果可以，求边数的值；如果不可以，请说明理由． （3）若一个边形的内角和为1800°，求它对角线的条数． 【答】（1）2；5；9；n(n−3) 2 ；（2）边形可以有20 条对角线，此时边数为八；（3）这个多边形有54 条对角线 【详解】分析：（1）设边形的对角线条数为，根据多边形对角线条数公式即可求出结论； （2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论． 详解：（1）设边形的对角线条数为， 则4=4× (4−3) 2 =2，5