陕西省西安市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

1 西安市第一中学2021-2022 学年度第一学期期中考试 高二数学试题 命题人：孙丽荣 一、选择题： （本大题共12 小题， 每小题3 分， 共36 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.数列  , 11 , 2 2 , 5 , 2 ，则 5 2 是该数列的( ) A．第6 项 B．第7 项 C．第10 项 D．第11 项 2.在△ABC 中，若acos 2 ＋ccos 2 ＝2 3 b，那么a，b，c 的关系是( ) A．a＋b＝c B．a＋c＝2b C．b＋c＝2a D．a＝b＝c 3.已知x≥2 5 ，则f(x)＝ 4 2 5 4 2    x x x 有( ) A．最大值 2 5 B．最小值 4 5 C．最大值1 D．最小值1 4.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰： “阴阳之数，日月之法， 十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物 复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20 位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂， 其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100 岁)，其余19 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年 龄为 A.94 岁 B.95 岁 C.96 岁 D.98 岁 5.设 n S 是等差数列 n a 的前n 项和，若 3 1 6 3  S S ，则 12 6 S S 等于( ) A 10 3 B． 3 1 C．8 1 D．9 1 6.数列 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( , , 1 3 1 3 , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2         n n  ，的前10 项和为( ) A．55 17 B． 12 11 11 C． 132 43 11 D． 132 89 11 7.在△ABC 中， 已知(b＋c)∶ (c＋a)∶ (a＋b)＝4∶ 5∶ 6， 则sinA∶ sinB∶ sinC 等于( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 8.在△ABC 中，∠ABC＝4 ，AB＝ 2 ，BC＝3，则sin∠BAC 等于( ) A． 10 10 B． 5 10 C． 10 10 3 D． 5 5 9.若不等式ax 2＋bx＋c>0 的解集是(－4,1).则不等式b(x 2－1)＋a(x＋3)＋c>0 的 解为( ) A．(－3 4 ，1) B．(－∞，1)∪( 3 4 ，＋∞) C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 10.若正数x，y 满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y 的最小值是( ) A．5 24 B．5 28 C．5 D．6 11.若不等式组               a y x y y x y x 0 2 2 0 ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A． 3 4  a B． 1 0  a C． 3 4 1  a D． 1 0  a 或 3 4  a 12.数列中 n a ， n a ＝－2n 2＋29n＋3，则此数列中最大项的值是( ) A．107 B．108 C． 8 1 108 D．109 2 二．填空题： （本大题4 小题每小题5 分，共20 分） 13.若在△ABC 中， A＝60°， b＝1， S△ABC＝ 3 ， 则 C B A c b a sin sin sin     ＝__________. 14.已知数列 n a 是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，则a11 的值为_______． 15.若不等式x 2－ax＋1≥0 对一切x∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 16. 函数 1 ) 1 ( log    x y a (a>0, 且a 1) 的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数 y=mx+n 的图象上，其中m>0,n>0,则 n m 2 1  的最小值为________． 三．解答题： （本大题4 小题共44 分，要求写出必要的推理过程） 17.(本小题满分8 分) 已知a，b，c 分别为 三个内角A，B，C 的对边，c＝ 3 asinC－ccosA. （1）求A; （2）若a＝2， 的面积为 3 ，求b，c. 18.(本小题满分8 分) 如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°， 求S 四边形ABCD ． 19.(本小题满分8 分) 已知               0 5 2 0 4 0 2 y x y x y x 求： (1) z＝x 2＋y 2－10y＋25 的最小值； (2 )z ＝ 1 1 2   x y 的取值范围． 20.(本小题满分10 分) 设函数f(x)＝mx 2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0 恒成立，求m 的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求m 的取值范围． 21.(本小题满分10 分) 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N *)，公比q∈(0，1)， 且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3 与a5 的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n 项和Sn； (3)是否存在k∈N *，使得S1 1＋S2 2＋…＋Sn n＜k 对任意n∈N *恒成立， 若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由． 西安市第一中学2021-2022 学年度第一学期期中考试 高二数学试题答案解析 1.【答案】B 【解析】由an＝ ，解得n＝7. 2.【答案】B 【解析】 cos2 ＝ ，cos2 ＝ ，代入条件等式， 得a＋c＋acosC＋ccosA＝3b， a＋c＋a· ＋c· ＝3b， 整理，得a＋c＝2b. 3.【答案】D 【解析】 f(x)＝ ＝ ＝ ≥1. 当且仅当x－2＝ ，即x＝3 时等号成立． 4.【答案】B 解析 设年长者的年龄为t， 由已知，其余19 位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d＝1 的等差数列， 设最小者的年龄为a1， 由“遂千百五二十岁”知，一遂就是1 520 岁(一遂有20 部，一部有4 章，一章有19 岁， 且 20 × 4 × 19 ＝ 1 520). 