重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一11月质量检测数学试题(0001)

重庆缙云教育联盟2021-2022 学年（上）11 月月度考试 高一数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上 均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 若命题“存在x∈R，使x 2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为() A. a>3或a<−1 B. a≥3或a≤−1 C. −1<a<3 D. −1≤a≤3 2. 下列五个命题： ①ln7<❑ √7 ln 2； 1 ②np>❑ √ p e (e>❑ √p>❑ √e)； ③2 ❑ √11<11 ❑ √2； ④3 π<π 3； ⑤3 e<e 3． 其中真命题的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下面选项正确的是() A. 存在实数x，使sin x+cos x=2 B. α，β是锐角△ABC的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件 C. 函数 是奇函数 D. 函数y=sin 2 x的图象向右平移 个单位，得到 的图象 4. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ,B，如图所示其中 n(Ω)=12，n( A )=6,n(B)=4 ,n( A ⋃B)=8，则事件A与 事件 B的对立事件( ) A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 5. 已知椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)与双曲线x 2 m 2 −y 2 n 2 =1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、 F2，P是它们的一个交点，且∠F1 P F2= π 3 ，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2， 则3e1 2+e2 2的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知正实数x，y满足2 x+ y −2 xy=0，2 x+ y的最小值为( )． A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 已知函数f ( x)=ln 1−x 1+x +2，则关于x的不等式f (2 x−1)+f (2 x)>4的解集为( ) A. (0, 1 4 ) B. ( 1 4 , 1 2 ) C. (−∞, 1 4 ) D. ( 1 4 ,+∞) 8. 已知函数f ( x)、g( x)的定义域为R，其中f ( x)的图象关于原点对称，g( x−1)的图 象关于直线x=1对称，若f ( x)−2g( x)=x 3+2 x 2+3 x−1，则f (3)+g(5)=( ) A. 23 B. 21 C. 23 2 D. 21 2 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿 基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R， 用[ x ]表示不超过x的最大整数，则y=[ x ]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4， [2.1]=2.已知函数f (x )= 2 x 1−2 x −1 2，则关于函数g (x )=[f (x )]的叙述中正确的是( ) A. g (x )是偶函数 B. f (x )是奇函数 C. f (x )在R上是增函数 D. g (x )的值域是{−1,0,1} 10. 已知函数f ( x)=sin(2 x−π 3 )，则下列结论中正确的有( )． A. f ( x)的图象的对称中心为( kπ 2 + π 6 ,0)(k ∈Z ) B. f ( x)的图象可由y=sin 2 x的图象向右平移π 3 个单位得到 C. f ( x)在x∈[−π 6 , π 3 ]上的值域为[− ❑ √3 2 , ❑ √3 2 ] D. 方程f ( x)=1在x∈[0,π]上的根为x=5 π 12 11. 