高中物理新教材同步选择性必修第一册 主题2 第Ⅰ部分 2　简谐运动的描述

2 简谐运动的描述 [学科素养与目标要求] 物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.知道简谐运动的数学表达式，知 道描述简谐运动的基本物理量. 科学思维：理解周期和频率的关系，能够结合简谐运动的图象进行有关判断. 科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义. 一、描述简谐运动的物理量 1.振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离. 2.全振动(如图1 所示) 图1 类似于O→B→O→C→O 的一个完整的振动过程. 3.周期和频率 (1)周期 ①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间. ②单位：国际单位是秒 (s) . (2)频率 ①定义：单位时间内完成全振动的次数. ②单位：赫兹 (Hz) . (3)T 和f 的关系：T＝. 4.相位 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态. 二、简谐运动的表达式 简谐运动的一般表达式为x＝A sin( ωt ＋ φ ) . 1.x 表示振动物体相对于平衡位置的位移；t 表示时间. 2.A 表示简谐运动的振幅. 3.ω 叫做简谐运动的“圆频率 ”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝ 2π f (与周期T 和频率f 的关 系). 4.ωt ＋ φ 代表简谐运动的相位，φ 表示t＝0 时的相位，叫做初相位 ( 或初相 ) . 5.相位差 若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝( ωt ＋ φ 2) － ( ωt ＋ φ 1)＝φ2－ φ 1. 1.判断下列说法的正误. (1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的.( × ) (2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量.( × ) (3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间. ( × ) (4)按x＝5sin (8πt＋π) cm 的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s.( √ ) 2.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的 振动方程是x＝__________________________ m. 答案 0.008sin (4πt＋) 一、描述简谐运动的物理量 如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O 点对称. (1)振子从某一时刻经过O 点计时，至下一次再经过O 点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到A 点和B 点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成 一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 答案 (1)不是.经过一个周期振子一定从同一方向经过O 点，即经过一个周期，位移、速度 第一次均与初始时刻相同. (2)周期相同，振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关.位移相同，均为零.路程不相同， 一个周期内振子通过的路程与振幅有关. 1.对全振动的理解 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振 动. (2)全振动的四个特征： ①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同. ②时间特征：历时一个周期. ③路程特征：振幅的4 倍. ④相位特征：增加2π. 2.对周期和频率的理解 (1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝，即周期越大，频率越小，振动越慢. (2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关. 3.对振幅的理解 (1)振动物体离开平衡位置的最大距离. (2)振幅与位移的区别 ①振幅等于最大位移的数值. ②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的. ③位移是矢量，振幅是标量. (3)路程与振幅的关系 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅. ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅. ③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅. 例1 如图2 所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B 间振动， 且AB＝20 cm，振子由A 首次到B 的时间为0.1 s，求： 图2 (1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由A 到O 的时间； (3)振子在5 s 内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小. 答案 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm 解析 (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm， t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s. 由f＝得f＝5 Hz. (2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A 到O 的时间与振子由O 到B 的时间相等，均为0.05 s. (3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm.振子在1 个周期内通过的路程为4A＝40 cm，故在t＝5 s＝25T 内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm.5 s 内振子振动了25 个周期，故5 s 末振子仍 处在A 点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm. 例2 (多选)(2018·嘉兴市高二第一学期期末)如图3 所示为一质点的振动图象，曲线满足正 弦变化规律，则下列说法中正确的是( ) 图3 A.该振动为简谐振动 B.该振动的振幅为10 cm C.质点在前0.12 s 内通过的路程为20 cm D.0.04 s 末，质点的振动方向沿x 轴负方向 答案 AD 解析 该图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故A 正确；由题图 可知该振动的振幅为5 cm，故B 错误；由题图可知质点振动的周期为0.08 s，0.12 s＝1T， 质点通过的路程为6A＝30 cm，故C 错误；根据振动规律可知，0.04 s 末质点的振动方向沿x 轴负方向，故D 正确. 二、简谐运动表达式的理解 2.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ 时，Δt＝ ＝nT，振子位移相同，每经过周期T 完成一次全振动. 3.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝ A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ 时，sin (ωt＋ φ)＝0，即x＝0. 