安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题（北师大版）

宿州市十三所重点中学2021—2022 学年度第一学期 期末质量检测 高二数学试卷（北师大版） 命题： 宿城一中 审核：宿城一中 第Ⅰ卷 选择题（共60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．若 ，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若直线 与 互相垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3．若直线 的一个方向向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，则 直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为 、 ，两人的检测成绩互不影响， 则两人的检测成绩都为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 5．一组样本数据： ， ， ， ， ，由最小二乘法求得线性回 归方程为 ，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知随机变 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7．将一枚均匀的骰子先后抛掷次，至少出现两次点数为的概率为（ ） A． B． C． D． 8 ．已知点 , 为椭圆 的左, 右焦点，若点 为椭圆上一动点，则使得 的点 的个数为（ ） A． B． C． D．不能确定 9．在 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，且所有项的系数和为，则含 的 项的系数为（ ） A． B． C． D． 10．已知 , 为双曲线 的左,右顶点，点 在双曲线 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的 中点，点 在线段 上，点 在线段 上，则线段 长的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图 所示，它是由四个全等 的直角三角形和一个 正方形构成．现用4 种不同的颜色（4 种颜色全部使用）给这5 个区域涂色，要求相邻 的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 第Ⅱ卷 非选择题（共90 分） 二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.将答案填写在答题卡的横线上. 13．若随机变量 ，则 ． 14．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则实数 的值为． 15．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件 为“三人竞岗 部门都不同”， 为“甲独自竞岗一个部门”，则 ． 16．在单位正方体 中，点 为 的中点，过点 , , 的平面截该正方体 所得的截面面积为． 三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分10 分) 已知直线 与圆 ． （Ⅰ）当直线恰好平分圆 的周长时，求 的值； （Ⅱ）当直线被圆 截得的弦长为 时，求 的值． 18. (本小题满分12 分) 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ，且 ， ，点 在棱 上移动． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）当 为 的中点时,求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. (本小题满分12 分) 某话剧表演小组由6 名学生组成，若从这6 名学生中任意选取3 人，其中恰有1 名男生的概 率是 ． （Ⅰ）求该小组中男、女生各有多少人？ （Ⅱ）若这6 名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率． 20. (本小题满分12 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ． （Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． 21. (本小题满分12 分) 新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合 格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了 位师 生的信息，发现对监管力度满意的占 ，对食品质量满意的占 ，其中对监管力度和食品 质量都满意的有 人． （Ⅰ）完成 列联表，试问：是否有 的把握判断监管力度与食品质量有关联? 监督力度情况 食品质量情况 对监督力度满意 对监督力度不满意 总计 对食品质量满意 对食品质量不满意 总计 （Ⅱ）为了改进工作作风，针对抽取的 位师生，对监管力度不满意的人抽取位征求意见， 用 表示人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求 的分布列与均值． 参考公式： ，其中 ． 参考数据： ①当 时，有 的把握判断变量 、 有关联； ②当 时，有 的把握判断变量 、 有关联； ③当 时，有 的把握判断变量 、 有关联． 22. (本小题满分12 分) 已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小． （Ⅰ）求点 的轨迹方程； （Ⅱ）点 在点 的轨迹上且位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点），求 面积的最小值．