重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一9月月考数学试题

绝密★启用前 重庆市缙云教育联盟高一年级9 月月考 数学试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题 卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写 在试卷上均无效，不予记分。 第I 卷（选择题） 一、选择题 1. 已知函数f ( x)=cos(2 x+φ)(φ∈R)，若f ( π 3 −x)=f ( x)且f (π )>f ( π 2 )，则函 数f ( x)取得最大值时x 的可能值为() A. 2π 3 B. π 6 C. π 3 D. π 2 2. 已知函数y=3 sinωx在区间[−π 3 , π 4 ]上的最小值为−3，则ω的取值范围是() A. (−∞,−9 2 )∪¿，+∞) B. (−∞,−9 2 )∪¿，+∞) C. (−∞,−2¿∪¿ D. (−∞,−2¿∪¿ 3. 直线ax+by+c=0与圆O：x 2+ y 2=4相交于M，N 两点，若c 2=a 2+b 2，P 为圆 O 上任意一点，则PM ⃗ ⋅PN ⃗的取值范围为() A. [−2,6] B. [−2,4] C. [1,4] D. [−1,4] 4. 已知平面向量a ⃗，b ⃗，满足¿a ⃗ ∨¿1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，记b ⃗与a ⃗ +b ⃗夹角为θ，则cosθ的最小 值是() A. 1 3 B. ❑ √2 4 C. ❑ √2 2 D. 2❑ √2 3 5. 已知¿a ⃗ ∨¿∨b ⃗ ∨¿4且a ⃗ ⊥b ⃗，若向量c ⃗满足¿ c ⃗ −a ⃗ ∨¿2，则当向量b ⃗、c ⃗的夹角取 最小值时，b ⃗ ⋅c ⃗ =() A. 4 ❑ √2 B. 8 C. 4 ❑ √3 D. 8 ❑ √3 6. 已知函数f ( x)=2sin(ωx+ π 3 )(ω>0)，若使得f ( x)在区间[−π 3 ,φ]上为增函数 的整数ω有且仅有一个，则实数φ的取值范围是() A. [ π 6 , π 3 ] B. ( π 6 , π 3 ¿ C. [ π 12 , π 6 ] D. ( π 12 , π 6 ¿ 7. 平面上的两个向量OA ⃗和OB ⃗， |OA ⃗|=cosα ,|OB ⃗|=sin α ,α ∈[0, π 2],OA ⃗ ⋅OB ⃗ =0若向量 OC ⃗ =λOA ⃗ +μOB ⃗ ( λ , μ∈R )，且(2 λ−1) 2cos 2α+(2 μ−1) 2sin 2α= 1 4 ，则|OC ⃗| 的最大值为( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 5 D. 3 7 8. 已知函数f ( x)在定义域R 上的导函数为f ′( x)，若函数y=f ′( x)没有零点，且 f [f ( x)−2019 x]=2019，当g( x)=sin x−cos x−kx在[−π 2 , π 2 ]上与f ( x)在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是( ) A. (−∞,−1¿ B. (−∞,2¿ C. [−1,❑ √2] D. ¿ 二、不定项选择题 9. 把函数y=sin 2 x的图象沿x 轴向左平移π 6 个单位，纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐 标不变)后得到函数y=f (x )的图象，对于函数y=f (x )有以下四个判断，其中正确 的是 A. 该函数的解析式为y=2sin(2 x+ π 6) B. 该函数图象关于点( π 3 ,0)对称 C. 该函数在[0, π 6 ]上是增函数 D. 函数y=f (x )+a在[0, π 2 ]上的最小值为❑ √3，则a=2❑ √3 10. 下列说法中错误的为( ) A. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗与a ⃗ +λ b ⃗的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 是(−5 3 ,+∞) B. 向量e1 ⃗ =(2,−3),e2 ⃗ =( 1 2 ,−3 4 )不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若a ⃗ /¿b ⃗，则a ⃗在b ⃗方向上的投影为|a ⃗| D. 非零向量a ⃗和b ⃗满足|a ⃗|=|b ⃗|=|a ⃗ −b ⃗|，则a ⃗与a ⃗ +b ⃗的夹角为60 0 11. 