重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题(0001)

重庆缙云教育联盟2021-2022 学年（上）12 月月度考试 高一数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上 均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 已知 ， ，则 A. B. C. D. ， 2. 命题“ ， ”的否定为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若 ，则有 A. B. C. D. 4. 已知全集 ，集合是函数 的定义域，则 A. B. C. D. 5. 有以下结论： 将函数 的图象向右平移个单位得到 的图象； 函数 与 的图象关于直线 对称； 对于函数 且 ，一定有 ； 函数 的图象恒在轴上方． 其中正确结论的个数为 A. B. C. D. 6. 若一个三角形的两边长分别是和，第三边的边长是方程 的一个根， 则这个三角形的周长为 A. B. 或 C. D. 或 7. 如图给出了层的六边形，图中所有点的个数 为 ，按其 规律再画下去，可以得到层六边形，则 可以表示为 A. B. C. D. 8. 已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于的不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 下列四个命题，其中为假命题的是 A. 若函数 在 时是增函数， 也是增函数，则 是增函数 B. 若函数 的图象与轴没有交点，则 且 C. 的单调递增区间为 D. 和 表示同一个函数 10. 下列结论正确的是 A. 若直线 ： 与直线 ： 垂直，则 B. 若 ， ， ，则 C. 圆 ： 和圆 ： 公共弦长为 D. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 11. 已知函数 ， 记 ，则下列关于函数 的说法正确的是 A. 当 时， B. 函数 的最小值为 C. 函数 在 上单调递减 D. 若关于的方程 恰有两个不等的实数根，则 12. 对于函数 ，下列说法正确的是 A. 在 上单调递增，在 上单调递减 B. 若方程 有个不等的实根，则 C. 当 时， D. 设 ，若对 ， ，使得 成立，则 三、单空题（本大题共3 小题，共15.0 分） 13. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数取值范围是____ __． 14. 函数 的单调减区间为______． 15. 设直线的方程为 若直线在两坐标轴上的截距相等， 则直线的方程为 ；若 ，直线与、轴分别交于 、两点，为坐标原 点，则 的面积取最小值时，直线对应的方程为 ． 四、多空题（本大题共1 小题，共5.0 分） 16. 已知函数 的定义域为，值域为 ，则实数 ， ． 五、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 在 ； “ ”是“ ”的充分不必要条件； 这三个条件 中任选一个，补充到本题第 问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合 ， ． 当 时，求 ； ； 若______，求实数的取值范围． 18. 已知 且 ，求下列代数式的值． ； ； ． 19. 已知函数 是指数函数，且该函数的图象过点 ，设 是定义在上 的奇函数． 求函数 的解析式； 若集合 ，求实数的取值范围； 若对任意的 ，不等式 恒成立， 求实数的取值范围．其中 ． 20. 已知函数 ． 证明：函数 在 上是增函数； 求 在 上的值域． 21. 已知某产品关税与市场供应量的关系式允许近似地满足 其中为 关税的税率，且 为市场价格，，为常数，当 时的市场供应量曲线如 图． 根据图象求和的值； 若市场需求量为，它近似满足 ，当 时的市场价格称为平衡价 格，为使市场平衡价格控制在不低于元，求税率的最小值． 22. 已知函数 判断函数的奇偶性，并证明； 求该函数的值域； 判断 在上的单调性，并证明． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解： ， 或 ， 或 ， 故选：． 解不等式求出 ，进而结合集合交集，补集的定义，可得答案． 本题考查集合的交集，补集及其运算，属于基础题． 2.【答案】 【解析】 【分析】 利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 属于基础题． 【解答】 解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得， 命题“ ， ”的否定为： ， ． 故选：． 3.【答案】 【解析】解： ，且 ， 所以 ． 故选：． 把当作整体，配凑即可得解． 本题考查函数解析式的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.【答案】 【解析】解：由 ，得 ， ， 又全集 ， ． 故选：． 由开偶次方的代数式大于等于求得函数的定义域可得，再由补集运算得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查补集运算，是基础题． 5.【答案】 【解析】解：对于 ，将函数 的图象向右平移个单位得到 的图象，故选 项 错误； 对于 ，因为同底的指数函数与对数函数互为反函数，所以其图象关于直线 对称， 则函数 与 的图象关于直线 对称，故选项 正确； 当 时，如图所示， 对应的是曲线上横坐标为 的点的纵坐标， 是线段 的中点的纵坐标， 由图象可知， ， 同理，当 时，结论一样，故选项 正确； 对于 ， ， 则函数 ， 所以函数 的图象恒在轴上方，故选项 正确． 