重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二11月质量检测数学试题

重庆缙云教育联盟2021-2022 学年（上）11 月月度考试 高二数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上 均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 下列结论中正确的个数为( ) (1)m=-3 是直线l1:mx+(m+1)y+1=0 和直线l2:2x+my+2=0 垂直的充要条件; (2)在线性回归方程中,相关系数r 越大,变量间的相关性越强; (3)已知随机变量ξ~N(1,σ 2),若P(ξ<3)=0.6,则P(-1<ξ<1)=0.1; (4)若命题p:∀x∈(0,+∞),x-1>lnx,则¬p:∃x0∈(-∞,0],使x0-1≤ln x0. A. 4 B. 0 C. 3 D. 1 2. 已知偶函数f ( x)的定义域为R，其导函数为f '( x)，当x>0时，f '( x)>2 x，则不等 式f (3 x−4)−f ( x−2)>8 x 2−20 x+12的解集是( ) A. (−∞,1) B. (3,+∞) C. (−∞, 1 2 )∪(3,+∞) D. (−∞,1)∪( 3 2 ,+∞) 3. 已知向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ ( x ,1−y)且a ⃗ /¿b ⃗，若x，y均为正数，则3 x + 2 y 的最小值是() A. 24 B. 8 3 C. 8 D. 5 3 4. 若i为虚数单位，复数z在复平面中对应的点为( −1 2 , ❑ √3 2 )，则z 2019的值是( ) A. −1 B. −i C. i D. 1 5. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群 体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、 丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：总体平均数为2，总体方差为3； 丁地：中位数为2，众数为3； 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( ) A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 6. 如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF ⊥ 平面ABCD，DF/¿C C1/¿ BE，AB=4，BC=2， C C1=3，BE=1，则点C到平面AEC1 F的距离为( ) A. ❑ √33 11 B. 4 ❑ √33 33 C. 2❑ √33 11 D. 4 ❑ √33 11 7. 已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，若p ⃗ =2a ⃗ −b ⃗，q ⃗ =2b ⃗ −a ⃗，r ⃗ =a ⃗ +b ⃗，s ⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗， 则下列可以为空间一个基底的是( ) A. a ⃗，p ⃗，q ⃗ B. b ⃗，p ⃗，q ⃗ C. r ⃗，p ⃗，q ⃗ D. s ⃗，p ⃗，q ⃗ 8. 过椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C 的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是 () A. (0, ❑ √5 5 ] B. [ ❑ √5 5 ,1) C. (0, ❑ √2 2 ] D. [ ❑ √2 2 ,1) 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 双曲线C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1的左右焦点分别为F1，F2，倾斜角为60 ∘的直线l过双曲线C的右 焦点F2，与双曲线C右支交于A ,B两点，且A F2 ⃗ =5 F2B ⃗ ，则( ) A. 双曲线C的离心率为2 B. ▵A F1 F2与△B F1 F2内切圆半径比为3:1 C. ▵A F1 F2与△B F1 F2周长之比为4:1 D. ▵A F1 F2与△B F1 F2面积之比为5:1 10. 已知圆M：x 2+( y−2) 2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点 分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是( ) A. 四边形PAMB周长的最小值为2+2❑ √3 B. 若P (1,0)，则三角形PAB的面积为8 5 C. 若P (1,0)，则PA ⃗ ⋅PB ⃗ =8 5 D. |AB|的取值范围是[❑ √3,2) 11. 