四川省树德中学2021-2022学年高二下学期4月阶段性测试 数学（理） PDF版含解析（可编辑）

高二数学（理科）2022-04 阶考 第1页 共2 页 树德中学高2020 级高二下学期4 月阶段性测试数学（理科）试题 命题人、审题人：高二数学备课组 考试时间：120 分钟；满分：150 分 第I 卷（选择题） 一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5 分，共60 分） 1．已知, R x y  ，i 为虚数单位，且  2 i 2 y y x   ，则x y  的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数 2 ( ) 4.9 f x x  在区间[1,2]上的平均变化率等于（ ） A．4.9  B．9.8  C．14.7  D．19.6  3．设函数 ( ) y f x  在R 上可导，则 0 (2 ) (2) lim x f x f x     等于（ ） A． (2) f  B． ( 2) f  C． (2) f   D．以上都不对 4． 吹气球时， 气球的半径r（单位：dm ） 与体积V（单位：L ） 之间的函数关系是 1 3 3 ( ) 4 V r V        （0 5 V ） ， 则气球在 1 V 时的瞬时膨胀率为（ ） A． 2 3 1 3 3 4        B． 2 3 3 4        C． 1 3 1 3 3 4       D． 1 3 3 4       5．用数学归纳法证明等式“       2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3 n n n n         ”，当 1 n k  时，等式左边 应在n k  的基础上加上（ ） A．  2 2 1 k  B．  2 2 3 k  C．    2 2 2 2 2 3 k k    D．      2 2 2 2 1 2 2 2 3 k k k      6．   2 0 sin x x dx     （ ） A． 2 1 8   B． 2 1 8   C． 2 1 8    D． 2 1 8   7．已知函数 2 1 ( ) cos 4 f x x x   ，则 ( ) f x 的导函数 ( ) f x  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ( ) f x 满足 1 2 1 ( ) (1) (0) 2 x f x f e f x x      ，则 (1) f  的值为（ ） A．e B．1 e C．1 D．0 9．已知 2 ln 2 a  ， e b  ， 5 ln5 c  ，则以下不等式正确的是（ ） A．c a b   B．c b a   C．b a c   D．b c a   10．若函数  2 x x f x xe me   有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A． 1 0, 4       B．  ,0  C．  1 ,0 2     D． 1 0, 2       11．  f x 是定义在R 上的函数，  f x  是  f x 的导函数，已知   f x f x   ，且  1 e f  ，  3 2 e f  ， 则不等式   2 2 1 e 2 1 e 0 x f x     的解集为（ ） A．3, 2        B．  1, C． 3 , 2        D．  , 1  12．已知函数    e 1 e x x f x x a a     ，则下列命题为真的个数是（ ） ①  f x 的极小值点为 2 ea a   ； ②若存在 0 0 x  ，使得   0 0 f x  ，则整数a 的最小值为4； ③若   2 ( 2 +e ) 3e x x g x f x x x a     ，则当 0 a  时， g x 有两个零点，且其中一个零点所在的区间为 ( ,1) e a  . A．0 B．1 C．2 D．3 第II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13．函数 ( ) sin f x x x   ， (0, ) x   的单调递减区间为____________. 14．把复数z 的共轭复数记作 _ z ，已知  _ 1 2i 4 3i z    （其中i 是虚数单位） ，则z ___________. 15． 已知在R 上可导的函数 ( ) f x 的图象如右图所示， 则不等式( 1) ( ) 0 ( ) x f x f x    的解集为_______. 16．已知 0 x  是函数    2 2 ln 1 3 2 x f x x mx x      的极大值点，则m 的值为 ________． 高二数学（理科）2022-04 阶考 第2页 共2 页 三、解答题（17 题满分10 分，18-22 题，每题满分12 分，共70 分） 17．已知函数  3 2 1 1 2 1 3 2 f x x x x    . （1）写出函数  f x 的单调区间； （2）讨论函数  f x 的极大值和极小值是否存在.如果存在，求出极值. 18．已知 sin ( ) x f x x  （1）求曲线 ( ) y f x  在x   处切线的方程； （2）求函数 ( ) f x 在区间[ , ] 2 上的最值． 19．已知函数    ln R f x ax ex a    . （1）当 1 a 时，求函数  f x 的最小值； （2）若  1 ( 1) x g x f x e a x e      ，求 g x 的最小值. 20. 