所以正确的个数为个． 故选：． 利用函数图象的平移变换，即可判断选项 ，利用反函数图象的特点，即可判断选项 ， 由函数图象的特征，即可判断选项 ，利用二次函数的性质以及对数函数的单调性，即可 判断选项 ． 本题以命题的真假判断为载体考查了函数性质的综合应用，涉及了函数图象的变换，函数 图象的综合应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 6.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及三角形三边关系 本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法可求出第三边，然后根据三角形三边关系即可求出答案． 【解答】 解： ， ， 或 ， 当 时， ， 、、不能组成三角形， 当 时， ， 、、能够组成三角形， 这个三角形的周长为 ， 故选： 7.【答案】 【解析】解：设每层上的点数为 ， 则 ， ， ， 是以为首项，为公差的等差数列， ． 故选：． 设每层上的点数为 ，推导出 是以 为首项， 为公差的等差数列，再由 ，能求出结果． 本题考查点的数量和的求法，考查等差数列、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题． 8.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，偶函数的性质，考查了转化思想，属中档题． 设 ，根据条件判断 的单调性和奇偶性，由 ，得到 ，然后得到不等式的解集． 【解答】 解：根据题意，设 ，其导数为 ， 当 时，有 ， ，函数 在 上为增函数， 又 为定义域为 的奇函数， 则 ， 函数 为奇函数， 在 上为增函数， ， ， 即即 ， 所以有 ， 即 ， 在 上为增函数， 即不等式的解集为 ． 故选A． 9.【答案】 【解析】 【分析】 可知选项为假命题；令 ， ，可知选项为假命题； 作函数 的图象，可知单调递增区间为 和 ，故C 选项是假命题； 与 的对应关系不同，故D 选项是假命题． 本题考查了函数的性质的判断及数形结合的思想方法的应用，解决本题的关键是熟悉基本 初等函数的性质． 【解答】 解：对于，如 在 时是增函数，在 时也是增函数，但不能说 为增 函数，故A 是假命题； 对于，当 ， 时，函数 与轴没有交点，此时不满足结论， 故B 是假命题； 对于，画出 的图象如图， 可知单调递增区间为 和 ，故C 是假命题； 对于， 与 的对应关系不同，故D 是假命题． 故答案为： ． 10.【答案】 【解析】解：对于 ，若直线 ： 与直线 ： 垂直，则 ，即 ， 解得 或 ，故A 错误； 对于， ； 为减函数， ， 又 为 上的增函数， ， ，故B 正确； 对于，圆 ： 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为， 和圆 ： 的圆心为 ，半径为， ，故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦方程为： ， 到此直线的距离 ， 故公共弦长 ，故C 正确； 对于，线性相关系数 越趋近于，两个变量的线性相关性越强，故D 错误， 综上所述，BC 正确，AD 错误， 故选： ． 对于，利用两直线垂直的条件可得 ，解之可判断的正误； 对于，利用对数函数、幂函数、指数函数的单调性可判断的正误； 对于，利用两圆的位置关系，确定两圆相交后，再利用弦长公式可求得两圆的公共弦长， 可判断的正误； 对于，变量间的相关关系，可判断的正误． 本题考查命题的真假判断与应用，考查对数大小的比较、变量间的相关关系、直线与圆位 置关系等知识，考查数学系运算能力，属于中档题． 11.【答案】 【解析】 【分析】由题意画出函数 的图象，由图象逐一分析四个选项得答案． 本题考查函数的单调性与最值，考查数形结合思想，正确作出函数的图象是关键，是中档 题． 【解答】 解：作出 的图象如图： 由图可知，当 时， ，故A 正确； 函数 的最小值为 ，故B 正确； 函数 在 上单调递增，故C 错误； 若关于的方程 恰有两个不等的实数根，则 或 ，故D 错误． 故选： ． 12.【答案】 【解析】解：函数 ， ． ， 可得函数 在 上单调递减，在 上单调解， 在 上单调递增． A.由上述可得不正确． B.方程 有个不等的实根，则 ，且 时， 有个不等的实根，则 ，因此正确． C.由函数 在 单调递减，可得函数 在 单调递增，因此当 时， ，即 ，因此不正确； D.设函数 的值域为，函数 的值域为． ，对 ， ， ． ，若对 ， ，使得 成立， 则 因此正确． 故选： ． 函数 ， ，利用导数研究函数的单调性极值，画 出图象． A.由上述即可判断出正误；． B.方程 有个不等的实根，则 ，且 时， 有个不等的实根，由 图象即可判断出正误；． C.由函数 在 单调递减，可得函数 在 单调递增，因即可判 断出正误； D. 设函数 的值域为 ，函数 的值域为 若对 ， ，使得 成立，可得 分别得出，，即可判断出正误． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推 理能力与计算能力，属于难题． 13.【答案】 【解析】解：函数 的对称轴是 ， 若函数 在区间 上单调递增， 则 ，解得： ， 故答案为： 求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求出的范围即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是基础题． 14.【答案】 【解析】解：要使函数有意义，则 ， 解得 ， 令 ， 则当 时，函数 单调递增， 当 时， 单调递减， 因为 在定义域内为单调递减函数， 根据复合函数的单调性之间的关系可知， 所以当 时， 为单调递减函数， 即 的递减区间为 ， 故答案为： 先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数 的单调递减区间． 