下列命题中，正确的有() A. 空间任意向量a ⃗ ,b ⃗都是共面向量 B. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若OP ⃗ =2OA ⃗ +OB ⃗ +t OC ⃗ ,则 t=−1 C. 在四面体中P−ABC，若PA ⃗ ⋅BC ⃗ =0，PC ⃗ ⋅AB ⃗ =0则PB ⃗ ⋅AC ⃗ =0 D. 若向量a ⃗ +b, ⃗ b ⃗ +c , ⃗ c ⃗ +a, ⃗是空间一组基底，则a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗也是空间的一组基底 12. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为1 2，学生乙解出的概率为1 3，学生丙解出的概 率为1 4 .若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则( ) A. 恰有一人解出的概率为11 24 B. 没有人能解出的概率为1 24 C. 至多一人解出的概率为17 24 D. 至少两个人解出的概率为23 24 三、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 已知A ,B , P为双曲线x 2−y 2 4 =1上不同的三点，且满足PA ⃗ +PB ⃗ =2 PO ⃗ (O为坐标原 点)，直线PA , PB的斜率记为m,n，则m 2+ n 2 9 的最小值为____________． 14. 若直线l:kx−y−2=0与曲线C : ❑ √1−( y−1) 2=x−1有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是_____________． 15. 在正四面体P−ABC中，棱长为1，且E是棱AB中点，则PE ⃗ ⋅BC ⃗ 的值为___________． 16. 若指数函数y=f (x )的图象过点(2,4 )，则f (x )=¿ ． 四、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分） 17. 已知f ( x)=❑ √3sin x cos x−cos 2 x+ 1 2． (1)若x∈[ π 6 , π 3 ]，求f ( x)的取值范围; (2)设△ABC的三边分别是a，b，c，周长为2，若f (B)=−1 2 ，求△ABC面积的最 大值． 18. 在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosC=2b−c 2a ． (1)求角A的大小； (2)若▵ABC的周长为6，求▵ABC面积S的最大值． 19. 在三棱锥P−ABC中，底面ABC与侧面PAB均为正三角形，AB=2，PC=❑ √6，M 为AB的中点． (1)证明：平面PCM ⊥平面PAB； (2)N为线段PA上一点，且▵CMN的面积SΔCMN= 3 4 ，求二面角P−CN−M的大小． 20. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差(质量差¿生 产的产品质量−¿标准质量，单位mg)的样本数据统计如下： (1)求样本数据的80%分位数； (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在( x−s, x+s)范围内的产 品为一等品，其余为二等品．其中x ,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 s≈10(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． ①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱 子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率 21. 已知抛物线G: y 2=2 px( p>0)，点M (2,0)在G的焦点F的右侧.且M到G的准线的距 离是M到F距离的3倍，经过点M的直线与抛物线G交于不同的A、B两点，直线OA 与直线x=−2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q． (1)求抛物线G的标准方程; (2)判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由． 22. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，O，A，B是三个军事基 地，C为一个军事要塞，在线段AB上.已知tan∠AOB=−2，OA=100km，C到 OA，OB的距离分别为50km，30 ❑ √5km，以点O为坐标原点，直线OA为x轴，建立 平面直角坐标系如图所示． (1)求两个军事基地AB的长; (2)若要塞C正北方向距离要塞100km处有一E处正在进行爆破试验，爆炸波生成th时 的半径为r=5 ❑ √at(参数a为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一飞行器以 300 ❑ √2km/h的速度自基地A开往基地B，问参数a控制在什么范围内时，爆炸波不会 波及到飞行器的飞行． 