四川省成都市树德中学2021-2022学年高二下学期（5月）阶考 数学（文科） PDF版含解析 （可编辑）

高二数学（文科） 2022-05 阶考 第1 页 共2 页 树德中学高2020 级高二下期五月阶段考试数学试题（文科） 命题人：邓连康 审题人：白继才、陈杰、常勇 一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5 分，共60 分） 1．已知复数z 满足 3 i 2 z i    ，则z 的虚部是（ ） A．i  B．i C． 1  D．1 2．老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论. 甲：该圆经过点  2,2 . 乙：该圆的半径为5 . 丙：该圆的圆心为  1,0 . 丁：该圆经过点  7,0 ， 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．已知曲线 2 2 : 1 4 x C y   ，以坐标原点O 为极点， x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，则曲线C 的极 坐标方程为（ ） A． 2 2 4 1 sin    B． 2 2 4 1 2sin    C． 2 2 4 1 3sin    D． 2 2 4 1 4sin    4．若 ( ) f x 在R 上可导， 2 ( ) 3 5 (2) 2 f x x f x     则 (2) f =（ ） A． 1 B． 1  C．2  D． 2 5．函数  2 1 1 2 2 2 x x f x x e e ax ax a       ， 1 x  是函数的极大值点，则a 的取值范围是（ ） A．  , e  B．  , 2e  C．  2 , e  D．  2 , 2e  6．某种产品的广告费支出x 与销售额y（单位：万元）之间有下表关系 x 1 3 4 5 7 y 30 40 60 50 70 y 与x 的线性回归方程为 6.5 24 y x   ，当广告支出5 万元时，随机误差的效应（残差）为（ ） A．20 B．-10 C．10 D．-6.5 7．若 5 P a a    ， 2 3( 0) Q a a a     ，则P ，Q 的大小关系是( ) A．P Q  B．P Q  C．P Q  D．由a 的取值确定 8．偶函数  f x  为  f x 的导函数，  f x  的图象如图所示，则函数 f x 的图象可能为（ ） A． B． C． D． 9．实数, x y 满足： 2 2 1 y x   ，则 3x y  的取范围为( ) A． 3,2      B． 7, 7      C．2, 7     D． 3, 7      10．函数  2 1 cos 2 f x x ax   ，定义域为0, 2        ， f x 有唯一极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A． 2 1         ， B． 1 1 2        ， C． 1 1 2 2         ， D． 1 1 2          ， 11．已知函数  e , 0 ln , 0 x x f x x x        ， （e 为自然对数的底数） ，则函数    2 1 1 e        F x f f x f x 的零点个 数为（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 12． 已知 3 a  ， 若方程 2 3 3 1 2 ln 0 x x a x x x       在  1,2 上有唯一实根， 则实数a 的取值范围为 （ ） A．7 ln 2,3 2        B．7 ln 2,3 2        C．7 ln2,3 2        D．7 ln 2,3 2        高二数学（文科） 2022-05 阶考 第2 页 共2 页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13． 直线l 为曲线 2 2 3ln y x x x    的切线， 且l 与直线 2 y x   平行， 则直线l 的一般方程为_________. 14．i 为虚数单位．计算 2022 1 ( ) 1 i i    . 15． 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长 度单位， 直线l 的参数方程为 2 2 2 ( 2 1 2 x t t y t          为参数） ， 圆C 的极坐标方程为 4sin 4cos      ． 设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(2,1) ，则|| | | || PA PB   . 16．函数 f x 定义域为R ，导函数为  ' f x ， f x 满足下列条件：①任意 x R  ，    2 f x f x x    恒成立，②   0, x  时，  ' 2 1 f x x   恒成立，则关于t 的不等式：     2 2 2 3 5 2 f t f t t t      的解集为 . 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （10 分）请选择适当的方法证明. （1）已知 0 a  ， 0 b  ，且a b ，证明： 3 3 2 2 a b a b ab    ； （2）已知xR ， 2 2 a x   ， 2 3 b x  ，证明：a，b 中至少有一个不小于0. 18． （12 分）随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给 人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络 安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了200 人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查， 统计结果如下表所示： 男 女 合计 了解 70 125 不了解 45 合计 （1）根据所提供数据，完成2 2 列联表； （2）判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 参考公式：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中n a b c d   . 参考数据：   2 0 P x  0.10 0.05 0.010 0.005 0 x 2.706 3.841 6.635 7.879 19． （12 分）已知函数 3 3 4 f x x ax    ，定义域为  2,  ，实数   0, a , （1）若=1 a ，求函数的极值点与极值； （2）若函数  f x 在区间  2,1  上的最大值为20 ，求实数a 的值. 20． （12 分）已知 C 的极坐标方程为 4cos    ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平 面直角坐标系， （1）求 C 的直角坐标方程， （2）过   1,1 M 作直线l 交圆 C 于, P Q 两点，且 2 PM QM  ，求直线l 的斜率. 21． （12 分）函数 2 1 x f x e ax x   ，定义域为  0,1 （1） f x 在  0,1 上单调递增，求实数a 的取值范围 （2） f x 在  0,1 上恰有两个零点，求实数a 的取值范围 22． （12 分）函数 2 ln 2 g x a x x x    ， g x 有两个极值点   1 2 1 2 , x x x x  ， （1）求实数a 的取值范围 （2）不等式   1 2 ln2 g x x    恒成立，试求实数的取值范围． 