2022年高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）（解析卷）

1/22 绝密☆启用前 试卷类型：A 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共4 页，22 小题，满分150 分.考试用时120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号 和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答 在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合 后可求 . 【 详解】 ，故 ， 故选：D 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 . 1/22 【详解】由题设有 ，故 ，故 ，故选： 2/22 D 3. 在 中，点D 在边AB 上， ．记 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上， ，所以 ，即 ， 所以 ． 故选：B． 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水 库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水 面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从 海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的 体积 ． 棱台上底面积 ，下底面积 ， ∴ ． 3/22 故选：C． 5. 从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，共有 种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有： ，共7 种， 故所求概率 . 故选：D. 6. 记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足 ，得 ，解得 ， 又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ， 3/22 所以 ，所以 ， ，所以 4/22 . 故选：A 7. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定的 大小. 【详解】设 ，因为 ， 当 时， ，当 时 ， 所以函数 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ， 故 ， 设 ，则 , 令 ， ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 4/22 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5/22 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关 系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 , 设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ， 则 ， , 所以 ， 所以正四棱锥的体积 ， 所以 ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ， 又 时， ， 时， , 所以正四棱锥的体积 的最小值为 ， 所以该正四棱锥体积的取值范围是 . 故选：C. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知正方体 ，则（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面ABCD 所成的角为 【答案】ABD 5/22 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接 、 ，因为 6/22 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角， 因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A 正确； 连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ， 因为 ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ，故B 正确； 连接 ，设 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，则 ， 因为 ， ，所以 平面 ， 所以 为直线 与平面 所成的角， 设正方体棱长为，则 ， ， ， 所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C 错误； 因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D 正确. 故选：ABD 10. 已知函数 ，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切 线 【答案】AC 【解析】 6/22 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判 断C；利用导数的几何意义判断D. 7/22 【详解】由题， ，令 得 或 ， 令 得 ， 所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 所以 是极值点，故A 正确； 因 ， ， ， 所以，函数 在 上有一个零点， 当 时， ，即函数 在 上无零点， 综上所述，函数 有一个零点，故B 错误； 令 ，该函数的定义域为 ， ， 则 是奇函数， 是 的对称中心， 将 的图象向上移动一个单位得到 的图象， 所以点 是曲线 的对称中心，故C 正确； 令 ，可得 ，又 ， 当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ， 故D 错误. 故选：AC. 11. 已知O 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线 交C 于P，Q 两点，则（ ） A. C 的准线为 B. 直线AB 与C 相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】 7/22 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公 式及弦长公式可判断C、D. 8/22 【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A 错误； ，所以直线 的方程为 ， 联立 ，可得 ，解得 ，故B 正确； 设过 的直线为，若直线与 轴重合，则直线与抛物线 只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为 ， ， 联立 ，得 ， 所以 ，所以 或 ， ， 又 ， ， 所以 ，故C 正确； 因为 ， ， 所以 ，而 ，故D 正确. 故选：BCD 12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性 质逐项判断即可得解. 8/22 【详解】因为 ， 均为偶函数，所以 即 9/22 ， ， 所以 ， ，则 ，故C 正确； 函数 ， 的图象分别关于直线 对称， 又 ，且函数 可导， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， ，故B 正确，D 错误； 若函数 满足题设条件，则函数 （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A 错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函 数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求 解. 【详解】因为 ， 所以 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中 的系数为-28 故答案为：-28 9/22 14. 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 10/22 ________________．【答案】 或 或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆 的圆心为 ，半径为，圆 的圆心 为 ，半径为 ， 两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l 时，因为 ，所以 ，设方程为 O 到l 的距离 ，解得 ，所以l 的方程为 ， 当切线为m 时，设直线方程为 ，其中 ， ， 由题意 ，解得 ， 当切线为n 时，易知切线方程为 ， 故答案为： 或 或 . 15. 若曲线 有两条过坐标原点 10/22 的切线，则a 的取值范围是________________． 11/22 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到 关于 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围. 【详解】∵ ，∴ ， 设切点为 ,则 ,切线斜率 , 切线方程为： , ∵切线过原点，∴ , 整理得： , ∵切线有两条，∴ ,解得 或 , ∴ 的取值范围是 , 故答案为： 16. 