2022学年第一学期精诚联盟开学联盟高二年级数学试题

（北京）股份有限公司 2022 学年第一学期精诚联盟开学联盟高二年级数学试题 第I 卷（选择题部分，共60 分） 一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项时符合题目要求的. 1.设全集U=R , M={x∣−3<x<0}, N={x∣x<−1}, 则M ∩∁U N=¿ ( ) A. {x∣−1≤x<0} B. {x∣x ≥−1} C. {x∣−3<x<0} D. {x∣x ≤−3} 2. 若复数z满足z=−3+4i, 则¿ z∨¿( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 3.下列说法中正确的是( ) A. 用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B. 上下底面全等, 其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 棱台的底面是两个相似的正方形 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 4.设a,b∈R, “ 则1 a > 1 b ” “ 是b>a>0 ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 魔方又叫鲁比克方块(Rubk' s Cube), 是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克. 艾尔内于 1974 年发明的机械益智玩具, 与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界 的三大不可思议. 三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分, 然后沿 等分线把正方体切开所得, 现将三阶魔方中1 面有色的小正方体称为中心方块, 2 面有色的小 正方体称为边缘方块, 3 面有色的小正方体称为边角方块, 若从所有的小正方体中任取一个, 恰 好抽到中心方块的概率为( ) A. 2 9 B. 8 27 C. 4 9 D. 1 2 6. 设m,n是空间中不同的直线, α , β是不同的平面, 则下列说法正确的是( ) A. 若n/¿m,m⊂α, 则n/¿α B. m⊥α ,n⊂β ,α ⊥β则m/¿n C. 若α/¿ β ,m⊂α, 则m/¿ β D. 若m⊂α ,n⊂β ,α ⊥β, 则m⊥n 7. 已知0.3010<lg2<0.3011, 则log42022 属于( ) A. (5.3,5.4) B. (5.4,5.5) C. (5.5,5.6) D. (5.6,5.7) 8. 平面直角坐标系xOy中, A(2,0),B(1,❑ √3),C(3,❑ √3), 下列说法不正确的是( ) A. 若⃗ OP=x⃗ OA+(1−x)⃗ OB( x∈R), 则¿⃗ OP∨¿的最小值为❑ √3 B. 若⃗ OP=x⃗ OA+ y⃗ OB+(1−x−y)⃗ OC( x , y , x+ y ∈[0,1]), 则¿⃗ OP∨¿ 的最大值为2❑ √3 C. 若⃗ OP=x⃗ OA+ y⃗ OB ,∨x∨+¿ y∨≤1, 则点P表示的平面区域的面积为4 ❑ √3 D. 若⃗ OP=x⃗ OA+ y⃗ OB+z⃗ OC ,∨x∨+¿ y∨+z≤1, z≥0, 则点P 表示平面区域的面积为8 ❑ √3 二、多项选择题: 本大题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 个选项是符合题目要求的, 全部选对的得5 分, 选对但不全的得2 分, 有选错的得0 分. 9. 关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差, 下列说法正确的是( ) A. 改变其中一个数据, 平均数和中位数都会发生改变 （北京）股份有限公司 B. 频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积相等 （北京）股份有限公司 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称, “ ” 且在右边拖尾, 则平均数大于中位数 D. 样本数据的方差越小, 说明样本数据的离散程度越小 10.下列选项正确的是( ) A. 对∀x∈R , x+ 1 x+1的最小值为1 B. 若ab<0, 则a b + b a 的最大值为−2 C. 若a>0,b>0, 则1 a + 1 b ≥ 4 ❑ √ab D. 若正实数x , y满足x+2 y=1, 则2 x + 1 y 的最小值为8 11.要得到y=sin x的图象, 可以将函数y=sin(2 x−π 5)的图象上所有的点( ) A. 向右平行移动π 5 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2倍 B. 向左平行移动π 10个单位长度, 再把所得各点横坐标扩大到原来的2 倍 C. 