23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线E: x 2 a 2−y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的右焦 点F到双曲线E的一条渐近线y=❑ √3 x的距离为❑ √3． (1)求双曲线E的方程; (2)如图，过圆O: x 2+ y 2=1上一点M作圆O的切线l与双曲线E的左右两支分别交于P， Q两点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A，求直线l的方程． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 根据各命题对应的知识即可判断其真假． 本题主要考查命题的真假判断，涉及直线与直线垂直的充要条件的应用，相关系数与相关 性关系的应用，全称量词命题的否定，以及正态分布曲线的应用，属于中档题． 【解答】 解：对于（1），若直线l1：mx+（m+1）y+1=0 和直线l2：2x+my+2=0 垂直， 则2m+m（m+1）=0，解得，m=0 或m=-3， 所以m=-3 是直线l1：mx+（m+1）y+1=0 和直线l2：2x+my+2=0 垂直的充分不必要条件，故 （1）错误； 对于（2），在线性回归方程中，相关系数|r|越大，变量间的相关性越强，故（2）错误； 对于（3），随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＜3）=0.6， ∴P（ξ＞3）=0.4，由对称性可得P（ξ＜-1）=0.4， ∴P（-1＜ξ＜1）=P（ξ＜1）-P（ξ＜-1）=0.5-0.4=0.1，故（3）正确； 对于（4），￢p：∃x0∈（0，+∞），x0-1≤lnx0，故（4）错误． 所以正确的是（3）． 故选D. 2.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查利用函数的性质解不等式，属于一般题． 令g( x)=f ( x)−x 2，求出单调性和奇偶性，将不等式转化为¿3 x−4∨¿∨x−2∨¿求解即 可． 【解答】 解：令g( x)=f ( x)−x 2，则g'( x)=f '( x)−2 x， 因为当x>0时，f '( x)>2 x， 所以g( x)在(0,+∞)上单调递增． 不等式f (3 x−4)−f ( x−2)>8 x 2−20 x+12可变形为 f (3 x−4)−(3 x−4) 2>f ( x−2)−( x−2) 2，即g(3 x−4)>g( x−2)． 因为f ( x)是偶函数， 所以g( x)也是偶函数． g(3 x−4)>g( x−2)等价于g(∨3 x−4∨)>g(∨x−2∨)， 原不等式等价于¿3 x−4∨¿∨x−2∨¿，即(3 x−4) 2>( x−2) 2， 解得x∈(−∞,1)∪( 3 2 ,+∞). 3.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目． 根据向量的平行的得到2 3 x+ y=1，再根据基本不等式即可求出答案． 【解答】 解：∵向量a ⃗ =(3,2),b ⃗ =( x ,1−y)且a ⃗ /¿b ⃗， ∴3(1−y)=2 x， ∴2 x+3 y=3． ∴2 3 x+ y=1， ∴3 x + 2 y =( 3 x + 2 y )( 2 3 x+ y)¿2+2+ 3 y x + 4 x 3 y ≥4+2❑ √ 3 y x ⋅4 x 3 y =8，当且仅当x= 3 4 ， y=1 2时取等号， 故3 x + 2 y 的最小值是8， 4.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了复数的四则运算，属于基础题； 由复数z在复平面中对应的点为( −1 2 , ❑ √3 2 )知z=−1 2 + ❑ √3 2 i，再根据z 3=1,代入可得答案． 【解答】 解： 由复数z在复平面中对应的点为( −1 2 , ❑ √3 2 )知z=−1 2 + ❑ √3 2 i， 又 ． 即得 z 2019=( z 3) 673=1， 故选D． 5.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查的是平均数、中位数、众数、方差，属于中档题． 利用方差的概念能判断丙地在这10天一定没有发生大规模群体感染事件，甲、乙、丁无法 确定在这10天一定没有发生大规模群体感染事件． 【解答】 解：由题意甲地无法判断一定没有发生大规模群体感染事件， 理由是：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人； 乙地无法判断一定没有发生大规模群体感染事件， 理由是：当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，由此不能确定数据的波动大小； 可以判断丙地一定没有发生大规模群体感染事件， 理由是： 设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1, x2, x3,⋯, x10， 并设有一天超过7人，不妨设第一天为8人， 则s 2= 1 10 [(8−2) 2+( x2−2) 2+⋯+( x10−2) 2]>3， 因为总体方差为3， 所以连续10天每天新增疑似病例不超过7人． 