2020年高考数学试卷（天津）（解析卷）

1/23 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟． 第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分． 参考公式： 如果事件 与事件 互斥，那么 ． 如果事件 与事件 相互独立，那么 ． 球的表面积公式 ，其中 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） 1/23 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数 的图象大致为（ ） A B. C. . 2/23 D. 4.从一批零件中抽取80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9 组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零 件中，直径落在区间 内的个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为．若 的一 条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； 2/23 ② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 3/23 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.已知函数 若函数 恰有4 个零点，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11 小题，共105 分． 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给 3 分，全部答对的给5 分． 10. 是虚数单位，复数 _________． 11.在 的展开式中， 的系数是_________． 12.已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_______ __． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 3/23 14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 15.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实 数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________． 4/23 三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤． 16.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原 点． （Ⅰ）求椭圆 方程； 的 4/23 （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相 切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 19.已知 为等差数列， 为等比数列， ． 5/23 （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 20.已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ． 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟． 第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I 卷 5/23 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分． 参考公式： 如果事件 与事件 互斥，那么 ． 如果事件 与事件 相互独立，那么 ． 球的表面积公式 ，其中 表示球的半径． 6/23 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知： ，则 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数 的图象大致为（ ） A B. C. D. . 6/23 【答案】A 【解析】 7/23 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点 对称，选项CD 错误； 当 时， ，选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4.从一批零件中抽取80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9 组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零 件中，直径落在区间 内的个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直方图确定直径落在区间 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间 之间的零件频率为： ， 则区间 内零件的个数为： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7/23 【解析】 【分析】 求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 8/23 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即 ， 所以，这个球的表面积为 . 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求 多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用 长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行， 借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设 计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系. 【详解】因为 ， ， ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数 函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0 或1 等. 7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为．若 的一 8/23 条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 9/23 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的焦点 可求得直线的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐近线的 方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线的方程为 ，即直线的斜率为 ， 又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．故选： ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用， 属于基础题． 8.已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； ② 是 的最大值； ③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确； ，故②不正确； 将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象， 9/23 故③正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是 一道容易题. 9.已知函数 若函数 恰有4 个零点，则 的取值范围 是（ ） 10/23 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到 ，所以要使 恰有4 个零点，只需方 程 恰有3 个实根 即可， 令 ，即 与 的图象有 个不同交点. 因为 ， 当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意； 当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 （负值舍去），所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D. 11/23 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合 思想，转化与化归思想，是一道中档题. 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11 小题，共105 分． 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给 3 分，全部答对的给5 分． 10. 是虚数单位，复数 _________． 11/23 【答案】 【解析】 【分析】 将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为： . 12/23 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 11.在 的展开式中， 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出． 【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ． 所以 的系数为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 12.已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_______ __． 【答案】5 【解析】【分析】 根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 ，进而利用弦长公 式 ，即可求得 ． 【详解】因为圆心 到直线 的距离 ， 由 可得 ，解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 12/23 根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的 概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ， 且两球是否落入盒子互不影响， 13/23 所以甲、乙都落入盒子 概率为 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 故答案为： ； . 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， , ，当且仅当 =4 时取等号， 结合 ,解得 ，或 时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1” 合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实 数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 的 的 13/23 【解析】 【分析】 可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直线为 14/23 轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的 函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值. 【详解】 ， ， ， ， 解得 ， 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ， , ∵ ，∴ 的坐标为 , ∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ）， ， ， ， 所以，当 时， 取得最小值 . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于 14/23 中等题. 三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15/23 16.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得 ， 又因为 ，所以 ； （Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ； （Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 ， 进而 ， 所以 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学 运算能力，是一道容易题. 17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 15/23 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． 16/23 （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ； （Ⅱ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空间向量法计算 出二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 17/23 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得 、 、 、 、 、 、 、 、 . （Ⅰ）依题意， ， ， 从而 ，所以 ； （Ⅱ）依题意， 是平面 的一个法向量， ， ． 设 为平面 的法向量， 则 ，即 ， 不妨设 ，可得 ． ， ． 所以，二面角 的正弦值为 ； （Ⅲ）依题意， ．由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 18/23 ． 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力， 属于中档题. 18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原 点． （Ⅰ）求椭圆 方程； （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相 切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，或 ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出 点坐标， 进而求出 点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ， ， 由 ，得 ， 又由 ，得 ， 所以，椭圆的方程为 ； （Ⅱ） 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ， 的 18/23 根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ， ，消去 ，可得 ，解得 或 .将 代入 19/23 ，得 ， 所以，点 的坐标为 ， 因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ， 所以点 的坐标为 ， 由 ，得点 的坐标为 ， 所以，直线 的斜率为 ， 又因为 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 . 所以，直线 的方程为 或 . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与