例3 (多选)一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x 的单位 为m，时间t 的单位为s.则( ) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t＝0.2 s 时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B 的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋)，则A 滞后B 答案 CD 解析 由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B 错误；在t＝0.2 s 时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零， 故C 正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B 超前A，或者说A 滞后B， 故D 正确. 三、简谐运动的周期性和对称性 如图4 所示 图4 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD. ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO ＝tOC＝tCO. (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反. ②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反. (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C 点)时，位移相同. ②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D)时，位移大小相等、方向相反. 例4 如图5 所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B、C 两点间做简谐运动，在t＝0 时 刻，振子从O、B 间的P 点以速度v 向B 点运动；在t＝0.2 s 时，振子速度第一次变为－v； 在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v，已知B、C 之间的距离为25 cm. 图5 (1)求弹簧振子的振幅A； (2)求弹簧振子的振动周期T 和频率f. 答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz 解析 (1)弹簧振子以O 点为平衡位置，在B、C 两点间做简谐运动，所以振幅是B、C 之间 距离的， 所以A＝ cm＝12.5 cm. (2)由简谐运动的对称性可知从P 到B 的时间与从B 返回到P 的时间是相等的， 所以tBP＝ s＝0.1 s 同理可知：tPO＝ s＝0.15 s， 又tPO＋tBP＝ 联立得：T＝1 s，所以f＝＝1 Hz. 1.(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图6 所示，下列叙述中正确的 是( ) 图6 A.质点的振动频率为4 Hz B.在10 s 内质点经过的路程为20 cm C.在5 s 末，质点做简谐运动的相位为π D.t＝1.5 s 和t＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 cm 答案 BD 解析 由题图振动图象可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故A 错误；做简谐运动 的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm，10 s 为2.5 个周期，故质点经过的路程为20 cm，故B 正确；由图象知位移与时间的关系为x＝2sin(t) cm.当t＝5 s 时，其相位为×5＝π， 故C 错误；在1.5 s 和4.5 s 两时刻，质点位移相同，x′＝2sin(×1.5) cm＝ cm，故D 正确. 2.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π) cm 的规律振动. (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相； (2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差. 答案 (1)0.25 s 4 Hz 5 cm (2)π 解析 (1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝0.25 s， f＝＝4 Hz.由x1＝5sin(8πt＋π) cm 知A＝5 cm，φ1＝ (2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1 得Δφ＝π－＝π. 3.(简谐运动的分析)如图7 所示为A、B 两个简谐运动的位移—时间图象.请根据图象回答： 图7 (1)A 的振幅是______ cm，周期是________ s；B 的振幅是______cm，周期是______s. (2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在t＝0.05 s 时两质点的位移分别是多少？ 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA＝0.5sin(5πt＋π) cm xB＝0.2sin(2.5πt＋) cm (3)xA＝－ cm xB＝0.2sin π cm. 解析 (1)由题图知：A 的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B 的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s. (2)t＝0 时刻A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝ 5π rad/s.则A 简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0 时刻B 中振动的质点从正向最 大位移处开始沿负方向振动，φB＝，由TB＝0.8 s 得ωB＝＝2.5π rad/s，则B 简谐运动的表达 式为xB＝0.2sin(2.5πt＋) cm. (3)将t＝0.05 s 分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，xB ＝0.2sin(2.5π×0.05＋) cm＝0.2sin π cm. 4.(简谐运动的周期性和对称性)如图8 所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速 度通过a、b 两点，经历时间tab＝1 s，过b 点后再经t′＝1 s 质点第一次反向通过b 点.O 点为 平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅. 图8 答案 4 s 4 cm 解析 简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b 两点时的速度相同，根据 简谐运动的对称性，可知质点从b 点返回a 点所用的时间必与从a 点到b 点所用的时间相同， 即tba＝tab＝1 s，质点从a 点经最左端位置d 再返回a 点所用的时间tada必与质点从b 点经最 右端位置c 再返回b 点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s. 综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s.由题图和简谐运动的对称性可知， 质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8 cm＝16 cm.