已知椭圆 ，C 的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C 交于D，E 两点， ，则 的周长是_____ ___________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离 心率得到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 . 【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 11/22 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示， ∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 12/22 且垂直于 的直线与C 交于D，E 两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的 斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ， 判别式 ， ∴ ， ∴ ， 得 ， ∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长 等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为 . 故答案为：13. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列．（1）求 的通项公式； （2）证明： ． 12/22 【答案】（1） 13/22 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得. 【小问1 详解】 ∵ ，∴ ,∴ , 又∵ 是公差为 的等差数列， ∴ ,∴ , ∴当 时， ， ∴ , 整理得： , 即 , ∴ ， 显然对于 也成立， ∴ 的通项公式 ； 【小问2 详解】 13/22 ∴ 14/22 18. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）若 ，求B； （2）求 的最小值． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出； （2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1 详解】 因为 ，即 ， 而 ，所以 ；【小问2 详解】 由（1）知， ，所以 ， 而 ， 所以 ，即有 ． 14/22 所以 15/22 ． 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ． 19. 如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ． （1）求A 到平面 的距离； （2）设D 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间 向量法即可得解. 【小问1 详解】 在直三棱柱 中，设点A 到平面 的距离为h， 则 ， 解得 ， 所以点A 到平面 的距离为 ； 【小问2 详解】 15/22 取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 , 又平面 平面 ，平面 平面 ， 16/22 且 平面 ，所以 平面 ， 在直三棱柱 中， 平面 ， 由 平面 ， 平面 可得 ， ， 又 平面 且相交，所以 平面 ， 所以 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得 ，所以 ， ，所以 ， 则 ,所以 的中点 ， 则 ， , 设平面 的一个法向量 ，则 ，可取 ， 设平面 的一个法向量 ，则 ， 可取 ， 则 ， 所以二面角 的正弦值为 . 16/22 20. 17/22 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不 够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在 未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据： 不够良 好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选 到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程 度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明： ； （ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的 估计值． 附 ， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析；(ii) ； 【解析】 【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有 99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合 条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求 . 【小问1 详解】 由已知 ， 17/22 又 ， ， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 【小问2 详解】 18/22 (i)因为 ， 所以 所以 ， (ii) 由已知 ， ， 又 ， ， 所以 21. 已知点 在双曲线 上，直线l 交C 于P，Q 两点，直线 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率； （2）若 ，求 的面积． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】【分析】（1）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线l 的斜率存在，设 ， ，再根据 ，即可解出l 的斜率； （2）根据直线 的斜率之和为0 可知直线 的倾斜角互补，再根据 即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程 求出点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出 点 到直线 的距离，即可得出 的面积． 【小问1 详解】 因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ， 18/22 即双曲线 易知直线l 的斜率存在，设 ， ， 19/22 联立 可得， ， 所以， ， ． 所以由 可得， ， 即 ， 即 ， 所以 ， 化简得， ，即 ， 所以 或 ， 当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去， 故 ． 【小问2 详解】 不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ，即 ，解得 ， 于是，直线 ，直线 ， 联立 可得， ， 因为方程有一个根为 ，所以 ， ， 同理可得， ， ． 19/22 所以 ， ， 20/22 点 到直线 的距离 ， 故 的面积为 ． 22. 已知函数 和 有相同的 最小值． （1）求a； （2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并 且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求 a.注意分类讨论. （2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2， 构建新函数 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. 【小问1 详解】 的定义域为 ，而 ， 若 ，则 ，此时 无最小值，故 . 的定义域为 ，而 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 故 . 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 20/22 故 . 21/22 因为 和 有相同的最小值， 故 ，整理得到 ，其中 ， 设 ，则 ， 故 为 上的减函数，而 ， 故 的唯一解为 ，故 的解为 . 综上， . 【小问2 详解】 由（1）可得 和 的最小值为 . 当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数. 设 ， ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上为减函数，在 上为增函数， 所以 ， 而 ， ， 设 ，其中 ，则 ， 故 在 上为增函数，故 ，故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2. 设 ， ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上为减函数，在 上为增函数， 所以 ， 而 ， ， 21/22 有两个不同的零点即 的解的个数为2. 当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点， 22/22 当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点， 故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点， 则 . 设 ，