专题13.4 等腰三角形【八大题型】（原卷版）

专题134 等腰三角形【八大题型】 【人版】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】............................................................................................................. 1 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】.....................................................................................................2 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】................................................................................................................. 3 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】..................................................................................4 【题型5 等腰三角形的证明】.................................................................................................................................5 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】................................................................................................................. 6 【题型7 等腰三角形中的规律问题】.....................................................................................................................7 【题型8 等腰三角形中的动点问题】.....................................................................................................................9 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形 （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）特别地，等腰直角三角形的每个底 角都等于45° （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”） 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°， 那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） ．15°或75° B．30° ．150° D．150°或30° 【变式1-1】（2022 秋•南昌期末）如图，在△B 中，B＝，∠BM＝∠B，M＝B，则∠MB 的度 数为（ ） ．45° B．50° ．55° D．60° 【变式1-2】（2022 春•柯桥区期末）在△B 中，已知D 为直线B 上一点，若∠B＝α，∠BD 1 ＝β，且B＝＝D，则β 与α 之间不可能存在的关系式是（ ） ．β＝90°−3 2 α B．β＝180°−3 2 α ．β¿ 3 2 α−90° D．β＝120°−3 2 α 【变式1-3】（2022 春•抚州期末）已知∠B＝30°，点P 是射线B 上一动点，把△BP 沿P 折 叠，B 点的对应点为点D，当△BP 是等腰三角形时，∠BD 的度数为 ． 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022 春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分 为9m 和15m 两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ） ．6m B．10m ．6m 或10m D．11m 【变式2-1】（2022 秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它 两边的长度分别是（ ） ．6 和8 B．7 和7 ．6 和8 或7 和7 D．3 和11 【变式2-2】（2022 春•温江区期末）如图，在△B 中，B＝，B 的垂直平分线DE 交B 的延 长线于E，交于F，连接BF，已知∠＝48°，B+B＝15m，求△BF 的周长和∠BFE 度数． 【变式2-3】（2022 秋•仓山区校级期中）如图，在△B 中，B＝，点E 在延长线上，EP⊥B 于点P，交B 于点F，若F＝2，E＝7，求BF 的长度． 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】 【例3】（2022 秋•定陶区期末）如图，△B 中，B＝，∠B＝40°，D 为线段B 上一动点（不 与点B，重合），连接D，作∠DE＝40°，DE 交线段于E，以下四个结论：①∠DE＝ ∠BD；②当D 为B 中点时，DE⊥；③当△DE 为等腰三角形时，∠BD＝20°；④当∠BD＝ 30°时，BD＝E．其中正确的结论的个数是（ ） 1 ．1 B．2 ．3 D．4 【变式3-1】（2022 秋•密山市期末）如图，△B 中，∠B 与∠B 的平分线交于点F，过点F 作 DE∥B 交B 于点D，交于点E，那么下列结论： ①△BDF 和△EF 都是等腰三角形； ②DE＝BD+E； ③△DE 的周长等于B 与的和； ④BF＝F． 其中正确的有（ ） ．①②③ B．①②③④ ．①② D．① 【变式3-2】（2022 秋•覃塘区期末）如图，在△B 中，B＝，点E、F 分别在B、B 的延长线 上，∠E、∠B、∠F 的平分线相交于点D．对于以下结论：①D∥B；②D＝；③∠D＝ ∠B；④∠DB 与∠D 互余．其中正确结论的个数为（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【变式3-3】（2022 秋•北安市校级期末）已知如图等腰△B，B＝，∠B＝120°，D⊥B 于点 D，点P 是B 延长线上一点，点是线段D 上一点，P＝，下面的结论：①∠P+∠D＝ 30°；②∠P＝∠D；③△P 是等边三角形；④B＝+P．其中正确的是（ ） 1 ．①③④ B．①②③ ．①③ D．①②③④ 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 【例4】（2022 秋•顺义区期末）如图，△B 中，直线l 是边B 的垂直平分线，若直线l 上存 在点P，使得△P，△PB 均为等腰三角形，则满足条件的点P 的个数共有（ ） ．1 B．3 ．5 D．7 【变式4-1】（2022 秋•钟楼区期中）如图，在边长为1 的小正方形格中，、B、、D、Q 均 为格点，点P 是线段D 上的一个动点，在点P 运动过程中存在 个位置使得△BPQ 是腰长为5 的等腰三角形． 【变式4-2】（2022 秋•克东县期末）如图，直线，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点 为，点在直线上，直线b 上存在点B，使以点，，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这 样的点B 有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式4-3】（2022 秋•鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形格中，格的交点称为格点， 已知，B 是两格点，如果也是图中的格点，且使△B 为等腰三角形，则符合条件的点的个 数是 个． 1 【题型5 等腰三角形的证明】 【例5】（2022 秋•镇赉县期末）如图，在△B 中，D 平分∠B，E 是B 上一点，BE＝D， EF∥D 交B 于F 点，交的延长线于P，∥B 交D 的延长线于点． ①求证：△PF 是等腰三角形； ②猜想B 与P 的大小有什么关系？