四川省成都市树德中学2021-2022学年高一下学期(5月)阶考 数学 PDF版含解析 (可编辑)(0001)
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高一数学2022-5 月阶考第1页 共2 页 树德中学高2021 级高一下学期5 月阶段性测试数学试题 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 命题人:廖游宇 审题人:唐颖君、肖兴佳、李小蛟 一、选择题(本题共12 小题,每小题5 分,共60 分,在每小题四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.在等比数列 n a 中, 7 9 a ,则 3 5 3 9 log log a a ( ) A.2 B.3 C.4 D.9 2.在ABC 中,若 120 , 15 , 2 B C a ,则此三角形的最大边长为( ) A.2 2 B. 6 C.2 3 D.3 2 3.将函数 sin2 3cos2 y x x 的图象沿x 轴向左平移( 0) 个单位后,得到的图象正好关于y 轴对称, 则的最小值为( ) A. 12 B. 6 C. 4 D.5 12 4.如图(1)(2)(3)(4)是四个几何体的三视图,这四个几何体依次分别是( ) A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 5.已知锐角的大小如图所示,则sin 2( ) A. 2 3 B.5 13 C.12 13 D. 12 13 6.已知四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形 ' ' ' ' A B C D (如图所示),其中 ' ' ' ' 2 B O O C , ' ' 3 O D ,则四边形ABCD一定是一个( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形 7.设D 为ABC 所在平面内一点, AC AB AD 3 4 3 1 ,若 ) ( R DC BC ,则 ( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 8. 已知 } { n a 是等差数列,且 13 1 17 4 3 2 a a a a ,则使 0 n a 成立的最小正整数n 的值为( ) A.20 B.19 C.18 D.17 9.已知 1 0 2 x ,则1 1 2 1 2x x x 的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10. 已知正项等比数列{ } n a 的前n 项和为 n S ,且满足 1 2 a , 2 3 1 2 + a a a ,当n N 时,不等式 2 ( ) 2 0 1 2 n n n n S t a t a 恒成立,则实数t 的取值范围为( ) A.[ 1,2] B.[ 2,1] C.( ,2] D.[ 1,+ ) 11.在第24 届北京冬奥会开幕式上,一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空,畅想着“一起向未来”的美 好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的科克曲线(Koch)组成.科克曲线(Koch) (如图) 是一种典型的分形曲线.它是科克(Koch,H.von)于1904 年构造出来的.其形成如下:把一个边长为 1 的等边三角形, 取每边中间的三分之一, 接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形, 结果是一个六角形.取六角形的每个边做同样的变换,即在中间三分之一接上更小的三角形,以此重 复, 直至无穷.外界的变得比原来越细微曲折, 形状接近理想化的雪花.它是一个无限构造的有限表达, 每次变化面积都会增加,但总面积不会超过起初三角形的外接圆.按照上面的变化规则,记 n a 为第n 个图形的面积,则 3 4 a a ( ) A. 2 3 243 B. 4 3 243 C. 16 3 243 D. 3 9 12.在ABC 中, 3 cos 4 A ,O 为ABC 的内心,若 ( , ) AO xAB yAC x y R ,则x y 的最大值 为( ) A. 2 3 B. 6 6 5 C. 7 6 7 D. 8 2 2 7 高一数学2022-5 月阶考第2页 共2 页 二、填空题(本题共4 小题,每小题5 分,共20 分) 13.不等式2 1 x 的解集为 . 14.已知, , a b c 分别是 ABC 内角 , , A B C 所对的边.若, b c 恰是方程 2 3 3 5 0 x x 的两个根,且 1 cos 5 A ,则a . 15.已知正项数列 n a 的前n 项和为 n S , 2=3 a , 1 4 2 n n n S a a ,则 2023= a _________. 16.山顶上有一座信号发射塔,塔高100 米,山脚下有A ,B ,C 三个观测点,它们两两之间的距离分 别为 2 AB 千米, 3 AC 千米, 4 BC 千米,从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°,则山高为 ______千米. 三、解答题(本大题共6 小题,共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题10 分) 已知平面直角坐标系中,点O 为原点, 2, 1 A , 1,2 B . (1)若 1 a ,且a 与AB 的夹角为45,求 2a AB a AB 的值; (2)设e 为单位向量,且e OA ,求e 的坐标. 18.