重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

绝密★启用前 重庆缙云教育联盟2021-2022 学年（上）年度考试 高二数学 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上 均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 若抛物线 的焦点与椭圆 的下焦点重合，则的值为 A. B. C. D. 2. 已知空间向量 ， ，则 ， A. B. C. D. 3. 直线 的倾斜角是 A. B. C. D. 4. 方程 表示的曲线为 A. 抛物线与一条直线 B. 上半抛物线除去顶点与一条射线 C. 抛物线与一条射线 D. 上半抛物线除去顶点与一条直线 5. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为 A. B. C. D. 6. 已如双曲线： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 点是的右支上一点，且 ， ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 7. 已知直线： 与轴，轴分别交于，两点，且直线 与圆： 相切，则 的面积的最小值为 A. B. C. D. 8. 古希腊数学家欧几里得在 几何原本 中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线 的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明经过了 年，到了世纪，希 腊数学家帕普斯在他的著作 数学汇篇 中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定 义，并对这一定义进行了证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线； 当 时，轨迹为双曲线现有方程 表示的曲线 是双曲线，则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 下列说法正确的是 A. 若直线垂直于轴，则该直线的一个方向向量为 ，一个法向量为 B. 若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为 C. 若直线的法向量为 ，则 能作为该直线的一个方向向量 D. 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 10. 在数列 中，对任意 ，都有 为常数，则称 为“等差比数 列” 下面对“等差比数列”的判断正确的是 A. 不可能为 B. 等差数列一定是等差比数列 C. 等比数列一定是等差比数列 D. 通项公式为 的数列一定是等差比数列 11. 若直线： 与圆： 相切，则直线与圆： 的位置关系可以是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 12. 如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ公共的左顶点与左焦点，且椭圆Ⅱ的 右顶点为椭圆Ⅰ的中心，设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 ， ， 则下列结论正确的是 A. B. C. D. 三、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 直线 与直线 平行，则 的值是______． 14. 与圆： 外切于原点，且被轴截得的弦长为的圆的标准方程 为______． 15. 若， ， ， ，与， ， ， ， ， ，均为等差数列，则 ______． 16. 如图，在三棱锥 中， ，二面角 的余弦 值为 ，若三棱锥 的体积为，则三棱锥 外接球的表面积为______． 四、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分） 17. 已知 为等差数列，前项和为 ，数列 是首项为的等比数列， ， ， 求 和 的通项公式； 求数列 的前项和． 18. 已知圆过点 ， ，它与轴的交点为 ， ，与轴的交点为 ， ，且 ． 求圆的标准方程； 若 ，直线： ，从点 发出的一条光线经直线反射后与圆 有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围． 19. 如图，在正方体 中，分别为 ， 的中点． 求证：平面 平面 ； 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 20. 已知数列 满足 ， ，______， ． 从 ， ，这两个条件中任选一个填在横线上，并 完成下面问题． 写出 ， ，并求数列 的通项公式； 求数列 的前项和 ． 21. 设椭圆 的左顶点为，右顶点为 已知椭圆的离心率为 ， 且以线段 为直径的圆被直线 所截得的弦长为 ． 求椭圆的标准方程； 设过点的直线与椭圆交于点 ，且点 在第一象限，点 关于轴对称点为点， 直线 与直线交于点，若直线 的斜率大于 ，求直线的斜率的取值范围． 答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，属于基础题． 利用椭圆和抛物线的简单性质直接求解． 【解答】 解：椭圆 的下焦点坐标分别为 ， 抛物线 的焦点与椭圆 的下焦点重合， ， ． 故选：． 2.【答案】 【解析】解：空间向量 ， ， ，则 ， ． 故选：． 利用空间向量的夹角公式直接求解即可． 本题考查两向量夹角的求法，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】 【解析】解：直线 的斜率 ， 直线 的倾斜角为． 故选：． 