模型11 手拉手模型（原卷版）(1)

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点 重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的 步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD、E 交于点F，连接F，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似 三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模 模型介绍 型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 图3 图4 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点旋转过程中（B、、D 不共线）始终有： ①BD E △ ≌△；②BD E ⊥（位置关系）且BD=E（数量关系）；③F 平分∠BFE； 图1 图2 图3 图4 手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图 形。 手拉手模型特点：“两等腰，共顶点” 模型探究： 例题精讲 E B D A C O E F C B A 考点一：等边三角形中的手拉手模型 【例1】．如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧分别作正三角形B 和 正三角形DE，D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q，连接PQ．有下列 结论： ①D＝BE；②P＝BQ；③∠B＝60°；④D＝DP；⑤△PQ 为正三角形． 其中正确的结论有_____________ 变式训练 【变式1-1】．如图， ， 都是等边三角形，则 的度数是 ． B． ． D． 【变式1-2】．如图，△D 和△EB 均是等边三角形，E、BD 分别与D、E 交于点M、，有如 下结论： ①△E≌△DB；②M＝；③＝D；④∠DE＝∠DB．其中正确的有（ ） ．②④ B．①②③ ．①②④ D．①②③④ 【变式1-3】．如图，△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在B 上，DE 与交于点F，若B＝ 5，BD＝3，则 ＝ ． 考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型 【例2】．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一点，若 ， ，则 的长为__________ 变式训练 【变式2-1】．如图， ， ，连结 ，分别以 、 为直角边作等腰 和等腰 ，连结 、 ，当 最长时， 的长为 ． B．3 ． D． 【变式2-2】．如图，在 中， ，点 为 中点，点 在 边上，连 接 ，过点 作 的垂线，交 于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论是 （填序号）． 考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型 【例3】．如图，在△B 和△D 中，＝B，＝D，＜，∠B＝∠D＝36°．连接，BD 交于点M， 连接M．下列结论： ①∠MB＝36°，②＝BD，③M 平分∠D，④M 平分∠MD．其中正确的结论是_____． 变式训练 【变式3-1】．如图，等腰 中， ， ，点 为直线 上一动点， 以线段 为腰在右侧作等腰 ，且 ，连接 ，则 的最小值为 ． B．4 ．6 D．8 【变式3-2】．如图，在△B 中，B＝＝5，∠B＝120°，以为边在∠B 的另一侧作∠M＝∠B， 点D 为边B（不含端点）上的任意一点，在射线M 上截取E＝BD，连接D，DE，E．设 与DE 交于点F，则线段F 的最大值为 ． 【变式3-3】【问题背景】 （1）如图1，等腰 中， ， ， 于点 ，则 ； 【知识应用】 （2）如图2， 和 都是等腰三角形， ， 、 、 三点 在同一条直线上，连接 ．求证： ． （3）请写出线段 ， ， 之间的等量关系，并说明理由． 1 风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源． 实战演练 如图，小飞在设计的“风筝”图中，已知 ， ， ，那么 与 相等．小飞直接证明 ，他的证明依据是 ． B． ． D． 2．如图， ， 都是等边三角形，则 的度数是 ． B． ． D． 3．如图，点 是 轴上一个定点，点 从原点 出发沿 轴的正方向移动，以线段 为 边在 轴右侧作等边三角形，以线段 为边在 上方作等边三角形，连接 ，随点 的移动，下列说法错误的 是 ． B． ．直线 与 轴所夹的锐角恒为 D．随点 的移动，线段 的值逐渐增大 4．如图， ， ，连结 ，分别以 、 为直角边作等腰 和等 腰 ，连结 、 ，当 最长时， 的长为 ． B．3 ． D． 5．如图，线段 绕点 旋转，线段 的位置保持不变，在 的上方作等边 ， 若 ， ，则在线段 旋转过程中，线段 的最大值是 ． B．4 ． D．5 6．如图，是等边△B 内一点，＝3，B＝4，＝5，将线段B 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段B′，则∠B＝ ． 7．如图，△B 与△DE 均是等腰直角三角形，点B，，D 在同一直线上，B＝＝2，D＝E＝ 3，∠B＝∠DE＝90°，则D＝ ． 8．如图，△B 和△DE 均为等腰直角三角形，连接D、BE，点F、G 分别为DE、BE 的中点， 连接FG．在△DE 旋转的过程中，当D、E、三点共线时，若B＝3，D＝2，则线段FG 的长为 ． 9．如图，△D 和△BE 都是等腰直角三角形，∠D＝∠BE＝90°，E 交D 于点F，BD 分别交 E、E 于点G、．试猜测线段E 和BD 的数量和位置关系，并说明理由． 10．如图，∠BD＝∠E＝90°，B＝D，E＝，F⊥B，垂足为F． （1）求证：△B≌△DE； （2）求∠FE 的度数； （3）求证：D＝2BF+DE． 11．已知△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在射线BF 上，连接E． （1）如图1，BD 与E 是否相等？请说明理由； （2）如图1，求∠BE 的度数； （3）如图2，当D 在B 延长线上时，连接BE，△BE、△DE 与△DE 的面积有怎样的关系？ 并说明理由． 12．如图，在△B 中，分别以B、为腰向外侧作等腰Rt△DB 与等腰Rt△E，∠DB＝∠E＝ 90°，连接D、EB 相交于点． （1）求证：BE⊥D； （2）若BE＝B． ①如图1，G、F 分别是DB、E 中点，求 的值． ②如图2，连接，若＝2，求△DE 的面积． 13．如图（1），在△B 中，∠B 为锐角，点D 为射线B 上一动点，连接D，以D 为一边在D 的右侧作等腰直角△DF，∠DE＝∠ED＝45°，∠DE＝90°，D＝E，解答下列问题： （1）如果B＝，∠B＝90°，∠B＝∠B＝45°． ①当点D 在线段B 上时（与点B 不重合），如图（2），线段E、BD 之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D 在线段B 的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论 并说明理由． （2）如果B≠，∠B≠90°，点D 在线段B 上运动． 试探究：当△B 满足一个什么条件时，E⊥BD（点、E 重合除外）？请写出条件，并借助 图（4）简述E⊥BD 成立的理由． 14．（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由，否则不得分）如图1，在△B 中， ∠B 为锐角，点D 为射线B 上一点，连接D，以D 为一边且在D 的右侧作正方形DEF． （1）如果B＝，∠B＝90°； ①当点D 在线段B 上时（与点B 不重合），如图2，线段F、BD 所在直线的位置关系 为 ，线段F、BD 的数量关系为 ； ②当点D 在线段B 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由； （2）如图4，如果B≠，∠B 是锐角，点D 在线段B 上，当∠B 满足什么条件时，F⊥B （点、F 不重合），并说明理由． 15．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、、D 在同一条直线上），发现BE＝DG 且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形EFG 绕点按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG 吗？若能， 请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形EFG 和菱形BD，将菱形EFG 绕点按顺时针方向 旋转（如图2），试问当∠EG 与∠BD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG 仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形EFG 和矩形BD，且 ，E＝4，B＝ 8，将矩形EFG 绕点按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转 过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．