模型11 手拉手模型（解析版）(1)

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点 重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的 步骤如下： R（1）寻找公共的顶点 R（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 R（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD、E 交于点F，连接F，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似 三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模 模型介绍 型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 图3 图4 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点旋转过程中（B、、D 不共线）始终有： ①BD E △ ≌△；②BD E ⊥（位置关系）且BD=E（数量关系）；③F 平分∠BFE； 图1 图2 图3 图4 手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图 形。 手拉手模型特点：“两等腰，共顶点” 模型探究： 例题精讲 E B D A C O E F C B A 考点一：等边三角形中的手拉手模型 【例1】．如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧分别作正三角形B 和 正三角形DE，D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q，连接PQ．有下列 结论： ①D＝BE；②P＝BQ；③∠B＝60°；④D＝DP；⑤△PQ 为正三角形． 其中正确的结论有_____________ 解：∵△B 和△DE 是正三角形， ∴＝B，D＝E，∠B＝∠DE＝60°， ∴∠B+∠BD＝∠DE+∠BD， ∴∠D＝∠BE， 在△D 和△BE 中 ∴△D≌△BE（SS）， ∴D＝BE，∴①正确； ∵△D≌△BE， ∴∠BE＝∠D， ∵∠B＝∠DE＝60°， ∴∠BD＝60°＝∠B， 在△P 和△BQ 中 ∴△P≌△BQ（S）， ∴P＝BQ，∴②正确； P＝Q， ∴△PQ 为正三角形∴⑤正确 ∵△D≌△BE， ∴∠D＝∠BE， ∠DE＝60°＝∠D+∠D， ∴∠D+∠BE＝60°， ∴∠B＝∠D+∠BE＝60°，∴③正确； ∵△DE 是正三角形， ∴DE＝D， ∵∠B＝60°，∠DP＝60°，∠DP＞∠B， ∴∠DP＞∠DP， ∴DP＜D，即DP＜DE，∴④错误； 所以正确的有①②③⑤ 变式训练 【变式1-1】．如图， ， 都是等边三角形，则 的度数是 ． B． ． D． 解： ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是 故选： ． 【变式1-2】．如图，△D 和△EB 均是等边三角形，E、BD 分别与D、E 交于点M、，有如 下结论： ①△E≌△DB；②M＝；③＝D；④∠DE＝∠DB．其中正确的有（ ） ．②④ B．①②③ ．①②④ D．①②③④ 解：∵△D 和△EB 均是等边三角形， ∴＝D，B＝E，∠E＝∠BD， ∴△E≌△DB，①正确 由①得∠E＝∠BD， ∴△B≌△EM， ∴M＝，②正确 假使＝D，即D＝，△D 为等边三角形，∠DB＝60°， 又∵∠D＝∠DB+∠DB＝60°， ∴假设不成立，③错误； ∵∠DB+∠DB＝60°∠DE+∠E＝60°，而∠E＝∠DB， ∴∠DE＝∠DB，④正确， ∴正确答①②④ 故选：． 【变式1-3】．如图，△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在B 上，DE 与交于点F，若B＝ 5，BD＝3，则 ＝ ． 解：连接E，过点F 作FM⊥B 于点M，F⊥E 于点， ∵△B 和△DE 为等边三角形， ∴B＝，D＝E，∠B＝∠DE＝60°， ∴∠BD＝∠E， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E＝3，∠BD＝∠E＝60°， ∵B＝B＝5， ∴D＝2， ∵∠B＝∠E＝60°，FM⊥B，F⊥E， ∴FM＝F， ∵S△DF＝ D•FM，S△FE＝ E•F， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型 【例2】．