直线 的斜率 ，由此能求出直线 的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线方程、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】 【解析】解：由 ，可知 ， 得 或 ． 即 为上半抛物线除去顶点， 为一条直线． 方程 表示的曲线为上半抛物线除去顶点与一条直线． 故选：． 在满足对数式有意义的前提下化简方程．从而得到方程 表示的曲线． 本题考查了曲线与方程，关键是对含对数式方程的化简，是中档题． 5.【答案】 【解析】解：根据题意，画出图象，如图所示， 中元素的个数为圆 与直线 的交点个数， 由图象可得，交点个数为个． 故选：． 根据已知条件，画出图象，结合图象，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题． 6.【答案】 【解析】解：由题意双曲线的图形如图， 连接 与轴交于点 ， 设 ， ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，则 ， 因为点是的右支上一点，所以 ，所以 ，则 ， 因为 ，所以 ， ， 由勾股定理可得： ，即 ， 解得 ，则 ， 所以双曲线的方程为： 故选：． 画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用 ，解得，即可得到双曲线的 方程． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，是中 档题． 7.【答案】 【解析】解：圆： ， 圆心坐标为 ，半径 ， 直线： 与圆： 相切， 圆心到直线的距离为，即 ，即 ， 又 ，当且仅当 时，等号成立， ，即 ， ，又 ， ， ，解得 ， 的面积 ， 故 的面积的最小值为． 故选：． 根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解． 本题主要考查点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，属于基础题． 8.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查圆锥曲线的统一定义的理解和运用，考查运算能力，属于拔高题． 将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一 定义，可得 的不等式，可得所求范围． 【解答】 解：方程 ， ， 即为 ， 可得 ， 则 ， 可得动点 到定点 和定直线 的距离的比为常数 ， 由双曲线的定义，可得 ， 解得 ， 故选：． 9.【答案】 【解析】解：对于，若直线垂直于轴，则由直线的方向向量和法向量的定义得： 法该直线的一个方向向量为 ，一个法向量为 ，故A 正确； 对于，若直线的一个方向向量为 ，当 时，该直线的斜率不存在， 当 时，该直线的斜率为 ，故B 错误； 对于，若直线的法向量为 ， 则由直线的方向向量和法向量的定义得： 能作为该直线的一个方向向量，故 C 正确； 对于，由直线的方向向量和法向量的定义得： 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的，故D 正确． 故选： ． 直线的方向向量和法向量的定义和直线的斜率直接求解． 本题考查命题真假的判断，考查直线的方向向量和法向量的定义等基础知识，是基础题． 10.【答案】 【解析】解：对于，若 ，则分母必为，故 ，故A 正确； 当等差数列为常数列时不满足题设的条件，故B 不正确； 当等比数列为常数列时，不满足题设，故C 不正确； 对于 ，把 代入 结果为，为常数，故D 正确； 故选： ． 当 时，则数列成了常数列，则分母也为，进而推断出不可能为，判断 当等差数 列和等比数列为常数列时不满足题设的条件，排除 ；把通项公式代入题设中，满足条 件，进而推断； 本题主要考查了数列的递推式，考查新定义理解与应用，考查了学生综合分析问题的能力， 是中档题． 11.【答案】 【解析】解：圆的圆心坐标为 ，半径为 ， 直线： 与圆： 相切， ，得 ， 由圆方程可得 ， ，且圆心 到直线的距离 ， 当 时， ，此时圆与直线相交； 当 时， ，即 ，此时圆与直线相切． 直线与圆： 是相交或相切． 故选： ． 利用直线： 与圆： 相切，求出，再由圆的圆心到直 线的距离与半径的关系判断． 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 12.【答案】 【解析】解：由题图知， ， ， 所以 ，所以选项A 正确； 由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 所以 ，所以B 正确； 由 正确，所以 错误，即选项C 错误； 由图知， ； 所以 ； ； 所以 ，所以选项D 正确． 故选： ． 根据题意和图形可得到 ， ，再根据不等式的性质可得到 ，从 而得出正确的选项． 本题主要考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档 题． 13.【答案】 【解析】解：直线 与直线 平行， ， 解得 ， 经过验证 时两条直线重合， ， 故答案为： ． 由直线 与直线 平行，可得 ，解 方程即可得出 ． 本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】 【解析】解：设所求圆的圆心 ，半径为， 因为圆 可化为 ，即圆心 ，半径为 ， 所以 ， 又由题意得， ， 因为圆被轴截得的弦长为， 所以 ， 联立得， ， ， ， 所以所求圆的方程为 ． 故答案为： ． 先设出所求圆的圆心及半径，然后结合直线与圆相交及圆与圆相切的性质可求． 本题主要考查了圆的方程的求解，还考查了直线与圆相交及圆与圆相切的性质的应用，属 于中档题． 15.【答案】 【解析】解：设等差数列， ， ， ，的公差为 ，等差数列， ， ， ， ， ， 的公差为， 则有 ，且 ， ，则 ， 故答案为：． 由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的定义和通项公式，属于基础题． 