所以质点的振幅为A ＝＝4 cm. 一、选择题 考点一 描述简谐运动的物理量 1.(2018·宝鸡高二检测)如图1 所示，O 点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C 间做无摩擦 的往复运动.若小球从C 点第一次运动到O 点历时0.1 s，则小球振动的周期为( ) 图1 A.0.1 s B.0.2 s C.0.3 s D.0.4 s 答案 D 解析 小球从C 点第一次运动到O 点的时间为0.1 s，对应的时间为一个周期的，故小球振 动的周期为0.4 s，D 正确. 2.如图2 所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A 点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s 振子第1 次到达O 点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm， 则释放振子后，振子第1 次到达O 点所需的时间为( ) 图2 A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s 答案 A 解析 简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1 次 到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，故A 正确. 3.关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是( ) A.运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4 倍 B.运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2 倍 C.运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3 倍 D.运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4 倍 答案 A 解析 运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅 的4 倍，故A 正确；例如：振子从一端开始运动，经过半个周期，则振子恰好到达另一端 点，位置变化，故B 错误；若从最大位置与平衡位置之间的某点开始运动，运动周期时由 于速度不是均匀变化的，路程并不等于振幅的3 倍，故C 错误；只有振子振动一个周期时， 路程才等于振幅的4 倍，例如：回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振 幅的4 倍，故D 错误. 4.如图3 所示，弹簧振子在A、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，A、B 间距离是20 cm，从 A 到B 运动时间是2 s，则( ) 图3 A.从O→B→O 振子做了一次全振动 B.振动周期为2 s，振幅是10 cm C.从B 开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm D.从O 开始经过3 s，振子处在平衡位置 答案 C 解析 振子从O→B→O 只完成了半个全振动，A 错误；从A→B 振子也只是完成了半个全振 动，所以振动周期是4 s，B 错误；振幅A＝ cm＝10 cm，6 s＝T，所以振子经过的路程为 6A＝60 cm，C 正确；从O 开始经过3 s，振子处在最大位移处(A 或B)，D 错误. 5.一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图象如图4 所示，由图可知( ) 图4 A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过1 s 通过的路程总是2 cm C.0～3 s 内，质点通过的路程为6 cm D.t＝3 s 时，质点的振幅为零 答案 C 解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A 错误；质 点在1 s 即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B 错误；因为t＝0 时质点在最大 位移处，0～3 s 为T，质点通过的路程为3A＝6 cm，所以C 正确；振幅等于质点偏离平衡位 置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D 错误. 6.如图5 所示，物体A 和B 用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A 的质量为m，B 的质量为 M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B 的绳突然断开后，物体A 将在竖直方向上做简谐运动， 则A 振动的振幅为( ) 图5 A. B. C. D. 答案 A 解析 轻绳断开前，弹簧的伸长量为x1＝.若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2＝， 此位置为A 在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A 振动的振幅为x1－x2＝－＝，故A 正 确. 考点二 简谐运动的表达式 7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点( ) A.第1 s 末与第3 s 末的位移相同 B.第1 s 末与第3 s 末的速度相同 C.第3 s 末与第5 s 末的位移方向相同 D.第3 s 末与第5 s 末的速度方向相同 答案 AD 解析 根据x＝Asin t 可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图象如图所示，图象 切线的斜率为正，表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同， 但切线的斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位 移方向相反，但两点切线的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确. 8.(多选)物体A 做简谐运动的振动方程是xA＝3sin m，物体B 做简谐运动的振动方程是xB＝ 5sin m.比较A、B 的运动( ) A.振幅是矢量，A 的振幅是6 m，B 的振幅是10 m B.周期是标量，A、B 周期相等，都为100 s C.A 振动的频率fA等于B 振动的频率fB D.A 的相位始终超前B 的相位 答案 CD 解析 振幅是标量，A、B 的振幅分别为3 m、5 m，A 错；A、B 的周期均为T＝＝ s＝ 6.28×10－2 s，B 错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C 对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D 对. 9.(多选)如图6 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以 竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin(2.5πt) m.t＝0 时刻，一小球从距 物块平衡位置h 高处自由落下；t＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的 大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( ) 图6 A.h＝1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s 内物块运动的路程是0.2 m D.t＝0.4 s 时，物块与小