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一点，若 ， ，则 的长为__________ 解： 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 变式训练 【变式2-1】．如图， ， ，连结 ，分别以 、 为直角边作等腰 和等腰 ，连结 、 ，当 最长时， 的长为 ． B．3 ． D． 解： ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 当点 在 上时， 最大，最大值为 ， 如图，过 作 于 ， 由等腰三角形“三线合一”得 ， ， 再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ， ． 故选： ． 【变式2-2】．如图，在 中， ，点 为 中点，点 在 边上，连 接 ，过点 作 的垂线，交 于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论是 （填序号）． 解： ， ，点 为 中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 当 、 分别为 、 中点时， ，故②不一定正确； ， ， ， ，故③正确； ， ， ，故④正确；故答为：①③④． 【变式2-3】．如图，△B 和△EF 均为等腰直角三角形，E 在△B 内，∠E+∠BE＝90°，连接 BF． （1）求证：△E∽△BF． （2）若BE＝1，E＝2，求E 的长． （1）证明：∵△B 和△EF 均为等腰直角三角形， ∴ ＝ ＝ ， ∴∠B＝∠EF＝45°， ∴∠E＝∠BF， ∴△E∽△BF； （2）解：∵△E∽△BF， ∴∠E＝∠BF， ＝ ＝ ， 又∵ ＝ ＝ ，E＝2 ∴ ＝ ，∴BF＝ ， 又∵∠E+∠BE＝90°， ∴∠BF+∠BE＝90°， ∴∠EBF＝90°， ∴EF2＝BE2+BF2＝12+（ ）2＝3， ∴EF＝ ， ∵E2＝2EF2＝6， ∴E＝ ． 考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型 【例3】．如图，在△B 和△D 中，＝B，＝D，＜，∠B＝∠D＝36°．连接，BD 交于点M， 连接M．下列结论： ①∠MB＝36°，②＝BD，③M 平分∠D，④M 平分∠MD．其中正确的结论是_____． 解：∵∠B＝∠D＝36°， ∴∠B+∠B＝∠D+∠B， 即∠＝∠BD， 在△和△BD 中， ∴△≌△BD（SS）， ∴∠＝∠DB，＝BD，故②正确； ∵∠＝∠BD， 由三角形的外角性质得： ∠MB+∠BD＝∠+∠B， ∴∠MB＝∠B＝36°，故①正确； 法一：作G⊥M 于G，⊥DM 于，如图所示， 则∠G＝∠B＝90°， ∵△≌△BD， ∴G＝， ∴M 平分∠MD，故④正确； 法二：∵△≌△BD， ∴∠＝∠BD， ∴、B、M、四点共圆， ∴∠M＝∠B＝72°， 同理可得：D、、M、四点共圆， ∴∠DM＝∠D＝72°＝∠M， ∴M 平分∠MD， 故④正确； 假设M 平分∠D，则∠DM＝∠M， 在△M 与△DM 中， ， ∴△M≌△DM（S）， ∴＝D， ∵＝D， ∴＝， 而＜，故③错误； 变式训练 【变式3-1】．如图，等腰 中， ， ，点 为直线 上一动点， 以线段 为腰在右侧作等腰 ，且 ，连接 ，则 的最小值为 ． B．4 ．6 D．8 解：连接 并延长交 延长线于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定直线， 为定值， 当 在直线 上运动时， 也在定直线上运动， 当 时， 最小， ， ， 当 与 重合时， 最小，在 中， ， ， ， ， 的最小值为 ，故选： ． 【变式3-2】．如图，在△B 中，B＝＝5，∠B＝120°，以为边在∠B 的另一侧作∠M＝∠B， 点D 为边B（不含端点）上的任意一点，在射线M 上截取E＝BD，连接D，DE，E．设 与DE 交于点F，则线段F 的最大值为 ． 解：∵∠B＝120°，B＝， ∴∠B＝∠B＝30°． ∵∠M＝∠B， ∴∠B＝∠M＝30°． 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）． ∴D＝E，∠BD＝∠E． ∴∠E+∠D＝∠BD+∠D＝∠B＝120°．即∠DE＝120°． ∵D＝E， ∴∠DE＝∠ED＝30°； ∵∠DE＝∠B＝30°且∠DF＝∠D， ∴△DF∽△D． ∴ ＝ ． ∴D2＝F•． ∴D2＝5F． ∴F＝ ． ∴当D 最短时，F 最短、F 最长． ∵当D⊥B 时，F 最短、F 最长，此时D＝ B＝ ． ∴F 最短＝ ＝ ． ∴F 最长＝﹣F 最短＝5﹣ ＝ ． 故答为： ． 