已知函数f ( x)=(sinx+cos x)∨sin x−cosx∨¿，下列说法正确的是( ) [ZXXK] A. f ( x)是周期函数 B. 若¿ f ( x1)∨+¿ f ( x2)∨¿2，则x1+x2=kπ 2 (k ∈Z ) C. f ( x)在区间[ −π 2 , π 2]上是增函数 D. 函数g( x)=f ( x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1 个零点 12. 在平面直角坐标系xOy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴 重合．已知点P( x , y)是角θ终边上一点，¿OP∨¿r(r>0)，定义f (θ)= x−y r . 对于下列说法：其中正确的是() A. 函数f (θ)的值域是[−❑ √2,❑ √2]； B. 函数f (θ)的图象关于直线θ=3 π 4 对称； C. 函数f (θ)是周期函数，其最小正周期为2π； D. 函数f (θ)的单调递减区间是[2kπ −3 π 4 ,2kπ+ π 4 ]，k ∈Z． 第II 卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知f ( x)=4 sinx+3cosx，f ( x)向右平移α(0<α<π )个单位后为奇函数，则 tanα=¿______，若方程f ( x)−m=0在[α ,π]上恰有两个不等的根，则m 的取值 范围是______． 14. 在△ABC中，已知AB=9，BC=7，cos(C −A )=19 21，则△ABC的面积为___ ___． 15. 已知平面向量a ⃗，b ⃗，c ⃗，d ⃗满足¿a ⃗ ∨¿∨b ⃗ ∨¿∨c ⃗ ∨¿1，a ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =1−a ⃗ ⋅b ⃗ a ⃗ ⋅d ⃗ >0， c ⃗ ⋅d ⃗ =0，若平面向量s ⃗ =x a ⃗ + y b ⃗ ( x , y>0且xy=1)，则¿ s ⃗ +2c ⃗ ∨+¿ s ⃗ −d ⃗ ∨¿的 最小值是______． 16. 半径为R 的圆外接于△ABC，且2 R(sin 2 A −sin 2C )=(❑ √3a−b)sinB，若 R=2，则△ABC面积的最大值为________． 四、解答题 17. 如图所示，海平面上有3 个岛屿A，B，C，它们位 于海平面α上，已知B 在A 的正东方向，C 在A 的 北偏西15°的方向，C 在B 的北偏西60°方向上， 某一天上午8 时，甲，乙两人同时从A 岛屿乘两个 汽艇出发分别前往B，C 两个岛屿执行任务，他们 在上午的10 时分别同时到达B，C 岛屿．现在已知甲乙都是匀速前进的，且乙的 前进速度为3 海里¿小时． (1)求A、B 两个岛屿之间的距离； (2)当天下午2 时甲从B 岛屿乘汽艇出发前往C 岛屿执行任务，且速度为 (❑ √6+❑ √2)海里¿小时，1 个小时后乙立即从C 岛屿乘汽艇以原速度返回A 岛屿， 求乙前进多少小时后，甲乙两个人之间的距离最近？ 注意：sin75°= ❑ √6+❑ √2 4 ． 18. 已知向量a ⃗ =(sin(ωx),cos(ωx))，b ⃗ =(cos(ωx),−❑ √3cos(ωx))且函数 f ( x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 的两条对称轴之间的最小距离为π 2 ． (Ⅰ)若方程f ( x)−m=0恰好在x∈[ π 3 , 7 π 6 ]有两个不同实根x1，x2，求实数m 的 取值范围及x1+x2的值． (Ⅱ)设函数g( x)=ax+b，且 { y∨y=g( x), x∈[1,2]}={ y∨y=f ( x), x∈[ π 2 , 5 π 6 ]}，求实数a，b 的值． 19. 已知函数f ( x)=2cosxcos( x−π 6 )−❑ √3sin 2 x+sinxcosx． (Ⅰ)求f ( x)的最小正周期和单调递增区间； (Ⅱ)将函数y=f ( x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，再 将得到的图象向左平移π 4 个单位长度，得到函数y=g( x)的图象，若关于x 的方 程¿在[−3 π 4 , π 4 ]上恰有2 个根，求a 的取值范围． 20. 已知向量a ⃗ =(sin (ωx ),cos (ωx ))，b ⃗ =(cos (ωx ),−❑ √3cos (ωx ))且函数f (x )=a ⃗ ⋅b ⃗ 的两条对称轴之间的最小距离为π 2 ． (Ⅰ)若方程f (x )−m=0恰好在x∈[ π 3 , 7 π 6 ]有两个不同实根x1，x2，求实数m 的取 值范围． (Ⅱ)设函数g (x )=ax+❑ √3，且 { y|y=g (x ), x∈[1,2] }={y|y=f (x ), x∈[ π 2 , 5 π 6 ]}，求实数a 的值． 