(本小题12 分) 如图,已知正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1,高为2 的圆锥. (1)求此圆锥的全面积; (2)当正四棱柱的一个顶点B 和圆锥的母线PE 满足 PE PB 3 2 时, 求该正四棱柱的体积和表面积. 19.(本小题12 分) 已知数列 } { n a 的前n 项和为 n S ,且满足 ) ( 1 , 1 * 1 1 N n a S a n n . (1)求数列 } { n a 的通项公式; (2)若 2 2 log n n n a a b ,求数列 } { n b 的前n 项和 n T . 20.(本小题12 分) 已知函数 ) 0 ( 2 sin 4 ) 3 2 cos( ) ( 2 其中 x x x f , 且 ) (x f 相邻两对称轴之间的距离为2 . (1)求函数 ) (x f 在 ] 3 , 6 [ 上的值域; (2)若角 ) 0 , ( ), 4 3 , 4 ( ,且 . 5 15 2 ) 12 2 ( , 5 3 3 ) 6 ( f f 求 ) 6 2 ( f 的值. 21.(本小题12 分) 如图,在ABC 中, . BC AC 延长BA 到D ,使得 2 AD ,且 . 6 CDA (1)若 2 AC ,求DBC 的面积; (2)当 AD AC 时,求ACD 面积的取值范围. 22.(本小题12 分) 已知数列 } { n b 中, , 1 1 b . 4 ) 3 ( ) 1 ( 1 n n b b 正项等比数列 } { n a 的公比 * N q ,且满足 , 8 ) 1 ( 3 1 a a 18 2 2 1 a a . (1)证明数列 } 1 1 { n b 为等差数列,并求数列 } { n a 和 } { n b 的通项公式; (2)如果 n b a c n n n 1 1 ,求 } { n c 的前n 项和为 n T ; (3)若存在 * n N ,使 2 1 2 3 3 3 ( 3) 3 n b b b b kn 成立,求实数k 的取值范围. 高一数学2022-5 月阶考第3页 共2 页 树德中学高2021 级高一下学期5 月阶段性测试数学试题答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A C C A D B C A B D 二、填空题 13、(0,2) 14、19 15、4046 16、 16 5−1 10 三、解答题 17、解:(1)������ � ����= −1 −2,2 + 1 ,������ � ���� = −3 2 + 32 = 3 2 ∴2��� � �−������ � ���� ∙��� � �+ ������ � ���� = 2 ��� � � 2 + 2 ��� � � ������ � ����������������−��� � � ������ � ����������������−������ � ����2 = 2 ∙1 + 1 ∙3 2 ∙ 2 2 −18 =−13 ………………………………(5 分) (2)设单位向量��� � �= ���, ���, ∴ ���2 + ���2 = 1,即x2 + y2 = 1 又��� � �⊥������ � ����,������ � ����= 2,−1 ∴2���−���= 0 由 ���2 + ���2 = 1 2���−���= 0 ,解得 ���= 5 5 ���= 2 5 5 或 ���=− 5 5 ���=− 2 5 5 ∴��� � �= 5 5 , 2 5 5 或��� � �= − 5 5 , − 2 5 5 …………………………………………(10 分) 18、解:(1)���底= ���∙���2 = ���∙1 = ���, S侧= ���������= ���∙1 ∙ 1 + 22 = 5��� 所以���全= ���侧+ ���底= ( 5 + 1)���…………………………………………(5 分) (2)∵������ � ����= 2 3 ������ � ����,∴ ������ ������= 2 3,由∆���������~∆���������,可得 ������ ������= ������ ������= ������ ������= 2 3, 又∵������= 1, ������= 2, ∴������= 4 3 , ������= 2 3, ∴四棱柱的高������= ������−������= 2 − 4 3 = 2 3,底面边长为 3 2 2 ……………(7 分) ���表= 2 3 × 2 2 3 × 4 + 2 2 3 × 2 2 3 × 2 = 16+16 2 9 …………………………………(10 分) ���体= 2 2 3 × 2 2 3 × 2 3 = 16 27.………………………………………………………(12 分) 19、解:(1)①当n=1 时,���1 = ���2 −1, ∴���2 = 2, ②当n≥2 时,���n−1 = ������−1 ③ ������= ������+1 −1 ④ ④-③得:������−������−1 = ������+1 −������ ∴2������= ������+1(n≥2)………………………………(4 分) 带入n=1,∴2���1 = ���2成立 ∴���n 是以1 为首项,2 为公比的等比数列……………………………(5 分) ������通项公式为������= 2n−1(n∈N∗)……………………………………(6 分) (2) ���n=2n−1 log2 2n+1=(n+1) 2n−1 Tn=2 ∙20 + 3 ∙21 + 4 ∙22 + ⋯+ n ∙2n−2 + (n + 1) ∙2n−1 ⑤ 2Tn = 2 ∙21 + 3 ∙22 + 4 ∙23 + ⋯+ n ∙2n−1 + (n + 1) ∙2n ⑥ ⑥-⑤得,Tn =−2 ∙20 + −1 ∙ 2−2n 1−2 + n + 1 ∙2n =n ∙2n……………………(12 分) 20、解(1)������= 1 2 ���������2������+ 3 2 ���������2������+ 4 1−cos 2������ 2 −2 = 1 2 ���������2������+ 3 2 ���������2������−2 ���������2������= 3 2 ���������2������− 3 2 ���������2������ = 3 ���������(2������− ��� 3 )…………………………………………………(3 分) 又∵相邻对称轴距离为 ��� 2 ,∴T=���= 2��� 2���,���= 1. 