安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学答案

1 宿州市十三所重点中学2021—2022 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷（北师大版）参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B A D B C A B B 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 2 ； 14. 8 ； 15. 2 1 ； 16. 2 6 . 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）由题意知圆心C 为 ) 2 1 (  ， ， 直线l 过圆心 ) 2 1 (  ， C ， 0 1 2 1   m ，即 1   m ， 所以m 的值为1 . ………………5 分 （Ⅱ）圆的标准方程为 11 ) 2 ( ) 1 ( 2 2     y x ，圆心为 ) 2 1 (  ， ，半径为11 ， 因为直线被圆截得的弦长为 3 2 ， 所以圆心到直线的距离为： 2 2 2 ) 3 ( ) 11 ( 1 1 2 1      m m 解得： 1  m , 所以m 的值为1. ………………10 分 18. 解：（Ⅰ）因为 1    A A AD ， 2  AB ，所以 ) 1 , 0 , 0 ( D ， ) 0 , , 1 ( m E ， ) 1 , 0 , 1 ( A ， ) 0 , 0 , 0 ( D 因此 ) 1 , , 1 (    m E D ， ) 1 , 0 , 1 (    D A ， 又因为 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 1              m D A E D ， 所以 D A E D    ， 即 D A E D    . ………………6 分 （Ⅱ）当E 为AB 的中点时， ) 0 , 2 1 , 1 ( E ， 又因为 ) 0 , 0 , 1 ( A , ) 0 , 2 , 0 ( C ,所以 ) 0 , 2 , 1 (  AC ， 2 又 ) 1 , 2 1 , 1 (   E D ， ) 1 , 2 , 0 (   C D , 设 ) , , ( z y x n  是平面 EC D 的法向量，则            0 0 C D n E D n ，即           0 2 0 2 1 z y z y x ，令 2  y ，取 ) 4 , 2 , 3 (  n ， 145 145 29 5 1 , cos       n AC n AC n AC ， 设直线AC 与平面 EC D 所成角为， 则 ， 145 145 , cos sin     n AC  从而直线AC 与平面 EC D 所成的角的正弦值为145 145 . ………………12 分 19. 解：（Ⅰ）设该小组中男生有 ) (  N n n 人， 由已知得恰有一名男生的概率为 5 3 3 6 2 6 1    C C C n n ， 即 24 ) 5 )( 6 (    n n n ，因为     N n n , 4 1 ， 逐一验证可得 2  n ，所以女生有： 4 2 6   因此该小组中男生有2 人，女生有4 人． ………………6 分 （Ⅱ）6 名学生站成一排，共有 720 1 2 3 4 5 6 6 6        A 种站法， 男生不相邻的站法共有 480 20 24 2 5 4 4    A A 种 所以男生不相邻的概率为： 3 2 720 480   P ． ………………12 分 20. 解：（Ⅰ）由题意得 ABCD PB 平面  ， ABCD BC AB 平面 、  ， 所以 AB PB  , BC PB  , 又因为 2      BAD ABC ,所以 BC AB PA , , 两两垂直， 以点B 为坐标原点， BP BA BC , , 所在直线分别为 z y x , , 轴建立空间直角坐标系， 因为 6    BC AB PB ， 3  AD 所以 ) 0 , 0 , 0 ( B ， ) 6 , 0 , 0 ( P ， ) 0 , 0 , 6 ( C ， ) 0 , 3 , 6 ( D ， ) 0 , 6 , 0 ( A ， 3 ) 6 , 0 , 0 (  BP ， ) 6 , 3 , 6 (   PD ， ) 6 , 0 , 6 (   PC ， 设平面PCD 的一个法向量为 ) , , ( z y x n  ， 则          0 0 PC n PD n ，即         0 6 6 0 6 3 6 z x z y x 令 1  x ，取 ) 1 , 0 , 1 (  n 所以点D 到平面PBC 的距离为 2 3 2 6     n BP n d . ………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面PCD 的一个法向量为 ) 1 , 0 , 1 (  n ， 平面CDA 的一个法向量为 ) 1 , 0 , 0 (  m ， 设二面角 A CD P   的平面角为，由图得二面角为锐角 故 n m n m n m     cos cos 2 2 2 1   ， 所以二面角 A CD P   的平面角的余弦值为2 2 . ………………12 分 21.解：（Ⅰ）对食品质量满意的有 120 60 200 0 0   （人）， 对监管力度满意的有 150 75 200 0 0   （人）， 对食品质量与监管力度都满意的有80 人， 列出 2 2 列联表如下： 监督力度情况 食品质量情况 对监督力度满意 对监督力度不满意 总计 对食品质量满意 80 40 120 对食品质量不满意 70 10 80 总计 150 50 200 2 2 200 (80 10 40 70) 100 10.828 120 80 150 50 9 K           ， 所以可以在犯错误的概率不超过 0 0 0.1 的前提下，认为食品质量与监管力度有关． ………………6 分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为 3 2 1 0 ， ， ， ， 4 490 247 ) 0 ( 3 50 3 40    C C X P ， 98 39 ) 1 ( 3 50 2 40 1 10    C C C X P 98 9 ) 2 ( 3 50 1 40 2 10    C C C X P ， 490 3 ) 3 ( 3 50 3 10    C C X P 则X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 490 247 98 39 98 9 490 3 5 3 490 3 3 98 9 2 98 39 1 490 247 0          EX . ……………12 分 22. 解：（Ⅰ）由题意:点P 到点 ) 0 , 1 ( F 的距离比它到直线 1   x 的距离， 由抛物线定义知，点P 的轨迹为以 ) 0 , 1 ( F 为焦点， 1   x 为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹方程为： x y 4 2  . ………………4 分 （Ⅱ）易知直线MN 的斜率不为0 ，设其方程为 m ty x   ， 设 ) , ( 1 1 y x M ， ) , ( 2 2 y x N , 联立       x y m ty x 4 2 ，消去x 得 0 4 4 2    m ty y ， 其中 0 16 16 2     m t ， t y y 4 2 1   ， m y y 4 2 1   ， 由 5  ON OM ，得 5 4 16 ) ( 4 4 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1         m m y y y y y y y y y y x x ， 解得: 5  m 或 1   m ， 由已知点 N M , 位于x 轴的两侧，则 0 4 2 1    m y y ，即 0  m ， 所以 5  m ， 从而直线MN 的方程为 5  ty x ，所以直线MN 过定点 ) 0 , 5 ( ， 设OMN  的面积为S ,则 5 10 2 2 5 ) ( 2 5 5 2 1 2 1 2 1 2 1        y y y y y y S ， 当且仅当 5 2 2 1  y y 时，等号成立， 因此OMN  的面积的最小值为 5 10 . ………………12 分 （说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）