高中物理新教材同步选择性必修第一册 主题2 第Ⅰ部分 4　单摆

4 单摆 [学科素养与目标要求] 物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公 式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法. 科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.2.引导学生对摆球进行受力分析，将单 摆纳入简谐运动模型. 科学探究：1.观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单 摆周期的因素.2.会测量当地的重力加速度. 一、单摆及单摆的回复力 1.单摆 (1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装 置就叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型. (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置. 2.单摆的回复力 (1)回复力的来源：如图1 所示，摆球的重力沿圆弧切线方向(填“切线方向”或“法线方 向”)的分力提供回复力. 图1 (2)回复力的特点：在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x，即小球所受的回 复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运 动. 二、单摆的周期 1.单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填 “有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越长(填 “越长”“越短”或“不变”). 2.单摆的周期公式T＝2π. 三、用单摆测定重力加速度 1.实验原理 由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长 l 和周期 T ，即可求出当地的重力加速度. 2.数据处理 (1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加 速度，然后取平均值. (2)图象法：分别以l 和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝T 2 的图象，图象的斜率k＝，进 而求出重力加速度g. 1.判断下列说法的正误. (1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.( × ) (2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.( × ) (3)制作单摆的摆球越大越好.( × ) (4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.( × ) 2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2 倍，振幅变 为原来的3 倍，摆长变为原来的8 倍，摆球质量变为原来的2 倍，它的周期变为______. 答案 2T 一、单摆的回复力 (1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？ (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 答案 (1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向 的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复 力. (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零. 1.单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力. 2.单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ 提供使摆球振动的回复力. 3.回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简 谐运动. 注意 (1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零. (2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力. 例1 图2 中O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A 点，此时细线处于张紧 状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C 之间来回摆动，B 点为运动中的最低位置， 则在摆动过程中( ) 图2 A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B.摆球在A 点和C 点处，速度为零，合力与回复力也为零 C.摆球在B 点处，速度最大，细线拉力也最大 D.摆球在B 点处，速度最大，回复力也最大 答案 C 解析 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A 错误；摆球在摆动过程中，在最高点 A、C 处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B 处，速度最大，回复力为零，细 线的拉力最大，C 正确，B、D 错误. 二、单摆的周期 单摆的周期公式为T＝2π. (1)单摆的摆长l 等于悬线的长度吗？ (2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 答案 (1)不等于.单摆的摆长l 等于悬线的长度与摆球的半径之和. (2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g 有关，不同星球表面的重力加速度可能不同. 1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟. 2.单摆的周期公式：T＝2π. 3.对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相 差0.01%). (2)公式中l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l 线＋r 球. (3)公式中g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定. (4)周期T 只与l 和g 有关，与摆球质量m 及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期. 例2 (2018·黄埔区高二检测)某单摆由1 m 长的摆线连接一个直径2 cm 的铁球组成，关于 单摆周期，下列说法中正确的是( ) A.用大球替代小球，单摆的周期不变 B.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小 C.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大 答案 C 解析 用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2π 可知，单摆的周期变大，故 A 错误；由单摆周期公式T＝2π 可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关， 摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B 错误；用等大铜球替代铁球，单摆摆长不变，由 单摆周期公式T＝2π 可知，单摆的周期不变，故C 正确；将单摆从赤道移到北极，重力加 速度g 变大，由单摆周期公式T＝2π 可知，单摆周期变小，故D 错误. 例3 如图3 所示，三根细线在O 点处打结，A、B 端固定在同一水平面上相距为l 的两点 上，使△AOB 成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC 线长也是l，下端C 点系着一个小球(半 径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)( ) 图3 A.让小球在纸面内振动，周期T＝2π B.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π C.让小球在纸面内振动，周期T＝2π D.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π 答案 A 解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让 小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(l＋l)，周期T′＝2π，A 正确，B、C、D 错误. 三、实验：用单摆测定重力加速度 1.实验原理 由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l 和周期T，即可求出当地的重力加速度. 2.实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺、游标卡尺. 3.实验步骤 (1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆. (2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自 由下垂.在单摆平衡位置处做上标记. (3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋. (4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时， 测出单摆完成30 次(或50 次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期. (5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格. 4.数据处理 (1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g＝中求出g 值，最后求出g 的平均 值. 设计如下所示实验表格： 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g 的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 (2)图象法：由T＝2π 得T2＝l，以T2为纵坐标，以l 为横坐标作出T2－l 图象(如图4 所示).其 斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g. 图4 5.注意事项 (1)选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属 球. (2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小. (3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆. (4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n 次全振动的时间t. 例4 某同学利用如图5 所示的装置测量当地的重力加速度.实验步骤如下： 图5 A.按装置图安装好实验装置； B.用游标卡尺测量小球的直径d； C.用米尺测量悬线的长度L； D.让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球 每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20 时，停止计时，测得时间为t； E.多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D； F.计算出每个悬线长度对应的t2； G.以t2为纵坐标、L 为横坐标，作出t2－L 图线. 结合上述实验，完成下列问题： (1)用游标为10 分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图6 所示，读出小球直径d 为________ cm. 