江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

（北京）股份有限公司 2022-2023 扬州中学高二数学期中考试卷 命题人：陈瑶，韩书平 审核人：姜卫东 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知直线的倾斜角为60，且经过点 ，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2.以点 ， 为直径端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3.已知双曲线 ： 的左右焦点为 ， ，点P 在双曲线C 的右支上，则 （ ） A.-8 B.8 C.10 D. 4.“ ”是“直线 和直线 垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若圆 ： 过坐标原点，则实数 的值为（ ） A.2 或1 B.-2 或-1 C.2 D.-1 6.设 ， 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 的面积为（ ） A.6 B. C.8 D. 7.已知点 在直线 上运动，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 8.如图，椭圆 的右焦点为F，过F 的直线交椭圆于A，B 两点，点C 是A 点关于原点 O 的对称点，若 且 ，则椭圆的离心率为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.抛物线 的焦点为F，点P 在抛物线上，若 ，则点P 的坐标为（ ） A. B. C. D. 10.设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点P 在C 的右支上，且不与C 的 顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A.若 ， ，则C 的两条渐近线的方程是 B.若点 的坐标为 ，则 的离心率大于3 C.若 ，则 的面积等于 D.若 为等轴双曲线，且 ，则 11.光线自点 射入，经倾斜角为 的直线： 反射后经过点 ，则反射光线还经过下列 哪个点（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 12.已知曲线 的方程为 ，圆 ： ，则（ ） A. 表示一条直线 B.当 时， 与圆 有3 个公共点 C.当 时，存在圆 ，使得圆 与圆 相切，且圆 与 有4 个公共点 D.当 与圆 的公共点最多时， 的取值范围是 （北京）股份有限公司 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.若曲线 上一点P 到焦点的距离为4，则点P 到y 轴的距离为______. 14.若直线 ： 与直线 ： 平行，则直线 与 之间的距离为________. 15.已知圆 ： ，直线： ，P 为直线上的动点，过P 做圆 的切线 PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PAMB 的面积的最小值为________. 16.过双曲线 ： 的左焦点 的动直线与 的左支交于A，B 两点，设 的右焦点 为 .若存在直线，使得 ，则 的离心率的取值范围是______. 四、解答题：共070 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 ，当 为何值时， （1）方程表示焦点在 轴上的椭圆； （2）方程表示双曲线. 18.求满足下列条件的直线方程. （1）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）经过点 ，并且与圆 相切的直线方程. 19.已知 为坐标原点，双曲线 ： 的离心率为 ，点P 在双曲线C 上，点 ， 分别为双曲线 的左右焦点， . （1）求双曲线 的标准方程； （2）已知点 ， ，设直线PA，PB 的斜率分别为 ， .证明： 为定值. 20.已知圆 ： 与圆 ： . （1）求证：圆 与圆 相交； （北京）股份有限公司 （2）求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程. 21.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在射线 上，且截直线 所得弦长为 . （1）求圆C 的方程； （北京）股份有限公司 （2 ）已知点 ，直线 与圆C 交于A 、B 两点，是否存在m 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 22.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，短轴的一个端点的坐标为 . （1）求椭圆 的方程； （2）点F 为椭圆 的右焦点，过C 上一点 的直线 ： 与直线 ： 交于点为P，直线AF 交C 于另一点B，设AB 与OP 交于点Q.证明： （i） ； （ii）Q 为线段AB 的中点. 参考答案： 1.C 【详解】由题意知：直线的斜率为 ，则直线的方程为 . 2.D 【详解】A，B 的中点坐标为 ，即圆心为 ， ， 所以圆的半径为 ，所以圆的方程为 . 3.A 【详解】由 ，得 ，得 ，因为双曲线C 的左右焦点为 ， ，点P 在双曲线C 的右 支上，所以 . 4.A 【详解】由直线 和直线 垂直， 可得 ，∴ ，∴ 或 . （北京）股份有限公司 当 时，直线 和直线 垂直； 当直线 和直线 垂直时， 不一定成立. 所以 是直线 和直线 垂直的充分不必要条件. 