又因为t∈(90,100)，所以t＝19×5＝95.故选B 5.【答案】A 【解析】设S3＝m，∵ ，∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m， 由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 为等差数列，得 S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m， ∴S6＝3m，S12＝10m. ∴ ，故选A. 6.【答案】C 【解析】∵ ∴S10 . 故选C. 7.【答案】B 【解析】 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴ ＝ ＝ .令 ＝ ＝ ＝k(k>0)， 则 解得 ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 8.【答案】C 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝( )2＋32－2× × 3cos ＝5. ∴AC＝ ，由正弦定理 ＝ 得 sin∠BAC＝ ＝ ＝ ＝ . 9.【答案】A 【解析】由不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4, 1)知a<0，－4 和1 是方程ax2＋bx＋c＝0 的 两根，∴－4＋1＝－，－4× 1 ＝，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x ＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－<x<1. 10.【答案】C 【解析】∵x＋3y＝5xy，∴ ＋ ＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y)× 1 ＝(3x＋4y) ＝ ＋＋＋ ≥ ＋2 ＝5， 当且仅当 ＝ ，即x＝1，y＝时等号成立． 11.【答案】D 【解析】 由图形知， 要使平面区域为三角形， 只需直线l： x＋y＝a 在l1、 l2 之间或在l3 上方． 12.【答案】B 【解析】由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2 2＋108 ， 由于n∈N*，故当n 取距离 最近的正整数7 时，an 取得最大值108. ∴数列{an}中的最大值为a7＝108. 13.【答案】 【解析】∵ ，∴c＝4. 由余弦定理得a2＝12＋42－2× 1× 4× ＝13，∴ . 由正弦定理得 . 14.【答案】64 或1 【解析】∵ {an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16 或a3＝16，a7＝4. ① 当a3＝4，a7＝16 时， ＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4× 4 2＝64. ② 当a3＝16，a7＝4 时， ＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16× ( )2＝1. 15.【答案】a≤2 【解析】x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立 ⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立． ⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立 ∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2. 16.【答案】8 【解析】由题意知点 ，则 ， ∴ . 17.【答案】（1） ；（2）b＝c＝2. 【解析】（1）由c＝ asinC－ccosA 及正弦定理得 sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0. 由于 ，所以 . 又0<A<π，故 . （2） 的面积 ，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2. 18.【答案】 【解析】 过点A 作AE⊥BD 于E， 在Rt△ADE 中， AD＝10， ∠BDA＝60°， ∴DE＝5， AE＝ . 在Rt△ABE 中， ∴BD＝DE＋BE＝5＋11＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠BDC＝30° . 又∵∠BCD＝135°，∴∠CBD＝15° . 在△BCD 中， ，∴ ． ∴S 四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ 19.【答案】(1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)． z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上， 故|MN|＝ ＝ ＝ . ∴|MN|2＝ 2＝，∴z 的最小值为. (2)z＝2· 表示可行域内点(x，y)与定点Q 连线斜率的2 倍， ∵kQA＝，kQB＝，∴z 的取值范围是 . 20.【答案】（1）－4<m≤0. （2）m< . 【解析】解 (1)要使mx2－mx－1<0 恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0， ⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0. (2)方法一 要使f(x)<－m＋5 在x∈[1,3]上恒成立． 就要使m 2＋m－6<0 在x∈[1,3]上恒成立． 令g(x)＝m 2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， ∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0， ∴0<m< ； 当m＝0 时，－6<0 恒成立； 当m<0 时，g(x)是减函数， ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6， ∴m<0. 综上所述：m< . 方法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝ 2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m< . ∵函数y＝ ＝ 在[1,3]上的最小值为，∴只需m< 即可． 21.【答案】(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a ＋2a3a5＋a ＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3 与a5 的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1. ∴q＝，a1＝16，∴an＝16× n－1＝25－n. (2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以b1＝4 为首项，－1 为公差的等差数列， ∴Sn＝ ，∴ ＝ ， ∴当n≤8 时， >0；当n＝9 时， ＝0；当n>9 时， <0. ∴当n＝8 或9 时， ＋ ＋ ＋…＋ 最大．