2019年高考数学试卷（理）（北京）（空白卷）

1/5 2019 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．（5 分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ） A． B． C．3 D．5 2．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5 分）已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的 距离是（ ） A． B． C． D． 4．（5 分）已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，则（ ） A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 5．（5 分）若x，y 满足|x|≤1﹣y，且y≥ 1 ﹣，则3x+y 的最大值为（ ） A．﹣7 B．1 C．5 D．7 6．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮 1/5 度满足m2﹣m1＝ lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是 ﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10 10.1 ﹣ 2/5 7．（5 分）设点A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y 就是其中之 一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．① B．② C．①② D．① ②③ 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 9．（5 分）函数f（x）＝sin22x 的最小正周期是 ． 10．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝ ，Sn 的最小值为 ． 11．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果 网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ． 3/5 12．（5 分）已知l，m 是平面α 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 13．（5 分）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a 为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝ ；若f （x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 14．（5 分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四 种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网 上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的 最大值为 ． 三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13 分）在△ABC 中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ． （Ⅰ）求b，c 的值； （Ⅱ）求sin（B﹣C）的值． 16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝ AD＝CD＝2，BC＝3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且 ＝ ． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P 的余弦值； 4/5 （Ⅲ）设点G 在PB 上，且 ＝ ．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 17．（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大 转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种 移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支 付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下： （0，1000] （1000，2000] 大于2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概 率； （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月 支付金额大于1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中， 随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元．根据抽查结果，能否认为样 本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由． 18．（14 分）已知抛物线C：x2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M， N，直线y＝﹣1 分别交直线OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴 上的两个定点． 19．（13 分）已知函数f（x）＝ x3﹣x2+x． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1 的切线方程； 4/5 （Ⅱ）当x∈[ 2 ﹣，4]时，求证：x 6≤ ﹣ f（x）≤x； 5/5 （Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[ 2 ﹣，4]上的最大值为 M（a）．当M（a）最小时，求a 的值． 20．（13 分）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1＜i2＜…＜im），若 a ＜a ＜…＜a ，则称新数列a ，a ，…，a 为{an}的长度为m 的递增子列． 规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1 的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列； （Ⅱ）已知数列{an}的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a ，长度为q 的递增子 列的末项的最小值为a ．若p＜q，求证：a ＜a ； （Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s 的 递增子列末项的最小值为2s 1 ﹣，且长度为s 末项为2s 1 ﹣的递增子列恰有2s 1 ﹣个（s＝ 1，2，…），求数列{an}的通项公式．