21. 已知向量a ⃗ =(sin(ωx),cos(ωx)),b ⃗ =(cos(ωx),−❑ √3cos(ωx))且函数 f ( x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 的两条对称轴之间的最小距离为π 2 ． (Ⅰ)若方程f (x )−m=0恰好在x∈[ π 3 , 7 π 6 ]有两个不同实根x1, x2，求实数m 的取 值范围及x1+x2的值． (Ⅱ)设函数g (x )=ax+b，且 { y∨y=g( x), x∈[1,2]}={y∨y=f ( x), x∈[ π 2 , 5 π 6 ]}，求实数a，b 的值． 22. 已知向量¿❑¿→❑=(cos 3 x 2 ,sin 3 x 2 ),¿❑¿→❑=(cos x 2 ,−sin x 2)，函数 f ( x)=¿❑¿→❑⋅¿❑¿→❑−m|¿❑¿→❑+¿❑¿→❑|+1， ． (1)当m=0时，求f ( π 6)的值； (2)若f ( x)的最小值为−1，求实数m 的值； (3)是否存在实数m，使函数g( x)=f ( x)+ 24 49 m 2, x∈[−π 3 , π 4]有四个不同的零 点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由f ( π 3 −x)=f ( x)可知函数的对称轴为x= π 6 ，所以由题意可得 2⋅π 6 +φ=kπ，k ∈Z，解得φ=−π 3 +kπ，k ∈Z， 又因为f (π )>f ( π 2 )，所以cos(2π+φ)>cos(π+φ)，即cosφ>−cosφ，可得cosφ>0， 所以可得φ=−π 3 +2kπ，k ∈Z， 所以f ( x)=cos(2 x−π 3 +2kπ )=cos(2 x−π 3 )， 所以f ( x)取到最大值时，则2 x−π 3 =2kπ，k ∈Z，即x= π 6 +kπ，k ∈Z， 当k 取适当的整数时，只有x= π 6 适合， 故选：B． 由f ( π 3 −x)=f ( x)可知函数的对称轴为x= π 6 ，进而求出φ的取值集合，再由 f (π )>f ( π 2 )，可得φ的取值集合，代入函数f ( x)中可得f ( x)=cos(2 x−π 3 )，进而 求出函数取到最大值时x 的集合，k 取适当的整数可得x 的取值选项． 本题考查函数的对称性及函数的最值的求法，属于中档题． 2.【答案】D 【解析】解：当ω>0时，要使函数y=3 sinωx在区间[−π 3 , π 4 ]上的最小值为−3，则 −π 3 ω≤−π 2 +2kπ ≤π 4 ω，k ∈Z，即{ ω≥3 2 −6k ω≥−2+8k ，k ∈Z，则可得ω≥3 2； 当ω<0，则π 4 ω≤−π 2 +2kπ ≤−π 3 ω，k ∈Z，{ ω≤−2+8k ω≤3 2 −6k ，k ∈Z，则可得 ω≤−2， 故选：D． 分ω的正负讨论，要使函数y=3 sinωx在区间[−π 3 , π 4 ]上的最小值为−3可知， −π 2 +2kπ ∈[−π 3 ω, π 4 ω]或−π 2 +2kπ ∈[ π 4 ω,−π 3 ω]，分别求出ω的范围即可． 本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题． 3.【答案】A 【解析】解：取MN 的中点A，连接OA、OP，则 OA ⊥MN， ∵c 2=a 2+b 2，∴点O 到直线MN 的距离 OA=¿c∨ ¿ ❑ √a 2+b 2=1¿， 在Rt △AON中，cos∠AON= OA ON =1 2， ∴cos∠MON=2co s 2∠AON −1=2×( 1 2 ) 2−1=−1 2， ∴OM ⃗ ⋅ON ⃗ =¿OM ⃗ ∨⋅∨ON ⃗ ∨cos∠MON=2×2×(−1 2 )=−2， ∴PM ⃗ ⋅PN ⃗ =(OM ⃗ −OP ⃗ )⋅(ON ⃗ −OP ⃗ )=OM ⃗ ⋅ON ⃗ +OP ⃗ 2−OP ⃗ ⋅(OM ⃗ +ON ⃗ ) ¿−2+4−2OP ⃗ ⋅OA ⃗ =2−2∨OP ⃗ ∨⋅∨OA ⃗ ∨cos∠AOP=2−4 cos∠AOP， 当OP ⃗，OA ⃗同向时，取得最小值，为2−4=−2； 当OP ⃗，OA ⃗反向时，取得最大值，为2+4=6． ∴PM ⃗ ⋅PN ⃗的取值范围为[−2,6]． 故选：A． 取MN 的中点A，连接OA、OP，由点到直线的距离公式可得OA=1，于是推出 cos∠AON=1 2，cos∠MON=−1 2，而 OM ⃗ ⋅ON ⃗ =¿OM ⃗ ∨⋅∨ON ⃗ ∨cos∠MON=−2 ，故 PM ⃗ ⋅PN ⃗ =(OM ⃗ −OP ⃗ )⋅(ON ⃗ −OP ⃗ )=OM ⃗ ⋅ON ⃗ +OP ⃗ 2−OP ⃗ ⋅(OM ⃗ +ON ⃗ )=2−4 cos∠AOP 其中cos∠AOP∈[−1,1]，从而得解． 