5.C （北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】把 代入圆方程计算,注意方程要表示圆. 【详解】∵ 表示圆， ∴ ∴ .又圆 过原点，∴ ，∴ 或 （舍去）； . 故选:C. 6.B 【详解】解：由椭圆 的方程可得 ， ， 所以 ，得 ， 且 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 而 ，所以， ， 又因为， ，所以 ， 所以， . 7.A 【详解】 表示点 与 距离的平方， 因为点 到直线 的距离 ，所以 的最小值为 . （北京）股份有限公司 8.C 【详解】作另一焦点 ，连接 和 和 ，则四边形 为平行四边， （北京）股份有限公司 所以 ，且 ，则三角形 为等腰直角三角形， 设 ，则 ，解得 ， ，在三角形 中由勾股定理得 ， 所以 ， ，故答案为： . 9.AB 【详解】抛物线 的准线方程为 ， 设点 的坐标 ，∵ ，∴ ，∴ . 把 代入方程 得 ，∴ .∴点P 的坐标为 . 10.BC 【详解】解：由题意得： A 选项：当 ， 时，双曲线的渐近线的斜率 ，A 错误； B 选项：因为点 在C 上，则 ，得 ，所以 ，故B 正确； C 选 项 ： ， 若 ， 则 ， 即 ，即 ，得 ，所 以 ，C 正确； D 选项：若C 为等轴双曲线，则 ，从而 . 若 ，则 ， （北京）股份有限公司 .在 中，由余弦定理，得 ，D 错误 11.BD 【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为 ， （北京）股份有限公司 设点 关于直线： 的对称点为 ， 则 ，解得 ， 所以，反射光线经过点 和点 ，反射光线所在直线的斜率为 ， 则反射光线所在直线的方程为 ， 当 时， ；当 时， . 12.BC 【详解】由 ，得 ，即 ， 则 表示两条直线，其方程分别为 与 ，所以A 错误； 因为 到直线 的距离 ，所以当 时，直线 与圆 相切，易知 直线 与圆M 相交，C 与圆M 有3 个公共点，所以B 正确； 当 时，存在圆N，使得圆M 内切于圆N，且圆N 与这两条直线都相交，即与C 有4 个公共点C 与圆M 的公共点的个数的最大值为4，所以C 正确； 当 时，圆 与直线 、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D 错误， 13.3【详解】因为点P 到焦点的距离为4，所以点P 到抛物线准线 的距离为4， 所以点 到 轴的距离为3. 14. 【详解】∵直线 与 平行，∴ ，解得 ，∴直线 ： ，直线 ： （北京）股份有限公司 ，∴直线 与 之间的距离 . 15. 【详解】 （北京）股份有限公司 由题知， ： ，圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线： 上的点P 的最短距离为 ， 所以切线长 ， 故四边形 的面积的最小值为 . 16. 【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为 ， 联立 ，消去 ，得 ， 设 ， ，则 ， ， 由 得 ，故 ，即 ， 整理得 ，即 ， 则 ，所以 ，故 ， 所以 ，两边除以 ，得 ，解得 , 又因为 ，所以 ，故 ， （北京）股份有限公司 又A，B 在左支且过 ，所以 ，即 ，故 , （北京）股份有限公司 所以 ，所以 , 即 ，则 ，故 ，即 ， 综上： ，即 . 17.（1） （2） 或 18.（1） 或 ；（2） 或 （1）i.当截距都为0 时，所求直线为 . ii.当截距不为0 时，设为 ，代入 得 ，故所求直线为 ； （2）圆方程配方为 ，圆心为 ，半径 ，代入 易得该点不在圆上， i.当切线斜率不存在时，即 ，与圆相切，符合题意； ii.当切线斜率存在时，设为 ，由相切得 ，故所求切线为 19.（1） ；（2）证明见解析 【分析】（1）由题知： 由双曲线的定义知： ， 又因为 ，所以 ，所以 所以，双曲线 的标准方程为 . （2）设 ，则 因为 ， ，所以 ， （北京）股份有限公司 所以 20.（1）证明见解析（2） （1）证明：圆 ： 化为标准方程为 ， （北京）股份有限公司 ∴ ， ，∵圆 ： 的圆心坐标为 ，半径为 ， ∴ ，∵ .∴两圆相交； （2）解：由 ，解得 或 则交点为 ， ，∵圆心在直线 上，设圆心为 ， 则 ，即 ，解得 ， 故圆心 ，半径 ，∴所求圆的方程为 . 21.（1） ；（2）不存在，理由见解析. 【详解】（1）设圆 的方程为 圆心 在射线 上，所以 ， 圆 与 轴相切，则 点 到直线 的距离 ， 由于截直线 所得弦长为 ，所以 . 则得 ，又 所以 ， （舍去）， ， 故圆C 的方程为 ； （2）假设 存在，由（1）得 ，因为 ， 所以P，C 在线段AB 的中垂线上，则 . 因为 ，所以 ，解得 ； 当 时，直线方程为 即 ， 圆心 到该直线的距离 ，该直线与圆相离，不合题意； （北京）股份有限公司 所以不存在实数 满足题干要求. 22.（1） ；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ， （北京）股份有限公司 因为 的短轴的一个端点的坐标为 ，所以 ， ， 因为 ，所以 .得 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 . （2）证明：（i）将 代入 ， ， 解得 ， ，所以 ， ， （ii）由直线AB 过焦点，得到直线方程为 . 代入 .并结合 整理，得 ， 设 ）.则 ， 设 中点为 ，则 ，则 ， 即 ，所以 ，又 ， . 所以 ，即 ， 共线， 即AB 的中点R 在直线OP 上，从而点R 与Q 重合， 故Q 是线段AB 的中点.