记使得函数f ( x)=x 2−6 x+9在x∈[1,n]上的值域为[0,4]的实数n的取值范围为集合 A，过点(4,2)的幂函数g( x)在区间[m−1,m+13]上的值域为集合B，若A是B的必 要不充分条件，则整数m的取值可以为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性， 从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线， 将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并 擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)...记{an}为第n个图形的边长，记 {bn}为第n个图形的周长，Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( ) A. bn=3( 4 3) n−1 B. Sn=3 2 − 1 2⋅3 n C. 若bn，bm为{bn}中的不同两项，且bn⋅bm=b2⋅b4，则1 m + 1 n最小值是2 3 D. 若λ≤2Sn−1 Sn ≤μ恒成立，则μ−λ的最小值为4 3 三、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 在锐角△ABC中，cos A= 1 4 ，若点P为△ABC的外心，且AP ⃗ =x AB ⃗ + y AC ⃗，则 x+ y的最大值为 ． 14. 设f ( x)为定义在R上的奇函数，g( x)为定义在R上的偶函数，若f ( x)−g( x)=( 1 2 ) x ， 则f (1)+g(−2)=¿______． 15. 已知函数 ，若对任意x∈[−1,1]，均有 f ( x 2+tx)⩽[f ( x+1)] 2，则实数t的取值范围是_________． 16. 对于函数f ( x)={ sin x ,sin x ≤cos x , cos x ,sin x>cos x ,给出下列四个命题：① 该函数是以π为最小正周期的周期函数；② 当且仅当x=π+kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值−1；③ 该函数的图像关于x=5 π 4 +2kπ(k ∈Z )对称；④ 当且仅当2kπ<x< π 2 +2kπ(k ∈Z )时，0<f ( x)≤ ❑ √2 2 ． 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 四、解答题（本大题共6 小题，共72.0 分） 17. 已知集合A={x∨x 2−3 x+2≥0}，B={x∨m−2≤x ≤m}． (1)若A ∪B=R，求实数m的取值范围； (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围． 18. 已知函数f ( x)=2 x 2−2ax+1． (1)解关于x的不等式f ( x)>a+1−x； (2)若不等式f ( x)<0在x∈¿上有解，求实数a的取值范围． 19. 为净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒a(1≤a≤4)个单位的 净化剂，空气中该净化剂释放的浓度y(单位：毫克¿立方米)随着时间x(单位：小时) 变化的函数关系式近似为y=af ( x)，其中f ( x)={ 1+ x 8 ,0≤x ≤4 , 9 x+2 , x>4. 若多次喷洒，则某 一时刻空气中净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验 知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克¿立方米)时，它才能起到净化空气的作用． (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？ (2)若第一次喷洒4个单位的净化剂，6小时后再喷洒2个单位的净化剂，问能否使接下 来的4个小时内起到持续净化空气的作用？请说明理由． 20. 已知函数f ( x)=¿9 x+6∨+¿3−6 x∨¿ x+3 ¿． (1)求函数f ( x)的值域． (2)已知函数f ( x)的最小值等于m，正实数a，b，c满足a+b+c=m.证明： ❑ √a+2+❑ √b+2+❑ √c+2≤3 ❑ √3． 21. 函数g (x )=|ax −2a|+x|x −a|−2，方程g (x )=0有三个互不相等的实数根，从小到大 依次为x1，x2，x3． (1)当a=2时，求x1+x2 x3 的值； (2)若对于任意符合题意的正数a，x2 x3−λ x1<0恒成立，求实数λ的取值范围． 22. 已知函数f ( x)=(sin x 2 +cos x 2 +1)[ ❑ √2sin( x 2 + π 4)−1]． (1)常数ω>0，若函数y=f (ωx )在区间[−π 2 , 2π 3 ]上是增函数，求ω的取值范围； (2)若函数g( x)=f (2 x)+af ( x)−af ( π 2 −x)−a−1在[−π 4 , π 2]上的最大值为3，求 实数a的值． