安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

1 A 1 B 1 C 1 D 宿州市十三所重点中学2021—2022 学年度第一学期 期中质量检测 高二数学试卷（北师大版） 第Ⅰ卷 选择题（共60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以(1,−2)为圆心，3 为半径的圆的方程为( ) A．( x+1)2+( y−2)2=3 B． ( x−1)2+( y+2)2=3 C．( x+1)2+( y−2)2=9 D． ( x−1)2+( y+2)2=9 2. 直线 x √3 + y 3 =1 的倾斜角为( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5 π 6 3. 若直线x+ y+1=0 与圆( x−1)2+ y2=r2(r>0)相切，则r 的值为( ) A. 1 B.√2 C. √3 D.2 4. 双曲线 x2−y2 4 =1 的渐近线方程为( ) A．y=±2x B．y=±4 x C． y=±1 2 x D． y=± 1 4 x 5. 已知两条直线l1:(m+1)x+ y−1=0和l2:2 x+my−1=0 ，若l1// l2， 则实数m 的值为( ) A．−2或1 B．−2 C．1 D．−1 6. 如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E 为AC 与BD 的 交点，则下列向量中与⃗ D1E 相等的向量是( ) A. 1 2⃗ A1B1−1 2⃗ A1D1+⃗ A1 A B. 1 2⃗ A1B1+1 2⃗ A1 D1+⃗ A1 A C. −1 2⃗ A1B1+1 2⃗ A1D1+⃗ A1 A D. −1 2⃗ A1B1−1 2⃗ A1D1+⃗ A1 A 7. 黄金分割起源于公元前6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4 世纪 古希腊数学家欧 多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300 年前后欧几里得撰 写《几何原本》时 吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最 早的有关黄金分割 的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等 于较小部分与较大 部分的比值，其比值为 √5−1 2 ，把 √5−1 2 称为黄金分割数. 已知焦点 在x 轴上的椭圆 x2 m + y2 (√5−1)2=1 的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数 m 的值为( ) A．2√5−2 B．√5+1 C．2 D．2√5 8. 已知点A（1，3）与点B 关于直线l x ：−y+1=0 对称，则点B 的坐标 为( ) A．（3，3） B．（2，2） C．（ 5 2 ， 3 2 ） D．（3，2） 9. 若圆x2+( y−a)2=4 上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则实数a 的取值范围是( ) A．(1,3) B．[1,3] C．(−3,−1)∪(1,3) D．[−3,−1]∪[1,3] 10．已知F1,F2分别为双曲线 的左,右焦点， 双曲线C 上的点A 满足|AF1|=2|AF2|，且AF1的中点在y 轴上，则双曲线C 的离心率 为( ) A． √3+1 2 B．√3 C．2 D ． √3+1 11．已知抛物线C : y2=2 px( p>0)的焦点为F ，抛物线C 上的两点 P,Q 均在第一象限，且|PQ|=2，|PF|=3 ，|QF|=4 ，则直线PQ 的斜率为( ) A．1 B．√2 C．√3 D．√5 12．已知F1,F2分别为椭圆 x2 9 + y2 4 =1 的左,右焦点，过原点的直线与椭 圆C 交于A ,B 两点，且A ,F1,B,F2四点共圆，则四边形AF1BF2的 面积为( ) A．3 B．4 C．6 D．8 第Ⅱ卷 非选择题（共90 分） 二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.将答案填写在答题 卡的横线上. 13. 两平行直线l1:3 x+4 y+7=0 ，l2:6 x+8 y−3=0 之间的距离为 ． 14. 已知抛物线 的焦点与双曲线 x2 4 −y2 3 =1 的右顶点重合，则实 数m 的值为 ． 15. 设F1(−c,0),F2(c,0)分别为椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) 的左,右焦点， 若直线 x=2a2 c 上存在点P ，使|PF2|=2c ，则椭圆离心率的取值范围为 ． 16．若关于x 的不等式k( x−2)−√5≥√9−x2 的解集为{x|m≤x≤n}， 且n−m=1，则实 数k 的值为 ． 三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分. 解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 17. （本小题满分10 分） 如图，在空间直角坐标系O−xyz 中，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱 长为1，顶点A 位于坐标原点，若E 是棱B1C1的中点，F 是侧面 CDD1C1的中心． （Ⅰ）求点E ,F 的坐标及|⃗ EF|； （Ⅱ）求向量⃗ EF 在⃗ DC1方向上的投影数量． 18. （本小题满分12 分） 已知在Δ ABC 中，A(0,1)，B(4,−1)，C(2,1)． （Ⅰ）求边AB 的垂直平分线的方程； （Ⅱ）求Δ ABC 的外接圆的方程． 19. （本小题满分12 分） 某市为庆祝建党100 周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经 过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA 及一个矩形A1C1CA 的三边 组成，尺寸如图（单位：m）． （Ⅰ）以隧道横断面抛物线的顶点O 为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，求该段抛物线A1OA 所在抛物线的方程； （Ⅱ）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车 与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？请说明理由． 1 B 1 A 3 6 y 1 A C 1 C 6 D1 C1 ( A) O C O x A1 A 20. （本小题满分12 分） 已知点F1(−√3,0)，F2(√3,0)，动点M 满足| |MF1|−|MF2| |=2． （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）直线l 与点M 的轨迹交于A ,B 两点，若弦AB 的中点坐标为 (2,1)，求直线l 的方程． 21. （本小题满分12 分） 已知圆C : x2+ y2−6 x−2 y+6=0 ，两条直线l1:mx−y−2m=0 ， l2: x+my−2=0 ，m∈R ． （Ⅰ）证明：直线l1、l2 均与圆C 相交； （Ⅱ）设直线l1交圆C 于A ,B 两点，直线l2 交圆C 于E,F 两点，求 |AB|+|EF|的最大值． 22. （本小题满分12 分） 已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) 经过点A(0,1)和 B(1, √3 2 ) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）经过点M (2,−1)的直线l 与C 相交于P ,Q 两点（l 不经过点 A ），设直线AP, AQ 的斜率分别为k1,k2，试问k1+k2是否为定 值？若是，求出该定值；否则，请说明理由． C C1