高二数学（文科） 2022-05 阶考 第3 页 共2 页 树德中学高2020 级高二下期五月阶段考试数学试题（文科）参考答案 1—6：CDCDAD,7—12CBDACA 13: 2 0 x y    ，14：1 ，15： 2 ，16： 2 ,2 3        17: (1)（做差法） ： 因为， 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b ab a a b b ab a a b b b a            2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b       ， 因为a b 且 0 a  ， 0 b  ，所以 2 ( ) ( ) 0 a b a b   ， 所以 3 3 2 2 a b a b ab    ，得证 (2)（反证法）假设a､b 都小于0，即 0 a ， 0 b ，则有 0 a b   ， 因为xR ， 2 2 a x   ， 2 3 b x  ， 则 2 2 2 ( 2) ( 2 3) 2 1 ( 1) 0 a b x x x x x           ， 这与假设所得 0 a b   相矛盾，因此，假设不成立. 所以，a､b 中至少有一个不小于0. 18: (1)解：根据题意，得到2 2  列联表为： 男 女 合计 了解 70 55 125 不了解 30 45 75 合计 100 100 200 (2)解：提出假设 0 H ：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关， 根据列联表中数据，可以求得   2 2 200 70 45 55 30 24 4.8 100 100 125 75 5            ， 因为当 0 H 成立时，  2 3.841 0.05 P   ，这里的 2 4.8 3.841   ， 所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 19： （1）    2 ' 3 1 f x x     2, 1 x  ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递增；   1,1 x ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递减   1, x ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递增， 所以1 是函数的极大值点，极大值为   1 6 f   ；1是函数的极小值点，极大值为 1 2 f  （2）    2 ' 3 f x x a   ①若0 1 a  ，   2, x a   ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递增   , x a a  ，  ' 0 f x  ， f x 单调递减   ,1 x a  ，  ' 0 f x  ， f x 单调递增 若    max 2 4 20 f x f a a a      ，得 4 a  （舍去） 若  max 1 5 3 20 f x f a    ，得 5 a （舍去） ②若1 4 a   ，   2, x a   ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递增   ,1 x a  ，  ' 0 f x  ， f x 单调递减 若    max 2 4 20 f x f a a a      ，得 4 a  （舍去） ③若 4 a  ，   2,1 x ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递减 若   max 2 6 4 20 f x f a      ，得 4 a  （满足） 综上所述： 4 a  20： （1） C 的极坐标方程为： =4cos  ， 直角坐标方程为  2 2 2 4 x y    （2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为      1 cos : 1 sin x t l t y t         为参数， 与  2 2 2 4 x y    联立，得   2 2 sin cos 2 0 t t       ， 点P 对应的参数为1 t ，点Q对应的参数为2 t ， 则   1 2 1 2 2 sin cos 2 t t t t          ，因为 1 2 2 t t  ，所以1 2 2 t t  ， 联立可得 2 3sin 8sin cos 3cos 0        ，解得： 4 7 tan 3    ， 所以直线的斜率为4 7 4 7 3 3   或 高二数学（文科） 2022-05 阶考 第4 页 共2 页 21： （1）  ' 2 1 x f x e ax   ，  '' 2 x f x e a   ，  '' f x 在  0,1 单调递增 ①若2 1 a ，即 1 2 a  时，   0,1 x ，   '' '' 0 1 2 0 f x f a    ，  ' f x 单调递增，   ' ' 0 0 f x f   ，  f x 单调递增（满 足） ②若2a e  ，即 2 e a  时，   0,1 x ，   '' '' 1 2 0 f x f e a    ， ' f x 单调递减，  ' ' 0 0 f x f   ， f x 单调递减 （舍去） ③若1 2a e   ，即1 2 2 e a   时，  '' 0 1 2 0 f a   ，  '' 1 2 0 f e a   ，存在   0 0,1 x  ，且   0 ln 2 x a  ，使得   '' 0 0 f x  ，   0 0, x x  ，  '' 0 f x  ，  ' f x 单调递减，   ' ' 0 0 f x f   ， f x 单调递减（舍去） 综上所述： 1 2 a  （2）由（1）问知 1 2 a  或 2 e a  时，函数 f x 在  0,1 单调，所以不符合题意 若1 2a e   ，即1 2 2 e a   时，  '' 0 1 2 0 f a   ，  '' 1 2 0 f e a   ，存在   0 0,1 x  ，且   0 ln 2 x a  ，使得   '' 0 0 f x  ，   0 0, x x  ，  '' 0 f x  ，  ' f x 单调递减，   ' ' 0 0 f x f     0,1 x x  ，  '' 0 f x  ，  ' f x 单调递增，  ' 1 2 1 f e a   ①若  ' 1 2 1 0 f e a   ，即 1 2 2 e e a   时 则   0,1 x ，  ' 0 f x  ，  f x 单调递减（舍去） ②若  ' 1 2 1 0 f e a   ，即1 1 2 2 e a    时 则存在   1 0,1 x x  ，使得  ' 1 0 f x  ，   1 0, x x  ，  ' 0 f x  ， f x 单调递减，  0 0 f x f   ，   1,1 x x  ，  ' 0 f x  ， f x 单调递增，若函数恰有两个零点 则  1 2 0 f e a   ，即1 2 2 a e    综上所述：1 2 2 a e    22： （1）因为 2 2 ln g x x x a x    的定义域为  0,   ，  2 2 2 2 2 a x x a g x x x x       ， 令  2 0 2 2 0 g x x x a       ，又因为函数 g x 有两个极值点   1 2 1 2 , x x x x  ， 所以 2 2 2 0 x x a   在  0,有两个不等正实数根   1 2 1 2 , x x x x  ， 所以 Δ 4 8 0 1 0 0 2 a a a          ， （2）由（1）知 1 2 1 x x  + ， 2 1 1 2 2 a x x   ，从而 1 2 1 0 1 2 x x    ， 由不等式   1 2 ln2 g x x  