2016年高考数学试卷（江苏）（解析卷）

2016年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则 A∩B=______． 2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的 实部是______． 3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ______． 4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据 的方差是______． 5．（5分）（2016•江苏）函数y= 的定义域是______． 6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ______． 7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一 种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则 出现向上的点数之和小于10的概率是______． 8．（5分）（2016•江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a2 2=﹣ 3，S5=10，则a9的值是______． 9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx 的图象的交点个数是______． 10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 + =1 （a＞b＞0）的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该 椭圆的离心率是______． 11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣ 1，1）上，f（x）= ，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f （5a）的值是______． 12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围 是______． 13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上 的两个三等分点， • =4， • =﹣1，则 • 的值是______． 14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若 sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣ ）的值． 16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为 AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上 部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． （1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）． （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方 程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方 程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 + = ，求实数t的 取值范围． 19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b ＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b= ． ①求方程f（x）=2的根； ②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值； （2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值． 20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U 的子集T，若T=∅ ，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1， 3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T= {2，4}时，ST=30． （1）求数列{an}的通项公式； （2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1； （3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD． 附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相 应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为 垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD． B.【选修4—2：矩阵与变换】 22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A= ，矩阵B的逆矩阵B﹣1= ， 求矩阵AB． C.【选修4—4：坐标系与参数方程】 23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （θ为参数），设直线l与椭圆C相交 于A，B两点，求线段AB的长． 24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a． 附加题【必做题】 25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y ﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）． （1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q． ①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②求p的取值范围． 26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C ﹣4C 的值； （2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ． 2016年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则 A∩B= {﹣1，2} ． 【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集 的定义可得答案． 【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}， ∴A∩B={﹣1，2}， 故答案为：{﹣1，2} 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的 实部是 5 ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i， 则z的实部是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣ =1的焦距 是 2 ． 【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线 ﹣ =1的焦距． 【解答】解：双曲线 ﹣ =1中，a= ，b= ， ∴c= = ， ∴双曲线 ﹣ =1的焦距是2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较 基础． 4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据 的方差是 0.1 ． 【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据 的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为： = （4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1， ∴该组数据的方差： S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1） 2]=0.1． 故答案为：0.1． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算 公式的合理运用． 5．（5分）（2016•江苏）函数y= 的定义域是 [﹣3，1] ． 【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案． 【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0， 解得：x∈[﹣3，1]， 故答案为：[﹣3，1] 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大， 属于基础题． 6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 9 ． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利 用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7， 当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5 当a=9，b=5时，满足a＞b， 故输出的a值为9， 故答案为：9 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时， 可采用模拟程序法进行解答． 7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和 小于10的概率是 ． 【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概 率． 【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4， 5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次， 基本事件总数为n=6×6=36， 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10， 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有： （4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个， ∴出现向上的点数之和小于10的概率： p=1﹣ = ． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件 概率计算公式的合理运用． 8．（5分）（2016•江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a2 2=﹣ 3，S5=10，则a9的值是 20 ． 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公 差，由此能求出a9的值． 【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a2 2=﹣3，S5=10， ∴ ， 解得a1=﹣4，d=3， ∴a9=﹣4+8×3=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意等差数列的性质的合理运用． 9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 7 ． 【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案． 【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下： 由图可知，共7个交点． 故答案为：7． 【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区 间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题． 10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 + =1 （a＞b＞0）的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该 椭圆的离心率是 ． 【分析】设右焦点F（c，0），将y= 代入椭圆方程求得 B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计 算即可得到所求值． 【解答】解：设右焦点F（c，0）， 将y= 代入椭圆方程可得x=±a =± a， 可得B（﹣ a，），C（ a，）， 由∠BFC=90°，可得kBF•kCF=﹣1， 即有 • =﹣1， 化简为b2=3a2﹣4c2， 由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2， 由e= ，可得e2= = ，可得e= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之 积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣ 1，1）上，f（x）= ，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f （5a）的值是 ﹣ ． 【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得 到f（5a）的值． 【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）= ， ∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a， f（）=f（）=| ﹣|= ， ∴a= ， ∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+ =﹣， 故答案为：﹣ 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 a值，是解答的关键． 12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围 是 [ ，13] ． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点 间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 由图象知A到原点的距离最大， 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由 得 ，即A（2，3）， 此时z=22+32=4+9=13， 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d= = ， 则z=d2=（ ）2= ， 故z的取值范围是[ ，13]， 故答案为：[ ，13]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算， 利用数形结合是解决本题的关键． 13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上 的两个三等分点， • =4， • =﹣1，则 • 的值是 ． 【分析】由已知可得 = + ， =﹣ + ， = +3 ， =﹣ +3 ， = +2 ， =﹣ +2 ，结合已知求出 2= ， 2= ，可得答案． 【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴ = + ， =﹣ + ， = +3 ， =﹣ +3 ， ∴ • = 2﹣ 2=﹣1， • =9 2﹣ 2=4， ∴ 2= ， 2= ， 又∵ = +2 ， =﹣ +2 ， ∴ • =4 2﹣ 2= ， 故答案为： 【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难 度中档． 14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC的最小值是 8 ． 【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性 可求得最小值． 【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC， sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，① 由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣ ②， 则tanAtanBtanC=﹣ •tanBtanC， 由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣ ， 令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣ =﹣ ， =（ ）2﹣，由t＞1得，﹣≤ ＜0， 因此tanAtanBtanC的最小值为8， 当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+ ，tanC=2﹣ ，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活 性． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ． （1）求AB的长；（2）求cos（A﹣ ）的值． 【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长； （2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣ ）的值． 【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB= ， ∴sinB= ， ∵ ， ∴AB= =5 ； （2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣ ． ∵A为三角形的内角， ∴sinA= ， ∴cos（A﹣ ）= cosA+ sinA= ． 【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能 力，属于基础题． 16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为 AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直 线DE∥平面A1C1F1； （2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平 面A1C1F． 【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F； （2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1， ∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F⊂平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F， 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F⊂平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明， 把握常用方法最关键，难度不大． 17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上 部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． （1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4 倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积； （2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1= m，