2019年高考数学试卷（文）（天津）（解析卷）

1/23 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8 小题，每小题5 分共40 分。 参考公式： ·如果事件A，B 互斥，那么 . ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 ， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 最大值为 的 1/23 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3.设 “ ，则 ” “ 是 ” A. 充分而不必要条件 的 2/23 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 5.已知 ， ， ，则 的大小关系为 A. B. C. D. 6.已知抛物线 的焦点为 ，准线为.若与双曲线 的两条渐近线分别交于 点A 和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 . 2/23 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 A. -2 B. C. D. 2 3/23 8.已知函数 若关于 方程 恰有两个互异的实数解， 则 的取值范围为 A. B. C. D. 绝密★启用前 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12 小题，共110 分。 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 9. 是虚数单位，则 的值为__________. 10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________. 11. 曲线 在点 处的切线方程为__________. 12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 13. 设 ， ， ，则 的最小值为__________. 14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上， 且 ，则 __________. 三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 的 3/23 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分 层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为 的 4/23 . “ 享受情况如右表，其中 ” “ 表示享受，×”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 “ 为事件抽取的2 ” 人享受的专项附加扣除至少有一项相同，求事件 发生的概率. 16. 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平 面 ， ， ， ， （Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 4/23 ； （Ⅱ）求证： 平面 ； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 5/23 18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 求 . 19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为 原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线相切，圆 心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. 20. 设函数 ，其中 . （Ⅰ）若 ，讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ， （i）证明 恰有两个零点 （ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 ， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 5/23 【分析】 先求 ，再求 。 【详解】因为 ， 所以 . 故选D。 【点睛】 6/23 集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、 坐标系、韦恩图等进行运算． 2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值。 由 ，得 ， 所以 。 故选C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 3.设 “ ，则 ” “ 是 ”的 6/23 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 7/23 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 求出 的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】 等价于 ，故 推不出 ； 由 能推出 。 “ 故 ” “ 是 ”的必要不充分条件。 故选B。 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断； (2)集合法：根据由p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个 方法特别适合以否定形式给出的问题． 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 7/23 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 8/23 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 【详解】 ， 结束循环，故输出 故选B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执 行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化； ③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 5.已知 ， ， ，则 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用利用 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 ； ； 。 故 。 故选A。 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。 6.已知抛物线 的焦点为 ，准线为.若与双曲线 的两条渐近线分别交于 点A 和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 。 8/23 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 9/23 【分析】 只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ， 故得 ， 所以 ， ， ， 所以 。 故选D。【点睛】双曲线 的离心率 . 7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 A. -2 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根据函数性质逐步得出 值即可。 【详解】 为奇函数，可知 ， 由 可得 ； 9/23 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ， 由 的最小正周期为 可得 ， 由 ，可得 ， 所以 ， 。 故选C。 10/23 8.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解， 则 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 画出 图象及直线 ，借助图象分析。 【详解】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方， 或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求。 即 ，即 ， 或者 ，得 ， ，即 ，得 ， 所以 的取值范围是 。 故选D。 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交 点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。 绝密★启用前 第Ⅱ卷 注意事项： 【 10/23 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12 小题，共110 分。 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 11/23 9. 是虚数单位，则 的值为__________. 【答案】 【解析】【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 【详解】解法一： 。 解法二： 。 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形 式，再根据题意求解． 10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 通过因式分解，解不等式。 【详解】 ， 即 ， 即 ， 故 的取值范围是 。 【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元 二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化 正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 11/23 11. 曲线 在点 处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 12/23 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。【详解】 ， 当 时其值为 ， 故所求的切线方程为 ，即 。 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 得切点(x0，y0)，进而 确定切线方程． 12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】四棱锥的高为 ， 故圆柱的高为，圆柱的底面半径为 ， 故其体积为 。 12/23 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 13. 设 ， ， ，则 的最小值为__________.【答案】 . 【解析】 【分析】 13/23 把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。 【详解】 ， 等号当且仅当 ，即 时成立。 故所求的最小值为 。 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。 14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上， 且 ，则 __________. 【答案】 . 【解析】 【分析】 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解：解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ， 因为 ，故四边形 为菱形。 因为 ， ，所以 ，即 . 因为 ， 所以 . 13/23 14/23 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。 因为 ∥ ， ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以直线 的斜率为 ，其方程为 ， 直线 的斜率为 ，其方程为 。 由 得 ， ， 所以 。 所以 。 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于 建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。 三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分 14/23 层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为 .享受情况如 “ 右表，其中 ” “ 表示享受，×”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采访. 15/23 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 “ 为事件抽取的2 ” 人享受的专项附加扣除至少有一项相同，求事件 发生的概率. 【答案】（I）6 人，9 人，10 人； （II）（i）见解析；（ii） . 【解析】 【分析】 （I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等 的，结合样本容量求得结果； （II）（I）根据6 人中随机抽取2 人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6 人，9 人，10 人. （II）（i）从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为 , , , ,共15 种； 16/23 （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , ,共11 种， 所以，时间M 发生的概率 . 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公 式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 值. 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.【详解】(Ⅰ) 在 中，由正弦定理 得 ， 又由 ，得 ，即 . 的 16/23 又因为 ，得到 ， . 由余弦定理可得 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ， 从而 ， . 17/23 故 . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平 面 ， ， ， ， （Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ； （Ⅱ）求证： 平面 ； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） . 【解析】【分析】 （I）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判 定定理证得结果； （II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质 得到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得 结果. 17/23 【详解】（I）证明：连接 ，易知 ， ， 18/23 又由 ，故 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，故 ， 又已知 ， ， 所以 平面 . （III）解：连接 ，由（II）中 平面 ， 可知 为直线 与平面 所成的角. 因为 为等边三角形， 且 为 的中点， 所以 ，又 ， 在 中， ，所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基 础知识，考查空间想象能力和推理能力. 18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， . 18/23 （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 求 . 【答案】（I） ， ； （II） 19/23 【解析】 【分析】 （I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差 数列和等比数列的通项公式； （II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合 等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【详解】（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 依题意，得 ，解得 ， 故 ， ， 所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ； （II） ， 记 ① 则 ② ② ①得， ， 所以 . 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基 19/23 本方法和运算求解能力，属于中档题目. 19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为 原点）. 20/23 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线相切，圆 心 在直