2021-2022学年四川省树德中学高一下学期下月阶段性测试数学试卷

高一数学 2022-04 阶考第1页 共2 页 树德中学高2021 级高一下学期4 月阶段性测试数学试题 命题人、审题人：高一数学备课组 考试时间：120 分钟；满分：150 分 第I 卷（选择题） 一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5 分，共60 分） 1、   cos 240  的值为（ ） A． 1 2  B． 3 2  C．1 2 D． 3 2 2、若平面向量a 与b 的夹角为30 ,  2 a  ＝， 3 a b    ，则b  ＝（ ） A． 3 B．1 C．2 D．3 3、已知   3 sin 5     ，则 sin( )cos( ) sin 2                （ ） A． 4 5  B．4 5 C． 3 5  D．3 5 4、在 ABC △ 中，角 , , A B C 所对的边分别为, , a b c ，若  2 2 , a b c ab    则C （ ） A．6  B．3 或2 3  C．2 3  D．6 或5 6  5、若 2, x  则函数 4 2 y x x    的最小值为（ ） A．4 B．6 C．2 5 2  D．2 5 2  6、在 ABC △ 中，角 , , A B C 所对边分别为, , . a b c 若 cos cos , a A b B  则该三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 7、已知 π sin sin = 3           1，则 π sin = 6         （ ） A．1 2 B． 3 3 C．2 3 D． 2 2 8、已知 2 6 sin 7  ，   10 cos 5     ，且 3 0 4     ， 3 0 4     ，则sin （ ） A．9 15 35 B．11 10 35 C． 15 35 D． 10 35 9、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为75°， 30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC 等于( ) A．240( 3 ＋1)m B．180( 2 －1)m C．120( 3 －1)m D．30( 3 ＋1)m 10、已知正实数x，y 满足 2 4 x y   ，则 1 2 1 x y   的最小值是（ ） A．9 B．7 3 C．11 6 D．9 5 11、设G 是 ABC △ 的重心，且满足等式 7 sin 3sin 3 7 sin 0 A GA B GB C GC             ，则 B  （ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 12、在梯形ABCD 中， // AB CD ， 2 AB  ， 5 CD  ， 2 3 ABC    ，AC BD  ， 则tan ABD  （ ） ． A．2 3 3 B． 3 2 C． 3 5 D． 3 4 第II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13、函数 3π ( ) sin(2 ) 3cos 2 f x x x    的最小值为___________． 14、若   1 sin 2     ，   3 sin 5     ，则 2 2 sin sin    ___________. 15、 如图， 直径 4 AB  的半圆，D 为圆心， 点C 在半圆弧上， 3 ADC    ， 线段AC 上有动点P ，则DP BA    的取值范围为______． 16、在 ABC △ 中，若   7cos 9cos , A B C   则tanC 的最小值为______. 高一数学 2022-04 阶考第2页 共2 页 三、解答题（17 题满分10 分，18-22 题，每题满分12 分，共70 分） 17、已知， 0 2         ， ， 3 sin 4 5           ， 1 2 tan ． （1）求sin的值； （2）求   tan    的值． 18、在 ABC △ 中，a b c ，，分别是角 , A B C , 的对边，且   2cos cos tan tan 1 1 A C A C  . （1）求B 的大小； （2）若 15, 3 a c b    ，求 ABC △ 的面积． 19、 ABC △ 的内角A B C , , 的对边分别为, , a b c ，已知 2 B C bsin asinB  ＝ ． （1）求角A 的大小； （2）若 2 3 b c BAC  ＝, ＝, 平分线AD 交BC 于点D ，求AD 的长． 20、在 ABC △ 中， 2 AB  ， 1 AC ， 120o BAC   ，点E ，F 在BC 边上且BE BC      ，BF BC       . （1）若 1 3  ，求AE 的长； （2）若 4 AE AF      ，求1 1    的值. 21、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km, , C D 两点在半圆弧上， 且BC CD  ，设 COB    ； （1）当 π 12  时，求四边形ABCD 的面积. （2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当为何值时，观光道路 的总长l 最长，并求出l 的最大值. 22、已知函数 2 1 ( ) cos2 sin 1 2sin 2 2 x f x x x          ，其中xR . （1）求使得 1 ( ) 2 f x  的x 的取值范围； （2） ABC △ 为锐角三角形，O 为其外心, 2, BC  6 , 2 8 4 A f          令t AO BC     ，求实数t 的取值范围. 