丁地无法判断一定没有发生大规模群体感染事件， 理由是：中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人． 故选C． 6.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查利用空间向量求解空间距离，建立空间坐标系，求出平面AEC1 F的法向量，然 后利用公式求解即可． 【解答】 解：因为DF ⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD， 所以DF ⊥AD，DF ⊥CD， 又ABCD为长方形， 所以AD⊥DC， 所以DA，DC，DF两两垂直， 以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 D−xyz， 则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)， ∴A C1 ⃗ =(−2,4,3)，AE ⃗ =(0,4,1)， 设n ⃗为平面AEC1 F的法向量，n ⃗ =( x , y , z)，由{ n ⃗ · AE ⃗ =0 n ⃗ ⋅A C1 ⃗ =0 ，得 令z=1，∴{ x=1 y=−1 4 ，即n ⃗ =(1,−1 4 ,1)， 又C C1 ⃗ =(0,0,3)， ∴点C到平面AEC1 F的距离d=¿C C1 ⃗ ·n ⃗ ∨ ¿ ¿n ⃗ ∨¿= 4 ❑ √33 11 ¿ ¿． 故选D． 7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查空间向量的基本定理及应用，属于基础题． 根据基底的概念即可得出答案． 【解答】 解：作出ａ ⃗ ,ｂ ⃗ ,ｃ ⃗ 为邻边的平行六面体，得ｓ ⃗ ,ｐ ⃗ ,ｑ ⃗ 不共面，其余三组都共面，所以选 Ｄ． 8.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，涉及直线与圆的位置关系，属基础题． 根据椭圆的方程，求出直线l的方程，确定圆心坐标和半径，根据直线与圆的位置关系列出 不等式，求解即可． 【解答】 解：直线l的方程为：x −c + y b =1，即bx−cy+bc=0，椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)的右焦 点坐标为(c ,0)， 将x=c代入椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的方程，得A，B两点的坐标分别为(c , b 2 a )， (c ,−b 2 a )， 以AB为直径的圆的圆心为(c ,0)，半径为r=b 2 a ∵以AB为直径的圆与l存在公共点，∴|bc+0+bc| ❑ √b 2+c 2 ≤b 2 a ， 整理得b≥2c，即a 2−c 2≥4 c 2，a 2≥5c 2，则e 2= c 2 a 2 ≤1 5， ∵e∈(0,1)，∴0<e≤ ❑ √5 5 ． 故选A． 9.【答案】BD 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的几何性质，属于中档题． 根据双曲线的焦点三角形的内切圆与实轴的切点为双曲线的顶点，设A在第一象限，B在 第四象限，ΔA F1 F2与ΔB F1 F2内切圆的圆心分别为O1，O2，则O1，O2分别在∠A F2O 和∠B F2O的平分线上，合理运用性质则问题可解． 【解答】 解：对于A，∵倾斜角为60 ∘的直线l过双曲线C的右焦点F2，与双曲线C右支交于A ,B两 点 ∴b a <tan60°=❑ √3，于是e= c a=❑ √ 1+( b a) 2 < ❑ √1+(❑ √3) 2=2，∴A 错误； 根据双曲线的对称性，不妨设A在第一象限，B在第四象限， 对于B，设ΔA F1 F2与ΔB F1 F2内切圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则根据 双曲线的性质知：圆O1，圆O2与x轴的切点均为双曲线的右顶点A2，且∠O1 F2 A2=60°， ∠O2 F2 A2=30°， ∴ΔA F1 F2与ΔB F1 F2内切圆的半径之比r1 r2 =|A2 F2|tan 60° |A2 F2|tan30° =3，即r1:r2=3:1，∴B 正确； 下面先判断D， 对于D，由已知S△A F1F2：S△B F1F2=|A F2|：|B F2|=5:1，∴D 正确； 再看C，设ΔA F1 F2与ΔB F1 F2的周长分别为l1，l2，则由 S△A F1F2：S△B F1F2=|A F2|：|B F2|=5:1和r1:r2=3:1，知： l1·r1 l2·r2 =5 1，∴l1 l2 =5r2 r1 =5 3，∴C 错误． 故选BD． 10.【答案】A