【变式3-3】【问题背景】 （1）如图1，等腰 中， ， ， 于点 ，则 ； 【知识应用】 （2）如图2， 和 都是等腰三角形， ， 、 、 三点 在同一条直线上，连接 ．求证： ． （3）请写出线段 ， ， 之间的等量关系，并说明理由． （1）解： ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， ，故答为： ； （2）证明： ， ，即 ， 在 和 中， ， ； （3）解： ， 理由如下：由（1）可知： ， ， ， ． 1 风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源． 如图，小飞在设计的“风筝”图中，已知 ， ， ，那么 与 相等．小飞直接证明 ，他的证明依据是 ． B． ． D． 证明： ， ， ， ， ， ， ，故选： ． 2．如图， ， 都是等边三角形，则 的度数是 实战演练 ． B． ． D． 解： ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是 ，故选： ． 3．如图，点 是 轴上一个定点，点 从原点 出发沿 轴的正方向移动，以线段 为 边在 轴右侧作等边三角形，以线段 为边在 上方作等边三角形，连接 ，随点 的移动，下列说法错误的 是 ． B． ．直线 与 轴所夹的锐角恒为 D．随点 的移动，线段 的值逐渐增大 解： ． 和 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故 不符合题意； ． ， ， ，故 不符合题意； ．延长 交 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， 直线 与 轴所夹的锐角恒为 ，故 不符合题意； ． ， ， 点 是 轴上一个定点， 的值是一个定值， 随点 的移动，线段 的值不变，故 符合题意；故选： ． 4．如图， ， ，连结 ，分别以 、 为直角边作等腰 和等 腰 ，连结 、 ，当 最长时， 的长为 ． B．3 ． D． 解： ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 当点 在 上时， 最大，最大值为 ， 如图，过 作 于 ， 由等腰三角形“三线合一”得 ， ， 再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ， ． 故选： ． 5．如图，线段 绕点 旋转，线段 的位置保持不变，在 的上方作等边 ， 若 ， ，则在线段 旋转过程中，线段 的最大值是 ． B．4 ． D．5 解：如图，以 为边，在 的左侧作等边 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 中， ， 当点 在 的延长线上时， 的最大值 ， 的最大值为4，故选： ． 6．如图，是等边△B 内一点，＝3，B＝4，＝5，将线段B 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段B′，则∠B＝ 150° ． 解：连接′，如图， ∵线段B 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段B′， ∴B′＝B＝4，∠′B＝60°， ∴△B′为等边三角形， ∴∠B′＝60°， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝B，∠B＝60°， ′ ∴∠B﹣∠B＝∠B﹣∠B，即∠′B＝∠B， 在△′B 和△B 中 ， ′ ∴△B≌△B（SS）， ′ ∴＝＝5， 在△′中，∵′＝5，′＝4，＝3， ∴2+′2＝′2， ′ ∴∠＝90°， ∴∠B＝60°+90°＝150°，故答为：150°． 7．如图，△B 与△DE 均是等腰直角三角形，点B，，D 在同一直线上，B＝＝2，D＝E＝ 3，∠B＝∠DE＝90°，则D＝ ﹣ ． 解：∵B＝＝2，D＝E＝3，∠B＝∠DE＝90°， ∴B＝ B＝2 ，DE＝ E＝3 ，∠BD＝∠E，∠B＝45°＝∠B， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴E＝BD，∠BD＝∠E＝45°， ∴∠EB＝∠ED＝90°， ∴DE2＝E2+D2， 18 ∴ ＝（2 +D）2+D2， 解得：D＝ ﹣ ，D＝﹣ ﹣ （不合题意舍去）， 故答为： ﹣ ． 8．如图，△B 和△DE 均为等腰直角三角形，连接D、BE，点F、G 分别为DE、BE 的中点， 连接FG．在△DE 旋转的过程中，当D、E、三点共线时，若B＝3，D＝2，则线段FG 的长为 ． 解：连接BD，∠BD＝90°﹣∠BE，∠E＝90°﹣∠BE， ∴∠BD＝∠E． 