陕西省西安市西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

西安中学2021-2022 学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120 分钟满分：100 分） 命题人：拓继雨 一．选择题：（本大题共12 小题，每小题3．5 分，共42 分，在每小题的四个选项 中只有一个是符合题目要求的） 1. 若sin 0  ，且cos 0  ，则角 是（） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 2. 下列函数中，以为最小正周期，且在 , 2 π π      上单调递增的是（） A. sin y x  B. tan y x  C. cos y x  D. |cos | y x  3. 下列说法中正确的是（） A. 若a b  r r ，则, a b  的长度相同，方向相同或相反 B. 若向量a 是向量b 相反向量，则a b  r r C. 若// a b r r ，则存在唯一的实数使得 λ a b =  D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC   � 4. 如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 中点，那么向量 1 2 AD AE  � 等于（） A. AB � B. AC � C. BC � D. BE � 5. 中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放 床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形 制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为 6 7，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（） A. 288 B. 144 C. 48 7  D. 以上都不对 6. 设函数  1 2cos 2 3 f x x         ，若对于任意的x R  都有   1 2 f x f x f x   成立，则 1 2 x x  的最小值为（） A. 2  B.  C. 2 D. 4 7. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A. 1 e � ＝(2，2)， 2 e � ＝(1，1) B. 1 e � ＝(1，－2)， 2 e � ＝(4，－8) C. 1 e � ＝(1，0)， 2 e � ＝(0，－1) D. 1 e � ＝(1，－2)， 2 e � ＝ 1 ( ,1) 2  8. 已知直线 6 x   是函数 ( ) sin (0 8) 6 f x x              图像的一条对称轴，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 9. 函数 tan sin tan sin y x x x x     在区间（2  ， 3 2  ）内的图象是( ) A. B. C. D. 10. 如图所示，在四边形ABCD 中， 1 3 DC AB  � , E 为BC 的 中点，且 = AE xAB yAD  � ，则 3 2 x y   A. 1 2 B. 3 2 C. 1 D. 2 11. 若 1 5 3 cos ,sin( ) ,0 ,0 7 14 2 2               ，则角的值为（） A. 3  B. 5 12  C. 6  D. 4  12. 设函数  cos 2 sin f x x x   ，下述四个结论： ① f x 是偶函数； ② f x 的最小正周期为； ③ f x 的最小值为0； ④ f x 在   0,2上有3 个零点 其中所有正确结论的编号是（） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共4 小题，每小题3.5 分，共14 分） 13. 点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1,0) 出发，沿顺时针方向运动 3 4 弧长，到达点Q ，则 点Q 的坐标是_______________． 14. 已知ABC  的三个顶点都在圆O 上， 1 1 2 2 AO AB AC   � ，且 10 BC  u u u r ，则圆O 的面积为 ____. 15. 函数   lg 2sin 1 y x   的定义域为___________. 16. 已知函数 2 2 1 tan ( ) 2sin cos 1 tan x f x x x x     给出下列正个结论： ①函数 ( ) f x 的最小正周期是； ②函数 ( ) f x 在区间 , 8 8        上是增函数； ③函数 ( ) f x 的 图像关于点 ,0 8        对称． 其中正确结论的序号为___________． 三、选择题简答题：（本大题共5 小题，共44 分，简答应写出文字说明证明过程或 演算步骤） 17. 若角的 终边上有一点  , 8 P m  ，且 3 cos 5  . （1）求m 的值； （2）求       sin cos 2 tan cos                   的值. 18. 已知OAB  中，点D 在线段OB 上，且OD 2DB  ，延长BA 到C ，使BA AC  ．设 OA a OB b �   ，   ． （1）用a b   ， 表示向量OC DC � ， ； （2）若向量OC � 与OA kDC  � 共线，求k 的值． 19. 已知 1 3 sin cos , ( , ) 5 2 2         ， （1）求cos sin    ； （2）求sin(2 ) 4   21. 已知函数 2 ( ) 3 cos sin sin f x x x x   ． （1）求函数 ( ) f x 的单调递增区间； （2）求函数 ( ) f x 在区间 5 , 12 6        上的最大值和最小值． 23. 已知函数 ( ) sin( ) 0, 0,| | 2 f x A x B A                 的部分图象如图所示． （1）求函数 ( ) f x 的解析式； （2）将函数 ( ) y f x  的图象上所有的点向右平移12  个单位，再将所得图象上每一个点的横坐 标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数 ( ) y g x  的图象，若方程( ) 0 g x m   在 7 0, 3       上有三个不相等的实数根   1 2 3 1 2 3 , , x x x x x x   ，求m 的取值范围及   1 2 3 tan 2 x x x   的值． 