已知函数 ( ) x e f x a x   ． （1）若 ( ) ( ) f x a g x x   ，当 (0,1) x 时，试比较 ( ) g x 与 (2 ) g x  的大小； （2）若 ( ) f x 的两个不同零点分别为 1 2 1 2 , ( ) x x x x  ，求证： 1 2 2 x x   ． 21．已知函数 2 1 ( ) ln 2 f x x x ax x    . （1）若函数 ( ) ( ) g x f x   ，且 ( ) g x 最大值为1 ，求实数a 的值； （2）若不等式 1 ( ) ex g x x a   在 , [ ) 1 x 上恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数  2 ( 2) ln 2 2 f x x a x a x a       ，其中 2 a . （1）求  f x 的单调区间； （2）讨论函数  f x 的零点个数. 高二数学（理科）2022-04 阶考 第3页 共2 页 树德中学高2020 级高二下学期4 月阶段性测试数学（理科）试题 参考答案 1．B【源自】人教2003A 版选修2-2P104 练习3（人教2019A 版必修第二册P70 练习3）. 2．C【源自】人教2003A 版选修2-2P3 问题2（人教2019A 版选择性必修第二册P59 问题1）改编. 3．A【源自】人教2003A 版选修2-2P6 例1（人教2019A 版选择性必修第二册P65 例2）改编. 4．C【源自】人教2003A 版选修2-2P9 练习（人教2019A 版选择性必修第二册P70 练习4）改编. 5．C【源自】人教2003A 版选修2-2P94 例1（人教2019A 版选择性必修第二册P70 练习4）改编. 6．B【源自】人教2003A 版选修2-2P55 习题1.6 第1 题第（5）小题（人教2019A 版无此内容）改编. 7．A【源自】人教2003A 版选修2-2P10 习题1.1A 组第6 题（人教2019A 版选择性必修第二册P71 第10 题）改编. 8．A【源自】人教2003A 版选修2-2P26 练习第1 题（人教2019A 版选择性必修第二册P99 第2 题）改 编. 9．A【源自】人教2003A 版选修2-2P26 练习第1 题第（2）小题（人教2019A 版选择性必修第二册P89 例4）改编. 10．D【源自】人教2003A 版选修2-2P26 练习第1 题、P32 第4 小题（人教2019A 版选择性必修第二册 P89 例4、P92 练习第1 题）改编. 11．B【源自】人教2003A 版选修2-2P18 习题1.2A 组第4 题（人教2019A 版选择性必修第二册P81 习 题5.2 复习巩固第1 题）改编. 12． C 【源自】 人教2003A 版选修2-2P32 B 组第1 题、 第2 小题等 （人教2019A 版选择性必修第二册P99 第12、13 题）改编. 13．(0, ) 【源自】人教2003A 版选修2-2 P24 例2 第（3）题（人教2019A 版选择性必修第二册P86 例 1 第（2）题）. 14．2 i 【源自】人教2003A 版选修2-2 P116 复习参考B 组第1 题（人教2019A 版必修第二册P95 第 7 题）. 15．( , 2) ( 1,0) (1, )    【源自】人教2003A 版选修2-2 P24 例1（人教2019A 版选择性必修第 二册P86-87 例2）改编. 16．1 18 【源自】2018 年全国III 卷压轴题改编. 17． 【源自】人教2003A 版选修2-2 P28 例4 改编（人教2019A 版选择性必修第二册P87 例3）. 【解析】(1)  2 2 ( 1)( 2) f x x x x x        . 令  0 f x   ，得 1 x 或 2 x  .易知，在区间  , 1    上，  0 f x   ，  f x 单调递增；在区间  1,2  上，  0 f x   ， f x 单调递减；在区间  2,上，  0 f x   ， f x 单调递增.故函数的增区间为  , 1    和   2,；减区间为  1,2  .--------------6 分 (2)易知当 1 x 时，  f x 有极大值 13 ( 1) 6 f   ；当 2 x  时，  f x 有极小值 7 (2) 3 f  . -----4 分 18． 【源自】人教2003A 版选修2-2 P18 习题1.2A 组第7 题（人教2019A 版选择性必修第二册P81 习题 5.2 复习巩固第5 题）改编. 【解析】解： （1） 2 cos sin ( ) x x x f x x    当x   时， 0 y  ，即切点坐标为  ,0  ，切线斜率为 1 k   ，故所求切线方程为 1 ( ) y x     ，即 0 x y      ； --------------6 分 （2）当 [ , ] 2 x   时， cos sin 0 x x x   ，所以 ( ) 0 f x   . 故函数 ( ) f x 在区间[ , ] 2 上单调递减. 所以 max 2 ( ) ( ) 2 f x f     ， min ( ) ( ) 0 f x f    . --------------6 分 19． 【源自】 人教2003A 版选修2-2 P32B 组第1 题 （人教2019A 版选择性必修第二册P99 第12 题） 改编. 