高一数学 2022-04 阶考第3页 共2 页 树德中学高2021 级高一下学期4 月阶段性测试数学试题参考答案 1-12：AACCB DBACD BA 13. 4  14. 3 10  15.  4,8 16. 4 2 7 17.（1） 0, 2          ， , 4 4 4             2 4 cos 1 sin 4 4 5                       ， sin sin sin cos cos sin 4 4 4 4 4 4                                           3 2 4 2 7 2 5 2 5 2 10      . （2） 0, 2          ，则由（1）可知， 2 2 cos 1 sin 10      ，tan 7  ， 1 tan 2   ，   1 7 tan tan 2 tan 3 1 1 tan tan 1 7 2                 . 18.（Ⅰ）由   2cos cos tan tan 1 1 A C A C  ，得 sin sin 2cos cos 1 1 cos cos A C A C A C         .∴  2 sin sin cos cos 1 A C A C  . ∴   1 cos 2 A C   .∴ 1 cos 2 B  .又0 B    ，∴ 3 B   . （Ⅱ）由 2 2 2 2 cos b a c ac B    ，得  2 2 3 a c ac b    ， 又 15, 3 a c b    ，∴ 4 ac  .∴ 1 1 3 sin 4 3 2 2 2 ABC S ac B      . 19.（1） 2 B C bsin asinB   ＝ ，∴由正弦定理可得 2 B C sinBsin sinAsinB  ＝ ， 0 sinB   ， 2 B C sin sinA   ＝ ， 180 A B C     ＝ ， sin cos 2 2 B C A   ＝ ， 2sin cos 2 2 2 A A A cos   ， 0 2 A cos   ， 1 sin 2 2 A   ， 60 A   ＝ ． （2） 2 3 60 b c A  = ，= ，= ， 1 3 3 2 2 ABC S b c sinA    ＝ ＝ ， 1 3 30 2 4 ABD S c AD sin AD     ＝ ＝ ， 1 1 30 2 2 ACD S b AD sin AD     ＝ ＝ ， ∴由3 1 3 3 4 2 2 AD AD  ＝ ， 可得 6 3 5 AD＝ ． 20.（1）设AB a    ，AC b    ，则 2 a   ， 1 b   ，因此 o cos120 1 a b a b      ， 所以   1 2 1 3 3 3 AE AB BE a b a a b                   ， 2 2 1 1 13 (16 1 4) 3 3 9 3 AE a b                ， （2）因为BE BC      ，所以     1 AE AB BE a b a a b                       ， 同理可得，   (1 ) AF AB BF a b a a b                       ， 所以   1 (1 ) b A a a b E AF                           4(1 )(1 ) (1 ) (1 )              4 7 5( )        ， ∴4 7 5( ) 4        ，即7 5( ) 0       ，同除以可得，1 1 7 5     . 21.（1）连结OD ，则 5 , 12 6 COD AOD       四边形ABCD 的面积为 1 1 5 6 2 1 2 1 1 sin 1 1 sin 2 12 2 6 4 4          （2）由题意，在 BOC △ 中， 2 OBC      ，由正弦定理，可知： 1 sin 2sin sin 2 sin( ) cos cos 2 2 2 BC OB BC CD              同理在 AOD △ 中， , 2 OAD DOA         ，由正弦定理，可知： sin 2 2cos sin( 2 ) sin sin DA OD DA            2 2 4sin 2cos 2 4sin 2(1 2sin ),0 2 2 2 2 l                令 2 sin (0 ) 2 2 t t    2 2 2 1 2 4 2(1 2 ) 4 4 4 4( ) 5 2 l t t t t t           1 2 t  时，即 3   ，l 的最大值为5 22.解： （1）由题意得， 2 1 2 ( ) cos2 1 2sin sin sin 2 2 2 2 4 x f x x x x                   令 2 1 sin 2 2 4 2 x          ，得 2 sin 2 4 2 x          即 3 2 2 2 4 4 4 k x k           ，故x 的取值范围为 , , . 4 k k k            Z （2） 6 , 2 8 4 A f          则 3 sin , 2 A  又0 2 A    ， 则 , 3 A     2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 t AO BC AO AC AB AC AB b c                       由正弦定理，可知 4 2 , sin 3 a R A   则 4 4 sin , sin , 3 3 b B c C      2 2 8 4 sin sin 3sin 2 . 3 3 3 t B C B            又 ABC △ 为锐角三角形，则 , 6 2 B     2 4 2 , 3 3 3 B        则   3 3 sin 2 2,2 . 2 3 2 B t             ，