2019年高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）（空白卷）

1/6 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 = A． B． C． D ． 2．设复数z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C ． D ． 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例) “ ” ，著名的断臂维纳斯便是如此．此外，最美 1/6 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 2/6 5．函数f(x)= 在 的图像大致为 A． B． C． D． 6 “ ” “ ” ．我国古代典籍《周易》用卦描述万物的变化．每一重卦由从下到上排列的6 个爻组 “——” “— —” 成，爻分为阳爻 和阴爻 ，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦， 则该重卦恰有3 个阳爻的概率是 A． B． C． D． 7．已知非零向量a，b 满足 ，且 b，则a 与b 的夹角为 A． B． C． D． 2 sin cos   x x x x 2/6 8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 3/6 A．A= B．A= C．A= D．A= 9．记 为等差数列 的前n 项和．已知 ，则 A． B． C． D ． 10．已知椭圆C 的焦点为 ，过F2 的直线与C 交于A，B 两点．若 ， ，则C 的方程为 A． B． C． D． 11．关于函数 有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有4 个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③12．已 知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三 角形，E，F 分别是PA，PB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为 A． B． C． D． n S 3/6 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．曲线 在点 处的切线方程为____________． 14．记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若 ，则S5=____________． 4/6 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决 “ ” 赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主．设甲队 主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 ， ，则C 的离心率为 ____________． 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17．(12 分) 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 ． （1）求A； （2）若 ，求sinC．18．（12 分） 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M， N 分别是BC，BB1，A1D 的中点． 4/6 （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N 的正弦值． 5/6 19．（12 分） 已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为 的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交 点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 20．（12 分） 已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2 个零点． 21．（12 分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效， 为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于 两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排 下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲 药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得 分；若施以乙药的白 鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则 两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； 3 2 3 AP PB  � 5/6 （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分， “ 表示甲药的累计得分 为 ” 时，最终认为甲药比乙药更有效 的概率，则 ， ， ，其中 ， ， 6/6 ．假设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分） 已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明： （1） ； （2） ． 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t             ， 2 cos 3 sin 11 0       