本题考查平面向量在几何中的应用，除了平面向量的线性运算和数量积运算外，还用 到了点到直线的距离公式、二倍角公式等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属 于中档题． 4.【答案】D 【解析】解：设¿b ⃗ ∨¿ x( x>0)，则b ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ +¿b ⃗ ¿ 2=x 2+1． 又¿a ⃗ +b ⃗ ∨¿ ❑ √(a ⃗ +b ⃗ ) 2= ❑ √¿a ⃗ ¿ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +¿b ⃗ ¿ 2= ❑ √x 2+3． cosθ= b ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ ) ¿b ⃗ ∨⋅∨a ⃗ +b ⃗ ∨¿= x 2+1 x⋅ ❑ √x 2+3 >0¿ ． 则cos 2θ= ( x 2+1) 2 x 2( x 2+3) =( x 2+1) 2 x 4+3 x 2 ¿ ( x 2+1) 2 ( x 2+1) 2+( x 2+1)−2 ¿ 1 −2 ( x 2+1) 2 + 1 x 2+1 +1． ∵x>0，∴x 2+1>1，则0< 1 x 2+1 <1， ∴当 1 x 2+1 = 1 4 时， −2 ( x 2+1) 2 + 1 x 2+1 +1，有最大值为−2× 1 16 + 1 4 +1=9 8， ∴cos 2θ= 1 −2 ( x 2+1) 2 + 1 x 2+1 +1有最小值为8 9， 又cosθ>0， ∴cosθ的最小值是2❑ √2 3 ． 故选：D． 设¿b ⃗ ∨¿ x( x>0)，则b ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ +¿b ⃗ ¿ 2=x 2+1，用数量积表示b ⃗与a ⃗ +b ⃗的夹角 的余弦值，转化为二次函数求最值． 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用二次函数求最值，考查计算能力，是中 档题． 5.【答案】C [] 【解析】解：如图， 设OA ⃗ =a ⃗，OB ⃗ =b ⃗，OC ⃗ =c ⃗， 由¿ c ⃗ −a ⃗ ∨¿2，得C 在以A 为圆心，以2 为半径的圆上 ， 由图可知，当OC 与圆A 相切时，向量b ⃗、c ⃗的夹角取最小值， ∵∨OA∨¿4，¿ AC∨¿2，AC ⊥OC，可得∠AOC=30°，则向量b ⃗、c ⃗的夹角取 最小值为60°，且¿OC∨¿2❑ √3． ∴b ⃗ ⋅c ⃗ =¿b ⃗ ∨⋅∨c ⃗ ∨⋅cos60°=4×2❑ √3× 1 2=4 ❑ √3． 故选：C． 由题意画出图形，求得向量b ⃗、c ⃗的夹角的最小值，并求得当向量b ⃗、c ⃗的夹角取最小值 时的¿ c ⃗ ∨¿，代入向量数量积公式求解． 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.【答案】D 【解析】解：∵函数f ( x)=2sin(ωx+ π 3 )(ω>0)， 使得f ( x)在区间[−π 3 ,φ]上为增函数， 可得：{ −π 2 +2kπ ≤π 3 −πω 3 ωφ+ π 3 ≤π 2 +2kπ ，k ∈Z，可得{ 0<ω≤5 2 −6k ,① ωφ≤π 6 +2kπ ,② ，k ∈Z， 当−π 3 <φ≤0时，满足整数ω至少有1，2，舍去； 当φ>0时，由 0 ①<ω≤5 2 −6k，k=0时，ω∈(0, 5 2 ¿， 由②k=0时，0<ω≤ π 6 ϕ = π 6 ϕ ，要使整数ω有且仅有一个，需1≤π 6 ϕ <2，解得 π 12 <φ≤π 6 ． ∴实数φ的取值范围是( π 12 , π 6 ¿. 故选：D． 由已知可求{ −π 2 +2kπ ≤π 3 −πω 3 ωφ+ π 3 ≤π 2 +2kπ ，k ∈Z，可得{ 0<ω≤5 2 −6 k ,① ωφ≤π 6 +2kπ ,② ，k ∈Z，分类讨 论，可得当φ>0时，由 0 ①<ω≤5 2 −6k，k=0时，ω∈(0, 5 2 ¿，由②k=0时， 0<ω≤ π 6 ϕ = π 6 ϕ ，要使整数ω有且仅有一个，需1≤π 6 ϕ <2，即可解得实数φ的取值范 围． 本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，单调性的应用，是中档题． 7.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查平面向量的数