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法，对应复合函数的单调性，一要注 意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行 判断，判断的依据是“同增异减”． 15.【答案】 或 【解析】 【分析】 本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，基本不等式的应用，属于中档题． 由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，分类讨论求得直线的方程；由题意利用直线在 坐标轴上的截距的定义，利用基本不等式求最值，可得的值，即可得此时直线对应的方 程． 【解答】 解：直线的方程为 在两坐标轴上的截距相等， ， 或 ， 或 ， 则直线的方程为 ，或 ． ，直线与、轴分别交于 、两点， 为坐标原点， 则 的面积为 ， 当且仅当 时，取等号， 的面积取最小值， 此时，直线对应的方程为 ． 故答案为： ，或 ； ． 16.【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的定义域为，值域的范围，整理成一元二次方程，利用判别式法进行转化求解 即可． 本题主要考查函数值域的应用，结合条件利用判别式法是解决本题的关键． 【解答】 解：函数的定义域为， ， 得 ， 当 时， ，有解， 当 时，判别式 ， 即 ， 即不等式的 解集为 ， 则 ，且 ， ， 得 ， ，即 ， 故答案为： ， 17.【答案】解： 当 时，集合 ， ， 或 ， 所以 ； ． 若选择 ， ，则 ， 当 时， 解得 ， 当 ，又 ， ， 所以 ，解得 ， 所以实数的取值范围是 ， ． 若选择 ， 是 的充分不必要条件，则 ， 当 时， 解得 ， 当 ，又 ， ， 则 或 ，解得 ， 所以实数的取值范围是 ， ． 若选择 ， ， 当 时， 解得 ， 当 ，又 ， 则 ，解得 ， 所以实数的取值范围是 ． 【解析】 根据集合的基本运算即可求解． 根据题意，建立条件关系即可求出实数的取值范围． 本题主要考查集合的基本运算，充分必要条件的应用，属于中档题． 18.【答案】解： ，且 ， ． ． ． 【解析】 由已知条件利用平方差公式能求出 的值． 由 ，利用已知条件能求出结果． 由 ，利用已知条件能求出结果． 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的 性质和运算法则的合理运用． 19.【答案】解： 设 且 ， 因为函数 的图象过点 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 则 ， 因为 为奇函数，且定义域为， 则 ，即 ，解得 ， 所以 ， 经检验， 为奇函数， 故 ； 因为集合 ， 所以关于的方程 有解， 令 ， 则 等价于 ， 解得 ， 所以 ，解得 ， 故实数的取值范围为 ； 因为 ， 则不等式 ， 即 ， 因为 为奇函数， 则不等式等价于 ， 因为 ， 所以函数 在上单调递减， 则问题等价于对任意的 ，不等式 恒成立， 即不等式 对任意的 恒成立， 因为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，解得 ， 综上所述，实数的取值范围为 ． 【解析】 利用待定系数法求出 的解析式，再利用奇函数的性质 ，求出 的值，再检验，即可得到答案； 将问题转化为关于的方程 有解，利用换元法可得， ，求解即可得 到答案； 利用奇函数的定义，将不等式变形为 ，再利用 的单 调性去掉“ ”，则问题转化为不等式 对任意的 恒成立，利用基本 不等式求解最值，即可得到答案． 本题考查了函数解析式的求解，奇函数定义的理解与应用，函数与方程的理解于应用，函 数恒成立问题，解题的关键是利用单调性去掉“ ”，要掌握不等式恒成立问题的一般求解 方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题． 20.【答案】 证明：设 ， 为 上的任意两个实数，且 ， 则 ， ， ， ， 则 ， 即 ， 函数 在 上是增函数； 解：函数 在 上是增函数， 在 上为增函数， 则 ， ． 在 上的值域为 【解析】 直接利用函数单调性的定义证明； 由 可知 在 上为增函数，则 在 上的值域可求． 本题考查利用定义法证明函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，是中档题． 21.【答案】解： 由图可知 时，有 ， 解得 ， ． 当 时，得 ， 解得 ． 令 ， ， ， 在 中，对称轴为直线 ， ，且图象开口向下， 时，取得最小值 ，此时 【解析】 能根据图象知 时，有 ，即可求出、的值； 能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值． 此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定 义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位． 22.【答案】解： 函数 的定义域为， ， 为奇函数． ， 设 ，则 ， ， 该函数的值域为 ， 设 ， ， 则 ， 若 ，则 ， ， ， ． ，即 ， 在上是增函数． 若 ，则同理可证明 在上是减函数． 【解析】 函数 的定义域为，计算 ，与 的关系，即可判断出奇偶性； 由 ，设 ，则 ， ，利用函数的单调性即可得出值域． 设 ， ，通过作差、分类讨论即可得出． 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．