高中物理新教材同步必修第二册 第6章 2　向心力

2 向心力 [学习目标] 1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心 力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.体验向心力的存在，会设计相关实验， 探究向心力与物体的质量、速度和轨道半径的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系 中的应用.4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点. 一、向心力 1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力. 2.方向：始终沿着半径指向圆心. 3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小. 4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供. 5.表达式： (1)Fn＝m (2)Fn＝mω 2 r . 二、变速圆周运动和一般的曲线运动 1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1 所示. 图1 (1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小. (2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向. 2.一般的曲线运动的处理方法 (1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动. (2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分， 分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理. 1.判断下列说法的正误. (1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.( × ) (2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.( × ) (3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.( √ ) (4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.( × ) (5)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.( √ ) 2.如图2 所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而 不滑落.则下列说法正确的是( ) 图2 A.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4 个力的作用 B.小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的 C.筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大 D.筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大 答案 D 解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3 个力的作用，故选项A 错误.水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝ 2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大；在竖直方向上，小物体所受 的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C 错误，D 正确. 第1 课时 实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量 的关系 探究方案一 用绳和沙袋定性研究 1.实验原理 如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面 内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力. 图3 2.实验步骤 在离小沙袋重心40 cm 的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm 的地方打另一个绳结B. 同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作： 操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1 周.体 会此时绳子拉力的大小. 操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2 周，体会此时绳子拉力的大小. 操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1 周，体会此时绳子拉力的大小. 操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1 周，体会此时绳 子拉力的大小. (1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系. (2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系. (3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系. 3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大. 探究方案二 用向心力演示器定量探究 1.实验原理 向心力演示器如图4 所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2 和3 以及长槽4 和短槽5 随之 匀速转动.皮带分别套在塔轮2 和3 上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同 的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6 的挡板对小球的压力提供，球 对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7 下降，从而露出标尺8，根据标尺8 上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值. 图4 2.实验步骤 (1)皮带套在塔轮2、3 半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力 与小球质量的关系. (2)皮带套在塔轮2、3 半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转 动半径的关系. (3)皮带套在塔轮2、3 半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速 度的关系. 探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究 1.实验原理与操作 如图5 所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器 分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r 及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS 数据 分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS 数据分析系统相连，可直接显示挡 光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角 速度. 图5 实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系. 2.实验数据的记录与分析 (1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三) ①m、r 一定(表一) 序号 1 2 3 4 5 6 Fn ω ω2 ②m、ω 一定(表二) 序号 1 2 3 4 5 6 Fn r ③r、ω 一定(表三) 序号 1 2 3 4 5 6 Fn m (2)数据处理 分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m 的图像，若Fn－ω 图像不是直线，可以作Fn－ω2图像. (3)实验结论： ①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比. ②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比. ③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比. 一、定性研究影响向心力大小的因素 如图6 甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素.用细绳系一纸杯(杯中有30 mL 的水)，将手举过头顶，使杯在水平面内做圆周运动. 图6 (1)下列说法中正确的是________. A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变 B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大 C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大 (2)如图乙，绳离杯心40 cm 处打一结点A,80 cm 处打一结点B，学习小组中一位同学手表计 时，另一位同学操作. 操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小. 操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小. 操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小. 操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL 的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心 力的大小. 则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关； 操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关； 操作四与一相比较：________________相同，向心力大小与________有关； ②物理学中此种实验方法叫________________法. ③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手 腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”， 你认为该同学的说法是否正确，为什么？ 答案 (1)BD (2)①角速度、半径 质量 ②控制变量 ③说法不正确.该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括 水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心.细绳对手 的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心. 二、定量研究影响向心力大小的因素 用如图7 所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因 素有关. 图7 (1)本实验采用的科学方法是________. A.控制变量法 B.累积法 C.微元法 D.放大法 (2)图示情景正在探究的是________. A.向心力的大小与半径的关系 B.向心力的大小与线速度大小的关系 C.向心力的大小与角速度的关系 D.向心力的大小与物体质量的关系 (3)通过本实验可以得到的结论是________. A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比 B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比 C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比 D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比 答案 (1)A (2)D (3)C 一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小 与角速度、半径的关系.在保证重物的质量m 和做圆周运动的角速度ω 不变的情况下，改变 重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r 的数据，记录到表1 中. 