即������= 3 ���������(2���− ��� 3 )………………………………………………………………(4 分) ∵���∈− ��� 6 , ��� 3 , ∴2���− ��� 3 ∈ −2��� 3 , ��� 3 ,���(���)的值域为− 3, 3 2 .…………………………………(6 分) (2)∵������+ ��� 6 = 3 ���������2���= 3 3 5 , ∴���������2���= 3 5,2���∈ ��� 2 , 3��� 2 ,∴���∈ ��� 4 , ��� 2 ∴���������2���= 4 5=2������������2 −1,∴2������������2 = 9 5 ∴������������= 3 10 , ������������= 1 10………………………(8 分) 又∵������− ��� 12 = 3 ������������− ��� 2 =− 3 ������������= −2 15 5 . ∴������������= 2 5 5 , ������������= −5 5 …………(10 分) ��� ���−��� 2 + ��� 6 = 3 ������������−���+ ��� 3 − ��� 3 = 3( ������������������������−������������������������) = 3( 1 10 ∙ 2 5 − 3 10 ∙ −1 5 )= 6 2 …………………………………………………………(12 分) 21、解:(1)在△DAC 中,由正弦定理得, AC sin ∠ADC = AD sin ∠DCA,即 2 1 2 = 2 sin ∠DCA ∴sin ∠DCA = 2 2 ,∠DCA = 45°. 在△ABC 中,∠CAD = ∠DCA + ∠ADC = 75°, ∴tan ∠CAD = tan 75°= BC 2,BC=2 2 + 6. S∆ABC= 1 2 ∙AC ∙BC = 1 2 ∙ 2 ∙2 2 + 6 = 2 + 3. S∆DAC= 1 2 ∙AD ∙AC ∙sin ∠DAC = 1 2 ∙2 ∙ 2 ∙ 6+ 2 4 = 3+1 2 . ∴S∆DBC= S∆ABC + S∆DAC = 2 + 3 + 3+1 2 = 3 3+5 2 .…………………………………(6 分) (2)设∠DCA = θ,∠DAC = 5π 6 −θ. ∵AC > AD,∴θ > π 6, 又∵∠DAC 是钝角,∴ 5π 6 −θ > π 2,即 π 6 < θ < π 3. 设CD=b,则S∆DAC = 1 2 ∙AD ∙DC ∙sin ∠CDA = 1 2 ∙2 ∙b ∙ 1 2 = b 2, 在△DAC 中,由正弦定理可得, b sin 5π 6 −θ = 2 sin θ,∴b = cos θ+ 3 sin θ sin θ = 1 tan θ + 3 又∵ π 6 < θ < π 3 ,∴tan θ ∈ 3 3 ,3 ∴S∆DAC = b 2 = 1 2 ( 1 tan θ + 3)在tan θ ∈ 3 3 ,3 上单调递减, 高一数学2022-5 月阶考第4页 共2 页 ∴S∆DAC ∈ 2 3 3 ,3 ………………………………………………………………………(12 分) 22、解:(1)由 18 , 8 ) 1 ( 2 2 1 3 1 a a a a 可得 18 , 8 ) 1 ( 2 2 1 1 2 1 1 q a a q a a 因为 * N q , 所以 2 1 q a ,则 n n a 2 (n∈N∗)………………………………………………(2 分) 由 4 ) 3 )( 1 ( 1 n n b b , 可得 3 1 1 n n n b b b , 则 2 1 ) 1 ( 2 1 1 1 ) 1 ( 2 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n b b b b b b b 由 1 1 b , 所以 2 1 1 1 1 b , 1 bn+1 是以 1 2为首项, 1 2为公差的等差数列 则 2 ) 1 ( 2 1 2 1 1 1 n n bn ,所以 1 2 n bn (n∈N∗)…………………………………………(4 分) (2)������= ������+1������+1 ��� = 2���+1( 2 ���+1−1) ��� = 2���+1(1−���) ���(���+1) = 2���+1 ���− 2���+2 ���+1 (���≥2)…………………………………(6 分) ∴������= ���2���2 + ���3���3 2 + ���4���4 3 + . . . + ������+1������+1 ��� = 22 1 −23 2 + 23 2 −24 3 + 24 3 −25 4 + . . . + 2���+1 ��� −2���+2 ���+ 1 = 4 − 2���+2 ���+1…………………………………………………………………………………(8 分) (3)������+ 3 = 2 ���+ 2 = 2 1 ���+ 1 = 2 ∙ ���+1 ��� ∴���1 + 3 ���2
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