图6 (2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L 图线如图7 所示.根据图线拟合得到方程t2＝ 404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g＝_____ m/s2.(取π2＝9.86，结果保留3 位有 效数字) 图7 (3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________. A.不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时 B.开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数 C.不应作t2－L 图线，而应作t－L 图线 D.不应作t2－L 图线，而应作t2－(L＋d)图线 答案 (1)1.52 (2)9.76 (3)D 解析 (1)游标卡尺主尺的示数是1.5 cm＝15 mm，游标尺示数是2×0.1 mm＝0.2 mm，小球 的直径d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm＝1.52 cm. (2)根据单摆周期公式T＝2π 得： ＝2π，又l＝L＋，则t2＝400π2＝400π2＋. 由题意知斜率k＝404.0，则＝404.0， 代入π2＝9.86 得g≈9.76 m/s2. (3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长，故t2－ L 图象不过原点，在纵轴上截距不为零，故D 正确. [学科素养] 通过本题，学生回顾了游标卡尺的读数方法，提高了根据实际情况设计实验步 骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加速度的本领.在解题过程中，展现了实验探究过程中交 流、反思的能力.本题着重体现了“实验探究”的学科素养. 1.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图8 所示，以下说法正确 的是( ) 图8 A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 答案 CD 解析 由题图读出t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零， 故A 错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大， 故B 错误；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C 正确；t4时刻位移 为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D 正确. 2.(单摆的周期公式)(2018·新余一中高二下学期段考)如图9 所示，摆长为l 的单摆放在倾角为 θ 的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为( ) 图9 A.T＝2π B.T＝2π C.T＝2π D.以上答案都不对 答案 C 3.(用单摆测定重力加速度)(2018·西安中学高二第二学期期中)某同学在做“利用单摆测重力 加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用秒表记录了单 摆全振动50 次所用的时间，如图10 所示，则： 图10 (1)该摆摆长为________ cm，秒表所示读数为________ s. (2)如果测得的g 值偏小，可能的原因是( ) A.测摆线长时摆线拉得过紧 B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C.开始计时时，秒表过迟按下 D.实验中误将49 次全振动记为50 次 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T，从而得出对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成如图11 所示直线，并求得该直 线的斜率为k，则重力加速度g＝________(用k 表示). 图11 答案 (1)98.50 75.2 (2)B (3) 一、选择题 考点一 单摆及单摆的回复力 1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A.摆线质量不计 B.摆线不可伸缩 C.摆球的直径比摆线长度小得多 D.只要是单摆的运动就一定是简谐运动 答案 ABC 解析 只有在摆角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动. 2.关于单摆，下列说法中正确的是( ) A.摆球运动的回复力是它受到的合力 B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的 C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D.摆球经过平衡位置时，加速度为零 答案 B 解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错误；摆球经过最低点时，回复力为 0，但合力提供向心力，C、D 错误；由简谐运动特点知B 正确. 考点二 单摆的周期公式 3.(多选)如图1 所示为单摆的振动图象，取g＝10 m/s2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物 理量是( ) 图1 A.摆长 B.回复力 C.频率 D.振幅 答案 ACD 解析 由题图知，振幅为A＝3 cm，单摆的周期为T＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π，得摆 长l＝1 m，频率f＝＝0.5 Hz，摆球的回复力F＝－mg，由于摆球的质量未知，无法确定回 复力，A、C、D 正确. 4.如图2 所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是( ) 图2 A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小 B.把摆角α 变小，其他条件不变，则单摆的周期变小 C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长 D.将单摆摆长增加为原来的2 倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T 答案 C 解析 根据单摆的周期公式T＝2π 知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2 倍，周期变为原来的倍，故A、B、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加 速度，由周期公式T＝2π 知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C 正确. 5.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速 度减为原来的，则单摆振动的( ) A.周期不变，振幅不变 B.周期不变，振幅变小 C.周期改变，振幅不变 D.周期改变，振幅变大 答案 B 解析 由单摆的周期公式T＝2π 可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C、D 错误；由能量 守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小， 则最大高度减小，知振幅减小，选项B 正确，A 错误. 6.(多选)(2018·屯溪一中高二第二学期期中)如图3 所示，一单摆悬于O 点，摆长为L，若在 O 点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A 处释放，小球将在A、B、C 间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是( ) 图3 A.由于机械能守恒，可得摆角大小不变 B.A 和C 两点在同一水平面上 C.周期T＝2π(＋) D.周期T＝π(＋) 答案 BD 7.(多选)(2018·西城区高二检测)如图4 甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向 右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图象如图乙所示.不计空 气阻力，g 取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( ) 图4 A.单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝8sin (πt) cm B.单摆的摆长约为1 m C.从t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D.从t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 答案 AB 解析 由振动图象可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝得到圆频率ω＝π rad/s，则单 摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝Asin ωt＝8sin (πt) cm，故A 正确.由公式T＝2π，解 得l≈1 m，故B 正确.从t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能 减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故 C、D 错误. 二、非选择题 8.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量 窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子 上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5 所示，从 小球第1 次通过图中的B 点开始计时，第21 次通过B 点用时30 s；球在最低点B 时，球心 到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g 取π2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T ＝________ s；房顶到窗上沿的高度h＝________ m. 图5 答案 3 3 解析 n＝×(21－1)＝10，T＝＝3 s， T＝＋＝(2π＋2π)， 解得h＝3 m. 9.(2018·北京101 中学高二下学期期中)根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速 度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆. (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图6 所示，读数为________mm. 图6 (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________. A.摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的 角度 D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开 始位置时停止计时，此时时间间隔Δt 即为单摆周期T E.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开 始计时，记下摆球做50 次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ 答案 (1)18.6 (2)ABE 解析 (1)由题图游标卡尺可知，其示数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm. (2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故