表1 向心力Fn与半径r 的测量数据 次数 1 2 3 4 5 半径r/mm 50 60 70 80 90 向心力Fn/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83 在保证重物的质量m 和做圆周运动的半径r 不变的情况下，改变重物的角速度ω，得到几组 向心力Fn和角速度ω 的数据，记录到表2 中. 表2 向心力Fn与角速度ω 的测量数据 次数 1 2 3 4 5 角速度ω/(rad·s－1) 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8 向心力Fn/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81 (1)根据上面的测量结果，分别在图8 和图9 中作出Fn－r 图线和Fn－ω 图线. 图8 图9 (2)若作出的Fn－ω 图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图10 中作出Fn－ω2图线. 图10 (3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________. 答案 (1) (2) (3)正比 正比 1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵 着绳在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图11 所示)，则下列说法中正确的是( ) 图11 A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变 B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大 C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小 答案 B 2.(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大 小与质量、角速度和半径之间的关系.它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小 球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变， 利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多.采用如图12 所示的实 验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是( ) 图12 A.控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系 B.控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系 C.钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多 D.钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多 答案 AC 3.如图13 所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中 A、B 为两个穿在水平滑杆上并通 过棉线与转轴相连的重锤.试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素. 图13 (1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆. 现象：连接 A 的棉线先断. 表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大. (2)使质量 mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆. 现象：连接 A 的棉线先断. 表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大. (3)对任一次断线过程进行考察. 现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的. 表明：在物体质量和转动半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增 大. 答案 (1)物体质量 (2)转动半径 (3)转动角速度 4.如图14 甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS 实验装置的示意图，其中做匀速 圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器 测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F －v 图像、F－v2图像、F－v3图像. 图14 v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3 F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9 (1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F 和圆柱体线速度大小v 的关系时， 保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m 的条件下得到的.研究图像后，可得出向心力F 和圆柱 体线速度大小v 的关系式____________________________. (2)为了研究F 与r 成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持______不变. (3)若已知向心力公式为F＝m，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____ ________. 答案 (1)F＝0.88v2 (2)线速度大小v (3)0.088 kg 解析 (1)研究数据表格和题图乙中B 图不难得出F∝v2，进一步研究知题图乙B 中图线的斜 率k＝≈0.88，故F 与v 的关系式为F＝0.88v2. (2)还应保持线速度大小v 不变. (3)因F＝m＝0.88v2，r＝0.1 m，则m＝0.088 kg. 第2 课时 向心力的分析和公式的应用 一、向心力的理解及来源分析 导学探究 1.如图1 所示，用细绳拉着质量为m 的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动. 图1 (1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？ (2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？ 答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力， 方向指向圆心. (2)合力的大小F＝m. 2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？ 什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？ 答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力， 其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心. 知识深化 1.对向心力的理解 (1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r. (2)向心力的方向 无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变 力. (3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动 方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小. 2.向心力的来源分析 向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也 可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供. (1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体 受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力. (2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合 外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小. 关于向心力的说法中正确的是( ) A.物体由于做圆周运动而产生了向心力 B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 答案 B 解析 向心力是物体做圆周运动的原因，故A 错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所 以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀 速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B 正确，D 错误；向心 力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的 合力，受力分析时不能加入向心力，故C 错误. (多选)如图2 所示，用长为L 的细线拴住一个质量为M 的小球，使小球在水平面内 做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下 列说法中正确的是( ) 图2 A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力 B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力 C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力 D.向心力的大小等于Mgtan θ 答案 BCD 二、匀速圆周运动问题分析 1.匀速圆周运动问题的求解方法 圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或 者由物体的运动情况求解物体的受力情况. 解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤： (1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面). (2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等). (3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程. (4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论. 2.几种常见的匀速圆周运动实例 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度 或mgtan θ＝mω2lsin θ 或mgtan θ＝mω2r 或mgtan θ＝mω2r 如图3 所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg， 整个装置可绕竖直轴转动.g 取10 m/s2，问：(结果均保留三位有效数字) 图3 (1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？ (2)此时绳子的张力为多大？ 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N 解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳 对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力. (1)对小球利用牛顿第二定律可得： mgtan 45°＝mω2r r＝L′＋Lsin 45° 联立并将数值代入可得 ω≈6.44 rad/s (2)FT＝≈4.24 N. 针对训练1 如图4 所示，一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆 周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)( ) 图4 A.m B.m C.m D.mg 答案 A 解析 对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可 知，力F 沿水平方向的分力F1提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力F2与重 力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝＝＝m，A 正确. 三、变速圆周运动和一般