黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

大庆铁人中学2021 级高二学年上学期月考 数学 试题 考试时间： 年 月 日 第 1 页 共 2 页 大庆铁人中学2021 级高二学年上学期月考 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1.经过( 2,0), ( 5,3) A B − − 两点的直线的倾斜角是（ ） A. 4  B . 3  C . 2  D. 3 4  2.若直线l 的方向向量为 (1,0,2) a → = ，平面的法向量为 ( 2,0, 4) n → = − − ，则（ ） A．/ / l  B. l  ⊥ C. l   D. l 与斜交 3.已知直线 2 1 : 2 0 l a x y + − = 与直线2 : (2 3) 1 0 l x a y − + + = 垂直，则a =（ ） A．3 B. 1或3 − C. 1 − D. 3 或1 − 4.已知ABC  顶点分别为( ) ( ) ( ) 1, 1,2 , 5, 6,2 , 1,3, 1 , A B C − − − 则AC 边上的高BD 长度等于 （ ） A．3 B.4 C.5 D. 6 5.在正方体ABCD A B C D  − 中,M 是AB 的中点,异面直线DB和CM 所成角正弦值是（ ） A．1 2 B. 11 15 C. 2 3 D. 210 15 [第5 题图] [第6 题图] 6.如图在一个120的二面角的棱上有两点 , A B 线段 , AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内, 且均与棱AB 垂直,若 2, 1, 2 AB AC BD = = = 则CD 的长为（ ） A．2 B. 3 C. 2 3 D. 4 7.已知点(3, 1) A − ，(5, 2) B − ，且点P 在直线 0 x y + = 上，若使PA PB + 取得最小值，则点 P 的坐标为（ ） A. 13 13 ( , ) 5 5 − B. 12 12 ( , ) 5 5 − C. ( 2,2) − D. (2, 2) − 8. 已知 ABC  的三边所在的方程分别是 :4 3 10 0, : 2, :3 4 5, AB BC AC l x y l y l x y − + = = − = 则 BAC  的平分线所在的直线方程为（ ） A. 15 0 x y + + = B. 7 7 5 0 x y − + = C. 6 7 3 0 x y − + = D. 7 6 3 0 x y − + = 二、不定项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，全选对的得5 分，有选错的得0 分， 选对但选不全的得3 分） 9.已知, , a b c →→→ 是非零的空间向量,则下列说法中错误的的是 ( ) A.( ) ( ) a b c b c a → →→ → →→ • = • B.若a b a b → → →→ • = − ,则/ / a b → → C.若a c b c → → → → • = • ,则/ / a b → → D.若a a b b → → → → • = • ,则a b → → = 10．下列说法错误的是（ ） A．截距相等的直线都可以用方程 1 x y a a + = 表示 B．方程 2 0( ) x my m R + −=  能表示平行于x 轴的直线 C．经过点(1,1) P 且倾斜角为的直线方程为 1 tan ( 1) y x  −= − D．经过两点 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y 的直线方程为 2 1 1 2 1 1 ( )( ) ( )( ) 0 y y x x x x y y − − − − − = 11. 点(1,0) 到直线3 4 2 (2 2) 0,( ) x y x y R   + −+ + + =  的距离可能是 ( ) A. 7 B. 2 2 C . 13 D. 15 12.下列说法正确的是 ( ) A 已知, u v →→ 是两个不共线的向量,若 , 3 2 , 2 3 a u v b u v c u v → → →→ → →→ → → = + = − = + 则, , a b c →→→ 共面; B 若向量/ / a b → → ,则, a b →→ 与任何向量都不能构成空间的一个基底; 大庆铁人中学2021 级高二学年上学期月考 数学 试题 考试时间： 年 月 日 第 2 页 共 2 页 C 若( ) ( ) 1,0,0 , 0,1,0 A B ,则与向量AB → 共线的一个单位向量为 2 2 ( , ,0) 2 2 − ; D 在三棱锥O ABC − 中,若侧棱 , , OA OB OC 两两垂直,则ABC  是钝角三角形. 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知向量 (2, 3,1), (2,0,3), a b → → = − = 则 ( ) a a b → → → • + = ________ 14.已知直线1 : 0 l x ay + = 和直线 ( ) 2 :2 3 4 0, , l x a y a R − − − =  若1 l 与2 l 平行,则1 l 与l2 之间的距 离为 . 15.直线经过点 ( 2,1) M − 且( 1,2) A − , (3,0) B 两点到该直线的距离相等，则直线的方程为_______ 16.已知棱长长为1的正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − ，M 为BC 的中点，点N 为四边形 1 1 DCC D 及其 内部任意一点，若 1 MN AC ⊥ ，则三棱锥 1 N AA D − 体积的取值范围是_________ A1 B1 C1 D1 A B C N D M 三、解答题（17 题10 分，18~22 题每题12 分） 17.(10 分)已知直线1 l 的方程为 2 4 0 x y + −= ,直线2 l 在x 轴上的截距为3 2 ,且1 2. l l ⊥ (1)求直线1 l 与2 l 的交点坐标; (2)已知直线3 l 经过1 l 与2 l 的交点,且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2 倍,求3 l 的方程. 18.(12 分)已知空间三点( ) ( ) ( ) 0,2,3 , 2,1,6 , 1, 1,5 A B C − − . (1)求以 , AB AC 为邻边的平行四边形的面积; (2)若向量a → 分别与 , AB AC → → 垂直,且 3 a → = 求a → 的坐标. 19.(12 分) 如图在四棱锥P ABCD − 中, PD ⊥平面 , ABCD E 为AD 的中点,底面ABCD 是边长 为2 的正方形,且平面PEB与平面ABCD 夹角的余弦值为 6 6 . (1)求棱PD的长; (2)求点C 到平面PEB的距离. P C B A D E D D1 A C C1 F A1 B B1 E [19 题图] [20 题图] 20.(12 分)如图在平行六面体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中, 1 4, 3, 5, 90 AB AD AA BAD = = =  = , 1 1 60 BAA DAA  =  = ,点F 为 1 BC 与 1 B C 的交点,点E 在线段 1 AC 上,且 1 2 AE EC = (1)求 1 AC 的长; (2)设 1 EF x AB y AD z AA → → → → = + + ,求, , x y z 的值. 21. (12 分)在平行四边形ABCD 中, , 2, 2 AB BD AB BD ⊥ = = ,沿BD将BCD  折起,使二面角 C BD A − − 的大小为,设点C 在平面ABD上的射影为点O . (1)当为何值时,三棱锥C OAD − 的体积最大?最大值为多少? (2)当AD BC ⊥ 时,求的大小. A B C D A D O C B A1 C1 B1 A B C [21 题图] [22 题图] 22. .(12 分)如图，三棱柱 1 1 1 ABC A B C − 所有的棱长为2 ， 1 1 2 AB AC = = . (1)求证:平面ABC ⊥平面 1 A BC (2)在线段 1 B C 上是否存在一点P ，使直线BP 与平面 1 A BC 所成角的正弦值为3 30 20 ？若存在求 出CP 的值；若不存在，请说明理由。