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查命题的否定，以及不等式恒成立和存在问题，属于基础题． 根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x 2+(a−1)x+1≥0，根据命题的否 定是真命题，得到判别式小于等于0，解不等式即可． 【解答】 解：∵命题“存在x∈R，使x 2+(a−1) x+1<0”的否定是“任意实数x，使 x 2+(a−1)x+1≥0”， ∵原命题为假命题， ∴命题的否定是真命题． ∴Δ=(a−1) 2−4≤0，整理得出a 2−2a−3≤0， ∴−1≤a≤3． 故选D． 2.【答案】C 【解析】略 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，必要条件，充分条件及充要条件的判断，函 数的奇偶性，函数图象的变换的应用， 依次判断各个选项，根据sin x+cos x的值域，可否定A；根据α+β> π 2 ，结合角的范围和 y=sin x的单调性可得sin α>sin( π 2 −β)=cos β，推得充分性，易于举反例否定必要性， 则B 正确；利用诱导公式化简函数解析式，利用偶函数定义可判断得到C 错误；根据三角 函数左右平移求得平移后的解析式，可知D 错误． 【解答】 解：A选项：sin x+cos x=❑ √2sin( x+ π 4 )，则sin x+cos x∈[−❑ √2,❑ √2] ∴不存在x，使得sin x+cos x=2，可知A不正确； B选项： 为锐角三角形，∴α+β> π 2 ，即α> π 2 −β， ∵β ∈(0, π 2 )，∴π 2 −β ∈(0, π 2 )，又α ∈(0, π 2 )，且y=sin x在(0, π 2)上单调递增 ∴sin α>sin( π 2 −β)=cos β；若α=2π 3 , β= π 4 ，满足sin α>cos β，但α，β不是锐角 △ABC的内角，可知B 正确； C选项：y=sin( 2 3 x−7 π 2 )=cos 2 x 3 ，则cos 2(−x) 3 =cos 2 x 3 ，则y=sin( 2 3 x−7 π 2 )为 偶函数，可知C 错误； D选项：y=sin 2 x向右平移π 4 个单位得y=sin2( x−π 4 )=sin(2 x−π 2 )=−cos2 x，可知 D 错误． 故选B． 4.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查事件A与事件B −的关系的判断，考查集合的交集、并集、韦恩图的性质等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题． 【解答】 解：∵一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示． 其中n(Ω)=12，n( A )=6，n(B)=4，n( A ∪B)=8， ∴A ∩B≠⌀，且A ∩B − ≠⌀， ∴事件A与事件B − 不是互斥事件； 由题意知P( A)=1 2，P(B)=1 3，P ( AB)=1 6 ， 故事件A与事件B相互独立，所以事件A与事件B也相互独立． 故选：B． 5.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定 理，基本不等式求最小值的问题，属于中档题． 由题意设焦距为2c，不妨令P 在第一象限，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义以及余弦定理，推出c 2=a 2+3m 2 4 ，由 此e1 2+e2 2=3 2 + 1 4 ( 9m 2 a 2 + a 2 m 2 )，根据基本不等式即可求得结果． 【解答】 解：设焦距为2c，由对称性，不妨令P在第一象限． 根据题意，可知|P F1|+|P F2|=2a,|P F1|−|P F2|=2m， 解得|P F1|=a+m,|P F2|=a−m， 根据余弦定理，可知： (2c) 2=(a+m) 2+(a−m) 2−2(a+m)(a−m)cos60 ∘， 整理得c 2=a 2+3m 2 4 ， 所以3e1 2+e2 2=3c 2 a 2 + c 2 m 2 ¿ 3a 2+9m 2 4 a 2 + a 2+3m 2 4 m 2 ¿ 3 2 + 1 4 ( 9m 2 a 2 + a 2 m 2 )⩾3 2 + 1 4 ×2❑ √ 9m 2 a 2 · a 2 m 2=3 ， 当且仅当a=❑ √3m时取等号． 故3e1 2+e2 2的最小值是3． 故选B． 6.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查基本不等式求解表达式的最小值，利用基本不等式将已知条件进行转化是解题的 关键，属于一般题． 化简方程为2 y + 1 x =2，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可． 