证明你的猜想． 【变式5-1】（2022 秋•鄂州期末）如图，E 在△B 的边的延长线上，D 点在B 边上，DE 交 B 于点F，DF＝EF，BD＝E，求证：△B 是等腰三角形． 【变式5-2】（2022 春•乳山市期末）如图，在△B 中，∠＝60°．BE，F 交于点P，且分别平 分∠B，∠B． （1）求∠BP 的度数； （2）连接EF，求证：△EFP 是等腰三角形． 【变式5-3】（2022 秋•海沧区期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角 形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是 等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如： 如图1，在△B 中， 1 ∵D⊥B 于D，且BD＝D， ∴△D 是直角三角形， △BD 是等腰三角形， ∴△B 是等直三角形， D 是△B 的一条等直分割线段． （1）如图2，已知Rt△B 中，∠＝90°，DE 是B 的垂直平分线，请说明D 是△B 的一条等 直分割线段； （2）若△B 是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B 和∠均小于45°，求证：△B 是等腰三角形． 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】 【例6】（2022 春•高新区期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度 数1 2，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰△B 为“半角三角形”，则△B 的 顶角度数为 ． 【变式6-1】（2022 秋•亳州期末）定义：过△B 的一个顶点作一条直线m，若直线m 能将 △B 恰好分成两个等腰三角形，则称△B 为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个 三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ） ． B． ． 1 D． 【变式6-2】（2022 秋•苏州期末）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k （k＞1）称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形B 中，∠＝36°，则它的优 美比k 为（ ） ．3 2 B．2 ．5 2 D．3 【变式6-3】（2022 秋•海安市校级月考）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分 割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△B 中，∠＝36°，∠B 为钝 角，则使得△B 是特异三角形所有可能的∠B 的度数为 ． 【题型7 等腰三角形中的规律问题】 【例7】（2022 秋•咸丰县期末）等腰三角形B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 （﹣6，0），B 在原点，＝B＝5，把等腰三角形B 沿x 轴正半轴作无滑动顺时针翻转， 第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23 次翻转后点的横坐标 是 ． 【变式7-1】（2022 秋•克东县期末）在如图①所示的钢架∠M 中，需要焊上等长的钢条来 加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7 根，且P1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步 加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝ P13P14＝P14，则∠的度数是（ ） 1 ．不存在的 B．10° ．12° D．15° 【变式7-2】（2022•长春模拟）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即＝B．若个相同规 格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2 所示，其张角度数变化如下：∠112 ＝160°，∠223＝80°，∠334＝40°，∠445＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠+1＝ °．（用含的代数式表示） 【变式7-3】（2022 秋•定西期末）如图，已知∠B＝α，在射线、B 上分别取点1、B1，使1 ＝B1，连接1B1，在1B1、B1B 上分别取点2、B2，使B1B2＝B12，连接2B2，…，按此规律下 去，记∠2B1B2＝θ1，∠3B2B3＝θ2，…，∠+1BB+1＝θ，则θ＝ (2 n−1)⋅180°+α 2 n ．（用 含α 的式子表示） 【题型8 等腰三角形中的动点问题】 【例8】（2022 秋•涪城区校级期末）如图，在等边△B 中，B＝12m，现有M，两点分别从 点，B 同时出发，沿△B 的边按顺时针方向运动，已知点M 的速度为1m/s，点的速度为 2m/s，当点第一次到达B 点时，M，同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t 为何值时，M，两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点M，在B 边上运动时，是否存在使M＝的位置？若存在，请求出此时点M， 运动的时间；若不存在，请说明理由． 1 【变式8-1】（2022 春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交 线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发， 试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重 要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等． 如右图，在△EBD 中，若∠B＝∠D，则ED＝EB． 以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题： 在平面直角坐标系中，（，0），B（b，0），已知（+3）2+❑ √b−3=¿0，点为x 轴上方 的一点． （1）如图1，若∠B 的角平分线交于点D，已知点D（﹣2，2），B 上有一点E（1， 2）． 则①DE 与x 轴的位置关系为 ； ②求BE 的长度； （2）如图2，、B 分别平分∠B、∠B，过点作B 的平行线，分别交、B 于点F、G．若F （m，），G（m+4，），求四边形BGF 的周长； （3）当点为x 轴上方的一动点（不在y 轴上）时，连接、B．若∠B 邻补角的角平分线 和∠B 的角平分线交于点P，过点P 作B 的平行线，分别交直线、直线B 于点M、．随 着点移动，图形状及点P、M、的位置也跟着变化，但线段M、M 和B 之间却总是存在 着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ． 【变式8-2】（2022 秋•定西期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝16m，B＝12m，＝ 20m，P、Q 是△B 边上的两个动点，其中点P 从点开始沿→B 方向运动，且速度为每秒 1m，点Q 从点B 开始沿B→→方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的 时间为t 秒． 1 （1）当点Q 在边B 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？ （2）当点Q 在边上运动时，出发几秒后，△BQ 是以B 或BQ 为底边的等腰三角形？ 【变式8-3】（2022•青羊区一模）如图，△B 中B＝，B＝6，点P 从点B 出发沿射线B 移动， 同时，点Q 从点出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线B 相交于点D． （1）如图①，当点P 为B 的中点时，求D 的长； （2）如图②，过点P 作直线B 的垂线垂足为E，当点P、Q 在移动的过程中，线段 BE、DE、D 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 1