2022 学年第一学期浙江省精诚联盟 10 月联考高二年级数学学科试题

2022 学年第一学期浙江省精诚联盟10 月联考高二年级数学学科试题 第I 卷（选择题部分, 共60 分） 一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合要求的. 1.在平面直角坐标系中, 直线x+❑ √3 y+1=0的倾斜角为( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5 π 6 2.如图, 在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中, 设⃗ AB=⃗ a,⃗ AD=⃗ b,⃗ A A1=⃗ c, 则⃗ B D1=¿ ( ) A. ⃗ a+⃗ b+⃗ c B. −⃗ a+⃗ b+⃗ c C. ⃗ a−⃗ b+⃗ c D. ⃗ a+⃗ b−⃗ c 3.过点P(−1,1)的直线l与连接A(3,3),B(−2,6) 的线段总有公共点(不包含端点), 则直线l的 斜率的取值范围是( ) A. (−5, 1 2) B. (−∞,−5)∪( 1 2 ,+∞) C. (−1 5 ,2) D. (−∞,−1 5)∪(2,+∞) 4.下列四个正方体图形中, A ,B , M , N , P分别为正方体的顶点或其所在棱的中点, 能得出 AB/¿平面MNP的图形是( ) 5.一条光线从点P(−1,5)射出, 经直线x−3 y+1=0反射后经过点(2,3), 则反射光线所在直线 的方程为( ) A. 2 x−y −1=0 B. 3 x−y −3=0 C. x−2=0 D. 4 x−y −5=0 6.在正四面体O−ABC中, M , N分别为OC和AB的中点, 则异面直线AM与CN所成角的余弦 值为( ) A. 2 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6 7.已知圆O经过三点A(0,1),B(−3,2),C(1,4), 则点P(m,2m−5)到圆O上任意一点的距离 的最小值是( ) A. ❑ √5 B. 2❑ √5 C. 2❑ √5−5 D. 3 ❑ √5 8.如图, 在四棱锥P−ABCD中, 底面ABCD是矩形, 侧面PAD是等腰直角三角形, 平面 PAD⊥ 平面ABCD , AD=2, AB=AP=❑ √2, 当棱PC上一动点M到直线BD的距离最小时, 过A , D , M做截面交PB于点N, 则四棱锥P−ADMN的体积是( ) A. 4 ❑ √2 27 B. ❑ √2 4 C. 10 ❑ √2 27 D. 7 ❑ √2 16 二、多项选择题: 本题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个 选项是符合要求的, 全部选对的得5 分, 选对但选不全的得2 分, 有选错的得0 分. 9. 已知圆M的一般方程为x 2+ y 2+6 x+8 y=0, 则下列说法正确的是( ) A. 圆M的圆心为(3,4) B. 圆M的半径为5 C. 点(−6,−8)不在圆M上 D. 圆M关于x−y −1=0对称 10. 已知空间向量⃗ a=(2,−2,1)，⃗ b=(3,0,4), 则下列说法正确的是( ) A. 向量⃗ c=(−8,5,6)与⃗ a, ⃗ b垂直 B. 向量⃗ d=(1,−4 ,−2)与⃗ a, ⃗ b共面 C. 若⃗ a与⃗ b分别是异面直线l1与l2的方向向量, 则其所成的角的余弦值为2 3 D. 向量⃗ a在向量⃗ b上的投影向量为(6,0,8) 11.如图所示, 边长为2 的等边△OAB从起始位置△O A1B1(O A1与y轴重合)绕着O点顺时针 旋转至OB与x轴重合得到△O A2B2, 在旋转的过程中, 下列说法正确的是( ) A. 边AB所在直线的斜率的取值范围是[−❑ √3,− ❑ √3 3 ] B. 边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是[2,4] C. 边A1B1与边A2B2 所在直线的交点为(3−❑ √3,3−❑ √3) D. 当AB的中垂线为x−y=0时, kOB=2−❑ √3 12.已知P是正方体ABCD−A1B1C1 D1的中心, 过点P的直线l 与该正方体的表面交于E , F两 点. 下列叙述正确的有( ) A. 点E , F到正方体6 个表面的距离分别为ei,f i(i=1,2,…,6), 则∑i=1 6 (ei+f i)为定值. B. 线段EF在正方体6 个表面的投影长度为ti(i=1,2,…,6), 则∑i=1 6 ti为定值. C. 正方体8 个顶点到直线l的距离分别为di(i=1,2,…,8), 则∑i=1 8 di为定值. D. 直线l与正方体12 条棱所成的夹角的αi(i=1,2,…,12), 则∑i=1 12 cos 2αi为定值. 第II 卷（非选择题部分，共90 分） 三、填空题: 本题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 13.已知向量⃗ a=(1,❑ √3,2), ⃗ b=( x ,−❑ √3,1) 若⃗ a⊥⃗ b, 则x=¿___________. 14.已知直线l1:3 x+4 y −5=0,l2:6 x+8 y+5=0 则l1与l2的距离d=¿___________. 15.点(2,2)到直线(2a+b)x+(a+b) y −(3a+2b)=0的距离最大时, a=¿___________. 16.在正三棱锥P−ABC中, AB=❑ √2 PB=4 ❑ √3, E为BC的中点, F为AE上靠近A的三等分 点, M 在平面ABC上, 且满足⃗ ME⋅⃗ MF=−3, N在△ABC的边界上运动, 则直线PM与PN所成角的 余弦值的取值范围是___________. 四、解答题: 本题共6 小题, 共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( 本题满分10 分) 求满足下列条件的直线l的一般式方程: (1) 经过直线l1:2 x−y+9=0,l2:3 x+2 y −4=0 的交点P, 且经过点(2,3); (2) 与直线l3:3 x−y=0垂直, 且点Q(2,−5)到直线l的距离为❑ √10. 18.( 本题满分12 分) 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1中, △ABC是等腰直角三角形, AC=BC=❑ √2B B1, 点E , D分别是AB , AC的中点, 求证: (1) A C1/¿平面B1CE; (2) A C1⊥平面A1 DE. 19.( 本题满分12 分) 已知动点M与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离的比为2 . (1) 求动点M的轨迹方程, 并说明轨迹的形状; (2) 已知A(0,1),B(0,−1), 求M A 2+M B 2的最大值. 20.( 本题满分12 分) 在△ABC中, A(−1,−3),∠B ,∠C的平分线所在的直线方程分别是 l1: y+1=0,l2: x+ y+1=0. (1) 求边BC所在直线的方程; (2) 求△ABC的内切圆的方程. 21.( 本题满分12 分) 如图, 在三棱锥P−ABC中, PB⊥AC , AB=BC. (1) 求证: PA=PC; (2) 若PA=AB=AC , PA与面PBC所成角的正弦值为 ❑ √21 7 , 求二面角P−AC −B 大小. 22. ( 本题满分12 分) 如图, 在四棱锥P−ABCD中, 平面ABCD⊥平面PBC, 平面ABP⊥平 面PBC , AB/¿ DC ,BC=DC=2 AB=2. (1) 求证: AB⊥平面PBC; (2) 若平面ADP与平面PBC的夹角π 4 , 求¿ PA∨+¿ PD∨¿的最小值.