【解析】(1) 当 1 a 时，  ln 1 f x x x   ，其定义域为  0,   ，  1 1 1 x f x x x     ， 当 (0,1) x 时，  0 f x   ，  f x 单调递减，   1, x  时，  0 f x   ，  f x 单调递增， 综上所述，   min 0 1 f x f   . --------------5 分 (2) 方法1：隐零点  1 ln 1 x g x xe x x e     ， 0 x  又  1 ( 1) 1 x g x x e x     ， 0 x  所以  g x  为  0,上的增函数. 又   2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 0 e g e e e e e e e              ，  1 2 2 0 g e     所以存在   2 0 ,1 x e  ，使得   0 0 g x   ，即 0 0 1 x e x  ，也即 0 0 ln x x  . 又  g x  为  0,上的增函数， 所以   0 0, x x  时，    0 0 g x g x     ，  g x 在  0 0, x 上为减函数；   0, x x  时，    0 0 g x g x     ，  g x 在  0, x 上为增函数； 因而，   0 0 0 0 0 0 0 min 1 1 1 ln 1 1 1 x g x g x x e x x x x e e e          .--------------7 分 方法2：同构（此法建议也给满分） 由（1）知ln 1 x x ，所以有ln 1 x x e e ，即 1 x e x . 因为 ln x x x xe e   ，所以 ln ln 1 x x x xe e x x    ，当且仅当ln 0 x x   时取等. 高二数学（理科）2022-04 阶考 第4页 共2 页 所以 1 1 ln 1 x g x xe x x e e     . 因而当 0 0 ln x x  时， g x 有最小值1 e . 20. 【源自】人教2003A 版选修2-2 P18 习题1.2A 组第7 题（人教2019A 版选择性必修第二册P81 习题 5.2 复习巩固第5 题）和高考题的改编. 【解析】 （1） 2 ( ) x e g x x  ， 3 ( 2) ( ) x x e g x x    ， 当 (0,1) x 时，2 (1,2) x   ，且 2 x x   又当 ( ,2) x 时， ( ) 0 g x   ，所以 ( ) (2 ) g x g x   . --------------4 分 （2） 2 ( 1) ( ) x x e f x x    ( ) f x 在( ,1)  上单调递减，在(1, ) 上单调递增． 所以 min ( ) (1) f x f e a    又 ( ) f x 有两个不同零点，所以a e  . 此时 ) 0 ( a a a a e e f e a e a e         ， 2 0 ( ) a e a f a a a a a      ， 所以存在 1 2 ( ,1), (1, ) a x x a e   ，符合题意. --------------6 分 方法1：分析法 要证 1 2 2 x x   ，即证 2 1 2 x x   ． 因为 2 1 1,1 2 2 x x     ，且 ( ) f x 在(1, ) 上单调递增， 所以只需证     2 1 2 f x f x   ． 因为    2 1 f x f x  ，所以即证    1 1 2 f x f x   ． 令 ( ) ( ) (2 ) F x f x f x    ， (0,1) x 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) ( 1)[ ] ( 1)[ ( ) (2 )] (2 ) x x e e F x f x f x x x g x g x x x                ， (0,1) x 由（1）知， ( ) (2 ) g x g x   所以 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) ( 1)[ ] ( 1)[ ( ) (2 )] 0 (2 ) x x e e F x f x f x x x g x g x x x                 所以 ( ) F x 在(0,1) 上为减函数，故 ( ) (1) 0 F x F   ，得证. --------------12 分 方法2：对数平均值不等式（需补证） 由题知 1 2 1 2 0 x x e e x x   ，取对数有 1 2 1 2 ln ln x x x x    ，即 1 2 1 2 1 ln ln x x x x    又 1 2 1 2 1 2 ln ln 2 x x x x x x     （要补证） ，所以 1 2 2 x x   . 方法3：差变量代换 由题知 1 2 2 1 0, 0, x x e ax e ax          得 1 2 1 2 1 ( ) x x x x a e e    ，要证 1 2 2 x x   ，即证 2 1 2 x x a e e   又 1 2 1 2 x x e a e x x    ，即证 2 1 1 2 1 2 2 x x x x e e e x e x      ，也即证 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x e e e e e e            记 1 2 t x x   ，则 0,0 1 t t e    ， 因此只要证明： 2( 1) 0 1 t t e t e     ， 再次换元令 (0,1), ln t e x t x    ，即证 2( 1) ln 0, (0,1) 1 x x x x  