2020年高考数学试卷（江苏）（解析卷）

1/26 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4 页，均为非选择题(第1 题~第20 题，共20 题)。本卷满分为160 分，考试时 间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1.已知集合 ，则 _____. 2.已知是虚数单位，则复数 的实部是_____. 3.已知一组数据 的平均数为4，则 的值是_____. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_____. 5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____. 1/26 6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= 2/26 x，则该双曲线的离心率是____. 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0 时， ，则f(-8)的值是____. 8.已知 = ，则 的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 10.将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象 中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 11.设{an}是公差为d 的等差数列，{bn}是公比为q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前n 项和 ，则d+q 的值是_______． 12.已知 ，则 的最小值是_______． 13.在△ABC 中， D 在边BC 上，延长AD 到P，使得AP=9，若 （m 为常数），则CD 的长度是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知 ，A，B 是圆 C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB 面积的最大值是__________． 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F 分别是AC，B1C 的中点． 3/26 （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 16.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边BC 上取一点D，使得 ，求 的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与 MN 平行， 为铅垂线( 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离 (米)与D 到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离 (米)与F 到 的 距离b(米)之间满足关系式 .已知点B 到 的距离为40 米. （1）求桥AB 的长度； 3/26 （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD 和EF，且CE 为80 米，其中C，E 在AB 上(不包括端 点).桥墩EF 每米造价k(万元)、桥墩CD 每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总 造价最低? 4/26 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A 在椭圆E 上且 在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E 相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x 轴上任取一点P，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q，求 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M 的坐标． 19.已知关于x 的函数 与 在区间D 上恒有 ． （1）若 ，求h(x)的表达式； （2）若 ，求k 的取值范围； （3）若 求证： ． 20.已知数列 的首项a1=1，前n 项和为Sn．设λ 与k 是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ 的值； （2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ 的取值范围；若 不存在，说明理由， 数学Ⅱ(附加题) 4/26 【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换] 5/26 21.平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ． （1）求实数 ， 的值； （2）求矩阵 的逆矩阵 ． B．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）． （1）求 ， 的值 （2）求出直线与圆 的公共点的极坐标． C．[选修4-5：不等式选讲] 23.设 ，解不等式 ． 【必做题】第24 题、第25 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥A—BCD 中，已知CB=CD= ,BD=2，O 为BD 的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E 为AC 的 中点． （1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C 的大小为θ，求sinθ 的值． 25.甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球，乙口袋中装有3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换 放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2 个黑球的概率为pn，恰有1 个黑 5/26 球的概率为qn． （1）求p1·q1和p2·q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n 表示) ． 答案解析 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 6/26 1.已知集合 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合 交集即可计算. 【详解】∵ , ∴ 故答案为： . 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． 2.已知是虚数单位，则复数 的实部是_____. 【答案】3 【解析】【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知一组数据 的平均数为4，则 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据 的平均数为4 的 6/26 ∴ ，即 . 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_____. 7/26 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为5 的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为 个. 点数和为5 的基本事件有 ， ， ， 共4 个. ∴出现向上的点数和为5 的概率为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得 的值. 【详解】由于 ，所以 ，解得 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题. 7/26 6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离 心率是____. 【答案】 【解析】 8/26 【分析】 根据渐近线方程求得 ，由此求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线 ，故 . 由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0 时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】【分析】 先求 ，再根据奇函数求 【详解】 ，因为 为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知 = ，则 的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 故答案为： 8/26 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 9/26 【答案】 【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ____. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当 时 故答案为： 9/26 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{an}是公差为d 的等差数列，{bn}是公比为q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前n 项和 ，则d+q 的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 10/26 结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 . 【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 . 等差数列 的前 项和公式为 ， 等比数列 的前 项和公式为 ，依题意 ，即 ， 通过对比系数可知 ，故 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题. 12.已知 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴ 且 10/26 ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 11/26 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一 正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值 （和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时 参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 13.在△ABC 中， D 在边BC 上，延长AD 到P，使得AP=9，若 （m 为常数），则CD 的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根 据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵ 三点共线， ∴可设 ， ∵ ， ∴ ，即 ， 若 且 ，则 三点共线， 11/26 ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ , , ， ∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， 12/26 ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，当 时， ， 重合，此 时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0 或 . 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 ． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知 ，A，B 是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB 面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心 到直线 距离为 ，则 所以 令 （负值舍去） 12/26 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 13/26 15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F 分别是AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过证明 ，来证得 平面 . （2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 . 【详解】（1）由于 分别是 的中点，所以 . 由于 平面 , 平面 ，所以 平面 . （2）由于 平面 ， 平面 ，所以 . 由于 ，所以 平面 , 由于 平面 ，所以平面 平面 . 13/26 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的 证明，属于中档题. 14/26 16.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边BC 上取一点D，使得 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值. 【详解】（1）由余弦定理得 ，所以 . 由正弦定理得 . （2）由于 ， ，所以 . 由于 ，所以 ，所以 14/26 所以 . 由于 ，所以 . 15/26 所以 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与 MN 平行， 为铅垂线( 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离 (米)与D 到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离 (米)与F 到 的 距离b(米)之间满足关系式 .已知点B 到 的距离为40 米. （1）求桥AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD 和EF，且CE 为80 米，其中C，E 在AB 上(不包括端 点).桥墩EF 每米造价k(万元)、桥墩CD 每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总 造价最低? 【答案】（1）120 米（2） 米 【解析】 【分析】 （1）根据A,B 高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 15/26 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为 万元， ，设 ， (0 舍去) 16/26 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值， 答：当 米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A 在椭圆E 上且 在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E 相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x 轴上任取一点P，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q，求 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长； （2）设 ，根据点 在椭圆 上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程 得 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设 ，点 到直线 的距离为 ，由点 到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 16/26 【详解】（1）∵椭圆 的方程为 ∴ , 由椭圆定义可得： . ∴ 的周长为 17/26 （2）设 ，根据题意可得 . ∵点 在椭圆 上，且在第一象限， ∴ ∵准线方程为 ∴ ∴ ，当且仅当 时取等号. ∴ 的最小值为 . （3）设 ，点 到直线 的距离为 . ∵ ， ∴直线 的方程为 ∵点 到直线 的距离为 ， ∴ ∴ ∴ ① ∵ ② 17/26 ∴联立①②解得 ， .∴ 或 . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及 根据 推出 是解答本题的关键. 19.已知关于x 的函数 与 在区间D 上恒有 ． 18/26 （1）若 ，求h(x)的表达式； （2）若 ，求k 的取值范围； （3）若 求证： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】 （1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式. （2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围， 从而求得 的取值范围. （3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式， 利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）由题设有 对任意的 恒成立. 令 ，则 ，所以 . 因此 即 对任意的 恒成立， 所以 ，因此 . 故 . （2）令 ， . 又 .若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 18/26 ，不符合题意. 当 时， ，符合题意. 当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ， 即 ，符合题意. 综上所述， . 19/26 由 当 ，即 时， 在 为增函数， 因为 ， 故存在 ，使 ，不符合题意. 当 ，即 时， ，符合题意. 当 ，即 时，则需 ，解得 . 综上所述， 的取值范围是 . （3）因为 对任意 恒成立，