【解答】 解：∵x>0，y>0， 由2 x+ y −2 xy=0得2 x+ y=2 xy， 即2 y + 1 x =2， 2 x+ y=1 2 (2 x+ y)( 2 y + 1 x )¿ 1 2 (4+ 4 x y + y x )≥1 2 (4+2❑ √ 4 x y ⋅y x )=4，当且仅当 2 x= y=2时取等号． 故选C． 7.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 根据题意，设g( x)=ln 1−x 1+x 分析函数g( x)的奇偶性以及单调性，据此可得 f (2 x−1)+f (2 x)>4 ⇒g(2 x−1)>g(−2 x)⇒{ 2 x−1<−2 x −1<2 x−1<1 −1<−2 x<1 ，解可得x的取值范围， 即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数f ( x)=ln 1−x 1+x +2，设g( x)=ln 1−x 1+x ，则有1−x 1+x >0，解可得 −1<x<1， 即函数的定义域为(−1,1)，关于原点对称， 又由g(−x)=ln 1+x 1−x =−ln 1−x 1+x =−g( x)，即函数g( x)为奇函数， 设t=1−x 1+x ，则y=lnt， t=1−x 1+x = 2 x+1 −1，在(−1,1)上为减函数，而y=lnt在(0,+∞)上为增函数， 故g( x)=ln 1−x 1+x 在区间(−1,1)上为减函数， f (2 x−1)+f (2 x)=g(2 x−1)+g(2 x)+4>4 ⇒g(2 x−1)>−g(2 x)⇒g(2 x−1)>g(−2 x)⇒{ 2 x−1<−2 −1<2 x−1 −1<−2 x< 解可得：0<x< 1 4 ，即不等式的解集为(0, 1 4)． 8.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性，对称性，属中档题， 由题意得到函数f ( x)为奇函数，函数g( x)为偶函数，利用奇函数，偶函数定义分别求得 解析式，即可求解， 【解答】 解：依题意，则函数f ( x)为奇函数，函数g( x)的图象关于y轴对称， 故函数g( x)为偶函数， 因为f ( x)−2 g( x)=x 3+2 x 2+3 x−1①， 则f (−x)−2 g(−x)=(−x) 3+2(−x) 2+3(−x)−1， 即−f ( x)−2g( x)=−x 3+2 x 2−3 x−1②， 联立①②， 解得f ( x)=x 3+3 x，g( x)=−x 2+ 1 2， 故f (3)+g(5)=27+9−25+ 1 2=23 2 ， 故选C． 9.【答案】BC 【解析】 【分析】 本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，考查函数的奇偶性和单调性以及值域， 属于中档题．由取整函数的定义，计算出g(1)≠g(−1)即可判断A；计算出 f (−x)+f ( x)=0即可判断B；由复合函数的单调性，即可判断f ( x)的单调性，从而判断 C；由取整函数的定义，结合0< 1 1+2 x <1，−1<− 1 1+2 x <0，即可得到g( x)的值域，从 而判断D． 【解答】 解：∵g (1)=[f (1)]=[ 2 1+2 −1 2]=0，g (−1)=[f (−1)]=[ 2 −1 1+2 −1 −1 2]=−1， ∴g (−1)≠g (1)，则g (x )不是偶函数，故A 错误； ∵f (x )= 2 x 1+2 x −1 2的定义域为R， f (−x )+f (x )= 2 −x 1+2 −x + 2 x 1+2 x −1= 2 x⋅2 −x 2 x (1+2 −x) + 2 x 1+2 x −1=1+2 x 1+2 x −1=0， ∴f (x )为奇函数，故B 正确； ∵f (x )= 2 x 1+2 x −1 2=1+2 x−1 1+2 x −1 2=1 2 − 1 1+2 x ， 又y=2 x在R上单调递增， ∴f (x )=1 2 − 1 1+2 x 在R上是增函数，故C 正确； ∵2 x>0，∴1+2 x>1，则0< 1 1+2 x <1，可得−1 2 < 1 2 − 1 1+2 x < 1 2， 即−1 2 <f (x )< 1 2． ∴g (x )=[f (x )]∈{−1,0}，故D 错误． 故选BC． 10.【答案】AD 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数的图象与性质，函数图象变换，三角函数的定义域与值域，属于中档 题． A.化简得f ( x)=sin(2 x−π 3 )，由2 x−π 3 =kπ，k ∈Z即可判断；B.利用函数的图象变换 即可判断;C .利用三角函数的定义域与值域即可判断; D .解方程sin(2 x−π 3 )=1， x∈[0,π]，即可． 【解答】 解：A：由