江苏省扬州中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(1)

1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 扬州中学高一下学期月考数学试卷 2023.3 第I 卷（选择题） 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合 题目的一项） 1. 设 、 是非零向量，则“ 、 共线”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 如图，在平行四边形 中， ， 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知单位向量 满足 ，且 ，则 =（ ） A． B． C． D． 4. 在 中，若 ，则 的形状为（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5. 已知 （ ） 2 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 A． -2 B． C． 2 D． 6. 如图所示，在平面四边形 中， 是等边三角形， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B． C．14 D． 7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个 大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为 ，且小正方形与大正方形的面积之比为 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ， ，若当 时，总有 ，则正实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 对于任意两个向量 ，下列命题正确的是（ ） A． B． C． D．若 ，则 3 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 10. 在 中，内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的是（ ） A．“ 为锐角三角形,则 B．若 ，则 为等腰三角形 C．命题“若 ，则 ”是真命题 D．若 ， ， ，则符合条件的 有两个 11. 是 的重心， ， 是 所在平面内的一点，则下 列结论正确的是（ ） A． B． 在 方向上的投影等于2 C． D． 的最小值为 12. 已知函数 （ ）在区间 上有且仅有 条对称轴，给出下列 四个结论，正确的是（ ） A． 在区间 上有且仅有个不同的零点 B． 的最小正周期可能是 C． 的取值范围是 D． 在区间 上单调递增 第II 卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4 小题，共20 分） 13.已知向量 ， ，则向量 在向量 的方向上的投影向量的坐标为__． 14.求值： ________． 15. 在 中， ，M 为 的外心，若 ， ，则 ________． 4 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 16.在锐角 中，若 则 的最小值为________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17. （本小题10 分） 设 ． ⑴当 时，将 用 和 表示； ⑵若 、 、 三点能构成三角形，求实数 应满足的条件． 18.（本小题12 分）已知函数 的最大值为 ， (1)求常数 的值，并求函数 取最大值时相应 的集合； (2)求函数 的单调递增区间. 19.（本小题12 分）已知 ， ． （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值． 5 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 20. （本小题12 分）设两个向量 满足 . (1)求 方向的单位向量； (2)若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 21.（本小题12 分）如图，在梯形 中， ， ． (1)若 ，求 周长的最大值； (2)若 ， ，求 的值． 22.（本小题12 分）已知函数 . （1）若 ，求 的值； （2）若函数 有且仅有一个零点，求实数a 的取 6 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 值范围. 答案和解析 1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.AC 10.AC 11.ACD 12.BC 13. 14. -2 15.7 16.16 17.⑴当 时， ，设 则 ； ⑵ 、 、 三点能构成三角形 不共线 7 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 又 . 18.解：【解析】（1） . 当 时，函数 取到最大值 ， 所以 ，即 ， 令 ，得 ， 所以当函数 取到最大值时 的集合为 . （2）由（1）得 ， 所以令 ， 得 ， 所以函数 的单调递增区间为 . 19.（1）因为 ， ， 8 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 又 ，所以 ， ∴ . （2）因为 ， ， 又因为 ，所以 ， 由（1）知， ， 所以 ． 因为 ， ，则 ，所以 ． 20.解（1）由已知 ， 所以 ， 所以 ， 即 方向的单位向量为 ； （2）由已知 ， ， 所以 ， 9 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 因为向量 与向量 的夹角为钝角， 所以 ，且向量 不与向量 反向共线， 设 ，则 ，解得 ， 从而 ， 解得 . 21.详解】（1）解：在 中， ， 因此 ，当且仅当 时取等号． 故 周长的最大值是． （2）解：设 ，则 ， ． 在 中， ， 在 中， ． 两式相除得， ， ， 因为 ， ， 10 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ，故 ． 22.解：（1）原方程等价于 . (若直接写出答案扣2 分) （2）令 得 ， ∴ ，且 ，整理得 ， 令 ，则 有且仅有一个零点， ， ， ①当 时， ， 此时， 且 开口向上， ∴ 在 上有且仅有一个零点； ②当 时， ，此时， 且 开口向下且对称轴方程为 ， ， ，故要使 在 上有且仅有一个零点， 只要 且 ，可得 符合条 件； 综上： . 11 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 12 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司