【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】D 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】B 【6 题答案】 【答案】C 【7 题答案】 【答案】C 【8 题答案】 【答案】C 【9 题答案】 【答案】D 【10 题答案】 【答案】C 【11 题答案】 【答案】A 【12 题答案】 【答案】B 【13 题答案】 【答案】 2 2 ( ) 2 2  ，- 【14 题答案】 【答案】25 【15 题答案】 【答案】 5 ( 2 , 2 )( ) 6 6 k k k Z        【16 题答案】 【答案】① 【17 题答案】 【答案】（1）6  ；（2） 4 5 . 【详解】（1）点P 到原点的距离为   2 2 2 8 64 r m m     ， 根据三角函数的概念可得 2 3 cos 5 64 m m    ，解得 6 m  ， 6 m （舍去）. （2）原式       sin cos ( sin )( sin ) 2 sin tan cos ( tan )cos                            ， 由（1）可得 2 64 10 r m    ， 8 4 sin 5 r     ， 所以原式 4 sin 5    . 【18 题答案】 【答案】（1） 2 OC a b   �   , 5 2 3 DC a b   �   ；（2） 3 4 【详解】解：（1） A  为BC 的中点，   1 2 OA OB OC    � ， 可得 2 2 OC OA OB a b �       ， 而 2 5 2 3 3 DC OC OD OC OB a b       �   （2）由（1）得   5 2 1 3 OA kDC k a kb �       ， OC  � 与OA kDC  � 共线，设   OC OA kDC    � 即   5 2 2 1 3 a b k a kb         ， 根据平面向量基本定理，得   2 2 1 5 1 3 k k          解之得， 3 4 k  ． 【19 题答案】 【答案】（1） 7 cos sin 5     （2） 31 2 50  【小问1 详解】 2 1 1 sin cos , (sin cos ) , 5 25           1 1 2sin cos , 25     24 2sin cos 0, 25    3 ( , ), cos 0,sin 0 2 2           cos sin 0      . 2 49 (cos sin ) 1 2sin cos 25         7 cos sin 5      . 【小问2 详解】 由 1 sin cos , 5     7 cos sin 5     ， 解得: 3 4 sin ,cos 5 5     ， 24 sin 2 2sin cos 25      ， 2 2 cos2 cos sin      (cos sin )(cos sin )        1 7 7 ( ) ( ) 5 5 25    ， sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin 4 4 4          24 2 7 2 31 2 25 2 25 2 50      . 【21 题答案】 【答案】（1） , , 6 3 k k k               Z （2）最大值为1，最小值为 1 2  【小问1 详解】 解： 2 ( ) 3 cos sin sin f x x x x   3 1 1 1 sin 2 cos2 sin 2 2 2 2 6 2 x x x              ， 即  1 sin 2 6 2 f x x           ， 令 2 2 2 , 2 6 2 k x k k            Z ，解得 , 6 3 k x k k         Z ， ∴函数 ( ) f x 的单调递增区间为 , , 6 3 k k k               Z ． 【小问2 详解】 解：∵ 5 , 12 6 x        ，∴2 , 6 6 x           ， 则 1 sin 2 1, 6 2 x               ，∴ 1 ( ) ,1 2 f x       ， ∴函数 ( ) f x 的最大值为1，最小值为 1 2  ． 【23 题答案】 【答案】（1） 1 ( ) sin 2 1 2 3 f x x           （2） 5 3 , 4 2 m       ， 3 【小问1 详解】 由图示得： 3 1 1 1 1 2 2 , 1 2 2 2 2 A B             ， 又 7 1 2 12 12 2 T       ，所以T   ，所以 2 2 T   ，所以 1 ( ) sin(2 ) 1 2 f x x     ， 又因为 ( ) f x 过点 3 , 12 2       ，所以 3 1 sin 2 1 2 2 12             ，即 π sin φ 1 6 æ ö ç ÷ + = ç ÷ è ø ， 所以 2 , 6 2 k k Z         ，解得 2 , 3 k k Z       ，又| | 2    ，所以 3   ， 所以 1 ( ) sin 2 1 2 3 f x x           ； 【小问2 详解】 由已知得 1 ( ) sin 1 2 6 g x x           ，当 7 0, 3 x       时， 5 , 6 6 2 x          ，令 5 , 6 6 2 t x          ，则 1 1 sin 1 sin 1 2 6 2 x t           ， 令 1 ( ) sin 1 2 h t t  ，则函数( ) h t 的图象如下图所示，且 1 5 sin 1 6 2 6 4 h          ， 3 1 3 1 sin 1 2 2 2 2 h          ， 5 1 5 3 sin 1 2 2 2 2 h          ， 5 3 , 4 2 m        由图象得( ) 0 h t m  有三个不同的实数根   1 2 3 1 2 3 , , t t t t t t   ，则 1 2 3 1 2 , 2 2 t t t t         ， 所以1 2 3 2 4 t t t     ，即 1 2 3 2 4 6 6 6 x x x                             ， 所以 1 2 3 10 2 3 x x x     ，所以   1 2 3 10 2 tan 2 tan tan 4 3 3 3 x x x                ， 故   1 2 3 tan 2 3 x x x    ．