2021年高考数学试卷（天津）（解析卷）

1/18 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 第I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 2，本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分 参考公式： •如果事件A、B 互斥，那么 ． •如果事件A、B 相互独立，那么 ． •球的体积公式 ，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式 ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高． 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 1/18 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】 ， ， . 故选：C. 2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 2/18 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立； 若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数 的图像大致为（ ） A. B. 2/18 C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D 3/18 ，即可得解. 【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以函数 为偶函数，排除AC； 当 时， ，所以 ，排除D. 故选：B. 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分分数据，将所得 个评 分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的费率分布直 方图，则评分在区间 内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量为 3/18 . 故选：D. 5. 设 ，则a，b，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4/18 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解. 【详解】 ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两 个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆 锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ， 4/18 设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ， 设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ， 5/18 所以， ， ， ，则 ，所以， ， 又因为 ，所以， ， 所以， ， ， 因此，这两个圆锥的体积之和为 . 故选：B. 7. 若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出 ，再由换底公式可求. 【详解】 ， ， . 故选：C. 8. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合， 抛物线的准线交双曲线于A，B 两点，交双曲线的渐近线于C、D 两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5/18 【答案】A 【解析】 【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合 线段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解. 6/18 【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ， 则抛物线 的准线为 ， 令 ，则 ，解得 ，所以 , 又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以双曲线的离心率 . 故选：A. 9. 设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6 个零点，则a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 最多有2 个根，可得 至少有4 个根，分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】 最多有2 个根，所以 至少有4 个根， 6/18 由 可得 ， 由 可得 ， （1） 时，当 时， 有4 个零点，即 ； 当 ， 有5 个零点，即 ； 当 ， 有6 个零点，即 ； 7/18 （2）当 时， ， ， 当 时， ， 无零点； 当 时， ， 有1 个零点； 当 时，令 ，则 ，此时 有2 个零点； 所以若 时， 有1 个零点. 综上，要使 在区间 内恰有6 个零点，则应满足 或 或 ， 则可解得a 的取值范围是 . 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零 点个数情况. 第II 卷 注意事项 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11 小题， 共105 分． 7/18 二、填空题，本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分，试题中包含两个空 的，答对1 个的给3 分，全部答对的给5 分． 10. 是虚数单位，复数 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】 . 8/18 故答案为： . 11. 在 的展开式中， 的系数是__________． 【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6 即可求出. 【详解】 的展开式的通项为 ， 令 ，解得 ， 所以 的系数是 . 故答案为：160. 12. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线 方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，求出 ，利用勾股定理可求得 .【详解】设直线 的方程为 ，则点 ， 由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为， 则 ，解得 或 ，所以 ， 的 8/18 因为 ，故 . 故答案为： . 13. 若 ，则 的最小值为____________． 【答案】 9/18 【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】 ， ， 当且仅当 且 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对 的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且 每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜 的概率为____________，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________． 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3 次活动中，甲至 少获胜2 次分为甲获胜2 次和3 次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；则在3 次活动中，甲至少获 胜2 次的概率为 . 9/18 故答案为： ； . 15. 在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点， 且交AB 于点 E． 且交AC 于点F,则 的值为____________； 的最 小值为____________． 【答案】 ①. 1 . ② 【解析】 10/18 【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出最值. 【详解】设 ， ， 为边长为1 的等边三角形， ， ， ， 为边长为 的等边三角形， ， ， ， ， 所以当 时， 的最小值为 . 故答案为：1； . 三、解答题，本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程 成演算步骤． 10/18 16. 在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ． （I）求a 的值； （II）求 的值； （III）求 的值． 11/18 【答案】（I） ；（II）（III） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得 ，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出 正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ， ， ； （II）由余弦定理可得 ； （III） ， ， ， ， 所以 . 17. 如图，在棱长为2 的正方体 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点． 的 11/18 （I）求证： 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角 正弦值． 的 12/18 （III）求二面角 的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III） 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明 ，即可得证； （II）求出 ，由 运算即可得解； （III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的 平方关系即可得解. 【详解】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，则 , , , , , , ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 ， ， 所以 , , , 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 因为 ，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ； （II）由（1）得， ， . 12/18 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ； （III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ， 13/18 则 ， 所以二面角 的正弦值为 . 18. 已知椭圆 的 右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且 ． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直 的直线交 轴于点 ．若 ，求直线的方程． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点 ，分析出直线的方程为 ，求出点 的坐标，根据 可得出 ，求出 、 的值，即可得出直线的方程. 13/18 【详解】（1）易知点 、 ，故 ， 因为椭圆的离心率为 ，故 ， ， 14/18 因此，椭圆的方程为 ； （2）设点 为椭圆 上一点， 先证明直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， ， 因此，椭圆 在点 处的切线方程为 . 在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ， 直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ， 在直线 方程中，令 ，可得 ，即点 ， 的 14/18 因为 ，则 ，即 ，整理可得 ， 所以， ，因为 ， ，故 ， ， 15/18 所以，直线的方程为 ，即 . 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解； （2）椭圆 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时， 首先应证明直线 与椭圆 相切. 19. 已知 是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64． 是公比大于0 的等比数 列， ．（I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明 【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见 解析. 【解析】 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算 可得 的通项公式； （II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证； 15/18 （ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得 证. 【详解】（I）因为 是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64． 所以 ，所以 ， 16/18 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 所以 ，解得 （负值舍去）， 所以 ； （II）（i）由题意， ， 所以 ， 所以 ，且 ，所以数列 是等比数列； （ii）由题意知， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 ， 16/18 所以 . 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再 由错位相减法即可得证. 17/18 20. 已知 ，函数 ． （I）求曲线 在点 处的切线方程： （II）证明 存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III） 【解析】 【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程； （II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点， 利用导数求出 的变化情况，数形结合即可求解； （III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ， 即 ，利用导数即可求出 的最小值. 【详解】（I） ，则 ， 又 ，则切线方程为 ； （II）令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像 17/18 如下： 18/18 所以当 时， 与 仅 有一个交点，令 ，则 ，且 ， 当 时， ，则 ， 单调递增， 当 时， ，则 ， 单调递减， 为 的极大值 点，故 存在唯一的极值点； （III）由（II）知 ，此时 ， 所以 ， 令 ， 若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ， 即 ， ， ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递 增， 18/18 所以 ，故 ， 所以实数b 的取值范围 . 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第 三问解题的关键是转化为存在 ，使得 ，即 .