2017年高考数学试卷（江苏）（解析卷）

2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ． 2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ． 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有 的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 ，则输出y的值是 ． 5．（5分）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ． 6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线 均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值是 ． 7．（5分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数 x，则x∈D的概率是 ． 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近 线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ． 9．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3= ，S6= ， 则a8= ． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/ 次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则x的值是 ． 11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣ 1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α ，且tanα=7 ， 与 的夹角为45° ．若 =m +n （m ， n∈R），则m+n= ． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0， 6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[ 0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣ lgx=0的解的个数是 ． 二.解答题 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面 BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣ ）， x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值；（2）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及 对应的x的值． 17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． 18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ 的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不 计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没 入水中部分的长度； （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水 中部分的长度． 19．（16分）对于给定的正整数k， 若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n （n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”； （2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数 列． 20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′ （x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的 值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范 围． 二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满 分0分） 21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC2 =AP•AB． [选修4-2：矩阵与变换] 22．已知矩阵A= ，B= ． （1）求AB； （2）若曲线C1： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的 方程． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲 线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的 距离的最小值． ［选修4-5：不等式选讲］ 24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8． 【必做题】 25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2， AA1= ，∠BAD=120°． （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值． 26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入 如图所示的编号为1，2，3，…，m+ n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…， m+n）． 1 2 3 … m+n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的 数学期望，证明E（X）＜ ．2017年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题 1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则 实数a的值为 1 ． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}， ∴a=1或a2+3=1， 解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定 义及性质的合理运用． 2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z 的模是 ． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i， ∴|z|= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题． 3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品， 产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法 从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件． 【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目． 【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验， 抽样比例为 = ， 则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件， 故答案为：18 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体 的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中 进行抽取． 4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 ，则输出 y的值是 ﹣2 ． 【分析】直接模拟程序即得结论． 【解答】解：初始值x= ，不满足x≥1， 所以y=2+log2 =2﹣ =﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题 方法的积累，属于基础题． 5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．【分析】直接根 据两角差的正切公式计算即可 【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = = ∴6tanα﹣6=tanα+1， 解得tanα= ， 故答案为：． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题 6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的 上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的 值是 ． 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到 结果． 【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3， 圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3． 则 = = ． 故答案为：． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计 算能力． 7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5] 上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ． 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]， 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ， 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键． 8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线 与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积 是 ． 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐 标，然后求解四边形的面积． 【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x， 所以P（， ），Q（，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）． 则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 9．（5分）（2017•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知 S3= ，S6= ，则a8= 32 ． 【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得 = ， = ，联立解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1， ∵S3= ，S6= ，∴ = ， = ， 解得a1= ，q=2． 则a8= =32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题． 10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运 费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用 之和最小，则x的值是 30 ． 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本 不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）． 当且仅当x=30时取等号． 故答案为：30． 【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的 底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ． 【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运 用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为： f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0， 可得f（x）在R上递增； 又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0， 可得f（x）为奇函数， 则f（a﹣1）+f（2a2）≤0， 即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 即有2a2≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤， 故答案为：[﹣1，]． 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义 法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别 为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n= 3 ． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的 夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°） = ．sin（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得 出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由 与 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ． ∴C ． cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ． ∴B ． ∵ =m +n （m，n∈R）， ∴=m﹣n，=0+ n， 解得n= ，m= ． 则m+n=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0， 6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [﹣5 ，1] ． 【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直 线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50， = （﹣12 ﹣x0 ，﹣y0 ）• （﹣x0 ，6 ﹣y0 ）= （12+x0 ）x0 ﹣y0 （6 ﹣y0 ） =12x0+6y+x0 2+y0 2≤20， 化为：12x0﹣6y0+30≤0， 即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]． 【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置 关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式． 14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间 [0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣ lgx=0的解的个数是 8 ． 【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图 象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有 一个交点； 同理： 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性 质，转化思想，难度中档． 二.解答题 15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平 面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且 EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直 的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可 得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 所以AB∥EF， 又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC， 所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC； （2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC， 因为BC⊥BD，所以FG∥BC， 又因为平面ABD⊥平面BCD， 所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD， 又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F， 所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG， 故AD⊥AC． 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间 想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定 理，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣ ）， x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣ ，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣ ），∥， ∴﹣ cosx=3sinx， ∴tanx=﹣ ， ∵x∈[0，π]， ∴x= ， （2）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣sinx）=2 cos（x+ ）， ∵x∈[0，π]， ∴x+ ∈[ ， ]， ∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2 ． 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函 数的性质，属于基础题 17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，