2019年高考数学试卷（理）（新课标Ⅲ）（空白卷）

1/7 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 A． B． C． D． 2．若 ，则z= A． B． C． D． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古 典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其 中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游 记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A ．16 B ．8 C．4 D ．2 6．已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 1/7 A． B．a=e，b=1 C． D ． ， 7．函数 在 的图象大致为 2/7 A． B． C． D． 8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是 线段ED 的中点，则 A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 3/7 9．执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于 A. B. C. D. 10．双曲线C： =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若 ，则△PFO 的面积为 A． B． C． D． 11．设 是定义域为R 的偶函数，且在 单调递减，则 A． （log3 ）＞ （ ）＞ （ ） B． （log3 ）＞ （ ）＞ （ ） 3/7 C． （ ）＞ （ ）＞ （log3 ） D． （ ）＞ （ ）＞ （log3 ） 12．设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5 个零点，下述 四个结论： ① 在（ ）有且仅有3 个极大值点② 在（ ）有且仅有 4/7 2 个极小值点 ③ 在（ ）单调递增 ④ 的取值范围是[ ) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知a，b 为单位向量，且a·b=0，若 ，则 ___________. 14．记Sn为等差数列{an}的前n 项和， ，则 ___________. 15．设 为椭圆C: 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 16 ．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 挖去四棱锥O—EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点， ，3D 打印所用原料 密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 4/7 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 5/7 第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17．（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分 成A、B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶 液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法 测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记C “ 为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估 计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）． 18．（12 分） △ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知 ． （1）求B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围． 19．（12 分）图1 是由矩形ADEB、Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其 中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如 5/7 图2. （1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； 6/7 （2）求图2 中的二面角B-CG-A 的大小. 20．（12 分） 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求 出 的所有值；若不存在，说明理由. 21．已知曲线C：y= ，D 为直线y= 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为 A，B. （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 6/7 如图，在极坐标系Ox 中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 . 7/7 （1）分别写出 ， ， 的极坐标方程； （2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在M 上，且 ，求P 的极坐标. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分） 设 ，且 . （1）求 的最小值； （2）若 成立，证明： 或 .