16.【答案】 【解析】解：取 的中点，连接 ， ，过点作 ，垂足为， 所以 为二面角 的平面角， 设 ，则 ， ， 所以 ， 所以 ， 因为三棱锥 的体积为， 所以 ，解得 ， 设 外接圆的圆心为 ，三棱锥 外接球的球心为，连接 ， ， ， 则 ， ， 所以三棱锥 外接球的半径满足 ， 则三棱锥 的外接球的表面积为 ． 故答案为： ． 取 的中点，连接 ， ，过点作 ，垂足为，设 ，利用三角形的 边角关系求出 ，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接 球的半径，由表面积公式求解即可． 本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接 球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可 以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题． 17.【答案】解： 设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为， 由已知 ，得 ，而 ，则 ，解得 ． ； 由 ，得 ， 由 ，得 ， 联立以上两式解得 ，则 ． 和 的通项公式分别为 ， ； 设数列 的前项和为 ， 由 ，得 ， ， ， 则 ． 【解析】 设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为，由 ， 列式求解，可得 ；再由 ， ，联立求解 和，可得 ； 和 的通项公式分别为 ， ； 设数列 的前项和为 ，由 可得 ，再由错位相减法求数列 的前项和． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前项和，考 查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解： 根据题意，设所求圆的方程为 ， 令 ，有 ，若该圆与轴的交点为 ， ， 则有 ， 令 ，有 ，若该圆与轴的交点为 ， ， 则有 ， 又由 ，则 ， 又由该圆经过点 ， ， 则有 ， 和 ， 联立 可得： ， ， ， 则要求圆的方程为 ． 即圆： 为所求； 因为 关于： 的对称点 ， ， ，解得 ， 反射光线所在直线过点 ， 设反射光线所在直线方程为： ； 所以 ，整理可得： ，解得 ， 所以反射光线所在的直线斜率取值范围为 ． 【解析】本题考查圆的一般方程的计算，直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于较 难题． 根据题意，设所求圆的方程为 ，令 和 ，可得 和 ，进而可得 ，将点、的坐标代入圆的方程可得 和 ，联立三个式子求出、、的值，即可得 答案． 求得 关于： 的对称点 ，设出反射光线所在直线方程，利用距 离公式列式计算即可． 19.【答案】 证明：在正方体 中， 且 ， 且 ， 且 ，四边形 为平行四边形，则 ， 不在平面 内， 平面 ， 平面 ； 同理可证得 平面 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 E. 解：以点为坐标原点， ， ， 所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间 直角坐标系 ， 设正方体 的棱长为． 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ． 则 ， 令 ，则 ， ，则 ． 平面 ， 是平面 的一个法向量． 设平面 与平面 夹角为． ， 因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为． 【解析】 由题意首先证得线面平行，然后证得面面平行即可； 建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，然后计算二面角的余弦值即可． 本题主要考查面面平行的证明，空间向量的应用，二面角余弦值的计算等知识，属于中等 题． 20.【答案】解： 若选 ， 数列 满足 ， ， ， ， 是首项为，公比为的等比数列， ， ， ． 若选 ， 数列 满足 ， ， ， ， ． ， ， ， 当为偶数时， ． 当为奇数时， ． 数列 的前项和 ． 【解析】 若选 ，推导出 ，再由 ，得到 是首项为，公比为的等比数列，从而 ，由此能求 出 ， ． 若选 ，推导出 ，由此能求出 ， ． ， ，从而 ， 当为偶数时， ；当 为奇数时， 由此能求出数列 的前项和 ． 本题考查数列的通项公式、数列的前项和公式的求法，考查构造法、等差数列、等比数 列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】解： 以线段 为直径的圆的圆心为 ，半径为，圆心到直线 的距离 ， 圆被直线 所截得的弦长为 ，解得 ， 又椭圆的离心率为 ，所以 ， 所以椭圆的方程为 ． 设 ，其中 ， ，则 ， 所以直线的斜率 ， ， 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 联立 ，得 ，所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 令 ， ，则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 【解析】 由离心率和线段 为直径的圆被直线 所截的弦长及，，之 间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程； 设 ，其中 ， ，则 ，求出直线的斜率， 的 斜率，由点斜式方程求得直线 ， 的方程，联立可求得点的坐标，从而可求得 的 斜率，结合题意求出 的取值范围，从而将斜率转化为关于 的函数，利用换元法即可 求得的取值范围． 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于 难题．