又D＝E，B＝， ∴△DB≌△E（SS）． ∴BD＝E，∠DB＝∠E＝135°， ∴∠BD＝135° 45° ﹣ ＝90°． ∵△B 和△DE 均为等腰直角三角形，B＝3，D＝2， ∴DE＝2 ，B＝3 ． 设BD＝x，则D＝2 +x， 在Rt△BD 中，利用勾股定理BD2+D2＝B2， 所以x2+（2 +x）2＝18，解得x1＝﹣ ﹣ （舍去），x2＝﹣ + ． ∵点F、G 分别为DE、BE 的中点， ∴FG＝ BD＝ ． 故答为 ． 9．如图，△D 和△BE 都是等腰直角三角形，∠D＝∠BE＝90°，E 交D 于点F，BD 分别交 E、E 于点G、．试猜测线段E 和BD 的数量和位置关系，并说明理由． 解：猜测E＝BD，E⊥BD； 理由如下： ∵∠D＝∠BE＝90°， ∴∠D+∠DE＝∠BE+∠DE， 即∠E＝∠DB， 又∵△D 和△BE 都是等腰直角三角形， ∴＝D，E＝B， 在△E 与△DB 中， ∴△E≌△DB（SS）， ∴E＝BD，∠E＝∠DB； ∵∠F＝∠DF，∠F+∠F＝90°， ∴∠DF＝∠D＝90°， ∴E⊥BD． 故线段E 和BD 的数量相等，位置是垂直关系． 10．如图，∠BD＝∠E＝90°，B＝D，E＝，F⊥B，垂足为F． （1）求证：△B≌△DE； （2）求∠FE 的度数； （3）求证：D＝2BF+DE． 证明：（1）∵∠BD＝∠E＝90°， ∴∠B+∠D＝90°，∠D+∠DE＝90°， ∴∠B＝∠DE， 在△B 和△DE 中， ， ∴△B≌△DE（SS）； （2）∵∠E＝90°，＝E， ∴∠E＝45°， 由（1）知△B≌△DE， ∴∠B＝∠E＝45°， ∵F⊥B， ∴∠F＝90°， ∴∠F＝45°， ∴∠FE＝∠F+∠E＝45°+90°＝135°； （3）延长BF 到G，使得FG＝FB， ∵F⊥BG， ∴∠FG＝∠FB＝90°， 在△FB 和△FG 中， ， ∴△FB≌△FG（SS）， ∴B＝G，∠BF＝∠G， ∵△B≌△DE， ∴B＝D，∠B＝∠ED，B＝ED， ∴G＝D，∠BF＝∠D， ∴∠G＝∠D， ∵∠G＝∠D＝45°， 在△G 和△D 中， ， ∴△G≌△D（S）， ∴G＝D， ∵G＝B+BF+FG＝B+2BF＝DE+2BF， ∴D＝2BF+DE． 11．已知△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在射线BF 上，连接E． （1）如图1，BD 与E 是否相等？请说明理由； （2）如图1，求∠BE 的度数； （3）如图2，当D 在B 延长线上时，连接BE，△BE、△DE 与△DE 的面积有怎样的关系？ 并说明理由． 解：（1）BD＝E， 理由如下：∵△B 和△DE 是都是等边三角形， ∴B＝，D＝E，∠B＝∠DE，∠B＝∠B＝60°， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E； （2）∵△BD≌△E， ∴∠BD＝∠E＝60°， ∴∠BE＝120°； （3）S△BE+S△DE＝S△DE，理由如下： ∵△B 和△DE 是都是等边三角形， ∴B＝，D＝E，∠B＝∠DE，∠B＝∠B＝60°， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴S△BD＝S△E，∠B＝∠E＝60°， ∴∠ED＝180°﹣∠B﹣∠E＝60°， ∴∠B＝∠ED， ∴B∥E， ∴S△BE＝S△B， ∵S△E+S△DE＝S△DE+S△D， ∴S△BD+S△DE＝S△DE+S△D， ∴S△B+S△D+S△DE＝S△DE+S△D， ∴S△BE+S△DE＝S△DE． 12．如图，在△B 中，分别以B、为腰向外侧作等腰Rt△DB 与等腰Rt△E，∠DB＝∠E＝ 90°，连接D、EB 相交于点． （1）求证：BE⊥D； （2）若BE＝B． ①如图1，G、F 分别是DB、E 中点，求 的值． ②如图2，连接，若＝2，求△DE 的面积． （1）证明：∵∠DB＝∠E＝90°， ∴∠EB＝∠D， 在△BE 和△D 中， ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴∠BE＝∠D， ∵∠BD＝90°， ∴∠DB＝90°，即BE⊥D； （2）解：①取DE 的中点，连接G、F， ∵点G 是BD 的中点， ∴G∥BE，G＝ BE， 同理，F∥D，F＝ D， ∵BE＝D．BE⊥D， ∴G＝F，G⊥F， ∴△GF 为等腰直角三角形， ∴GF＝ G， ∵G＝ BE， ∴GF＝ BE， ∵BE＝B， ∴ ＝ ； ②作M⊥BE 于M，⊥D 于， 在△BE 和△B 中， ， ∴△BE≌△B（SSS）， ∴∠BE＝∠B＝135°， ∴∠DE＝135° 90° ﹣ ＝45°，即∠D+∠E＝45°， ∵△BE≌△D， ∴M＝，又M⊥BE，⊥D， ∴平分∠B， ∴∠B＝∠＝45°， ∴∠D＝∠E＝135°， ∴∠D+∠D＝45°， ∴∠E＝∠D， ∴△D