横坐标缩短到原来的1 2倍, 再把所得各点向右平行移动p 10个单位长度 D. 横坐标扩大到原来的2 倍, 再把所得各点向左平行移动p 5 个单位长度 12.如图, 在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中, 点M是线段BC1上运动, 则下列说法正 确的是( ) A. A1 M /¿平面AC D1 B. 几何体A1BC1−AC D1的外接球半径r=❑ √2 C. 异面直线CD与A1 M所成角的正弦值的取值范围为[ ❑ √3 3 , ❑ √2 2 ] D. 面A1 DM与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为[ ❑ √2 2 , ❑ √6 3 ] 第II 卷（非选择题部分，共90 分） 三、填空题: 本题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币2 次, 则恰好有一次正面朝上的概率为____________. 14. 已知一个圆锥侧面展开图为半径为2 的半圆, 则此圆锥的体积为____________. 15. 我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题: 今有北乡八千一百人, 西乡七千四百八 十八人, 南乡六千九百一十二人, 凡三乡, 发役二百五十人, 则北乡遣____________人. 16. 已知非零向量⃗ a, ⃗ b, ⃗ c满足⃗ a+⃗ b+⃗ c=⃗ 0,∨⃗ a−⃗ b∨¿∨⃗ a−⃗ c∨¿2, 则¿ ⃗ a∨+¿ ⃗ b∨⋅∨⃗ c∨¿的最 大值为____________. 四、解答题: 本题共6 小题, 共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本题满分10 分) 为了普及垃圾分类知识, 某校举行了垃圾分类知识考试. 试卷中只有两道 题目, 已知甲同学答对每题的概率都为p, 乙同学答对每题的概率都为q( p>q), 且在考试中每 （北京）股份有限公司 人各题答题结果互不影响. 已知每题甲、乙同时答对的概率为1 3, 恰有一人答对的概率为1 2. (I) 求p和q的值; (II) 试求两人共答对3 道题的概率. 18. ( 本题满分12 分) 已知函数f ( x)=A sin(ωx+φ)+B( A>0,ω>0,∨φ∨¿ π 2)的部分图象 如图所示. (I) 求f ( x)的解析式; （北京）股份有限公司 (II) 求f ( x)的单调递增区间, 若当x∈[−π 6 , π 3] 时, 求f ( x)的值域. 19.( 本题满分12 分) 已知△ABC的角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c, 角C= π 3 , 边长c=2, 设向量⃗ m=(a,b), ⃗ n=(sin B ,sin A ),⃗ p=(b−2,a−2). (I) 若⃗ m/¿ ⃗ n, 求△ABC的面积; (II) 若⃗ m⊥⃗ p, 求△ABC的面积. 20.( 本题满分12 分) 图1 是由矩形ADEB 、Rt △ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形, 其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60 ∘, 将其沿AB ,BC折起使得BE 与BF重合, 连结DG, 如图2 . (I ) 证明: 图2 中的CG/¿平面ABED; (II) 图2 中连接AE, 求AE与平面ABC所成角的正弦值. 21.( 本题满分12 分) 浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间, 采用简单随机抽样法抽取了 100 名学生, 对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位: 分钟）进行调查, 按平均每日体育锻炼 时间分组统计如下表: 分组 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ [150,180] 男生人数 2 16 18 18 6 3 女生人数 3 20 9 2 2 1 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120 “ ” 分钟的学生称为锻炼达人. (I) 若将频率视为概率, 估计该校3500 “ ” 名学生中锻炼达人有多少? (II) 从这100 “ ” 名学生的锻炼达人中按性别分层抽取8 人参加某项体育活动. (1)求男生和女生各抽取了多少人; (2)若从这8 人中随机抽取2 人作为组长候选人, 求抽取的2 人中男生和女生各1 人的概率. 22. ( 本题满分12 分) 设函数f ( x)=2a x 2−(a+b)x+b, 其中a>0,b为任意常数. (I) 若a=1, 且函数y=f ( x)在区间[0,1]上不单调, 求实数b的取值范围; (II) 如果不等式¿ f ( x)∨≤max {f (0),f (2)}在x∈[0,m]上恒成立, 求m的最大值.